数学必修 第二册9.2 用样本估计总体优秀教案

用样本估计总体

【第一课时】

【教学目标】

1．会画一组数据的频率分布表、频率分布直方图.

2．会用频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等对总体进行估计.

3．掌握求n个数据的第p百分位数的方法.

【教学重难点】

1．频率分布表、频率分布直方图.

2．用样本估计总体.

3．总体百分位数的估计.

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？

2．频率分布直方图有哪些特征？

3．如何求n个数据的第p百分位数？

二、基础知识

1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

2．百分位数

（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

（2）计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算i＝n×p%．

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

三、合作探究

1．频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制

角度一：频率分布表、频率分布直方图的绘制

为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：

57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48

将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．

【解】以4为组距，列表如下：

频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．

（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：

①若为整数，则＝组数；

②若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．

（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本量越大，所分组数越多．

角度二：频率分布直方图的应用

为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．

（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？

（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？

（3）样本中不达标的学生人数是多少？

（4）第三组的频数是多少？

【解】（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08．

又因为第二小组的频率＝，

所以样本容量＝＝＝150.

（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.

（3）由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12．

所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．

（4）第三小组的频率为＝0.34．

又因为样本量为150，

所以第三组的频数为150×0.34＝51．

频率分布直方图的应用中的计算问题

（1）小长方形的面积＝组距×＝频率；

（2）各小长方形的面积之和等于1；

（3）＝频率，此关系式的变形为＝样本量，样本量×频率＝频数．  

2．条形统计图

为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．

请根据统计图提供的信息回答以下问题：

（1）求抽取的学生数；

（2）若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；

（3）估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．

【解】（1）从统计图上可以看出，

喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；

喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；

喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；

喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；

喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．

所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．

（2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为，

由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有×3 000＝1 060(人)．

（3）该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为×100%＝15%.

（1）绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图．

实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越精确．

（2）在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．  

3．折线统计图

小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．

根据图中的信息，回答以下问题：

（1）护士每隔几小时给小明测量一次体温？

（2）近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？

（3）从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？

（4）如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？

【解】（1）根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．

（2）从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．

（3）从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．

（4）9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．

（1）绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可．

（2）在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．

4．扇形统计图

下图是A，B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：

（1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？

（2）已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？

【解】（1）不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．

（2）设A学校收到艺术作品的总数为x件，B学校收到艺术作品的总数为y件，则解得即A学校收到艺术作品的总数为500件，B学校收到艺术作品的总数为600件．

（1）绘制扇形统计图时，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．

（2）扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．  

5．百分位数的计算

现有甲、乙两组数据如下表所示．

试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．

【解】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．

因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5；

甲组数的75%分位数为＝＝9.5．

乙组数的25%分位数为＝＝1，乙组的75%分位数为＝＝12．

求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．  

【课堂检测】

1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是(    )

解析：选D．用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．

2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为(    )

A．0.1                 B．0.2

C．0.3   D．0.4

解析：选C．由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为0.001×300＝0.3，故选C．

3．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是(    )

A．甲校女生比乙校女生多

B．乙校男生比甲校男生少

C．乙校女生比甲校男生少

D．甲、乙两校女生人数无法比较

解析：选D．图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生总数不知道，因此男生与女生的具体人数也无法得知．

【第二课时】

【教学目标】

1．理解样本数据标众数、中位数、平均数的意义和作用，学会计算数据的众数、中位数、平均数.

2．理解样本数据方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差.

【教学重难点】

会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．

【教学过程】

一、基础知识

1．众数、中位数、平均数

众数、中位数、平均数定义

（1）众数：一组数据中出现次数最多的数．

（2）中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．

（3）平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．

思考：平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？

答案：平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．

2．方差、标准差

标准差、方差的概念及计算公式

（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．

s＝.

（2）标准差的平方s2叫做方差．

s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．

（3）标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为.

二、合作探究

1.众数、中位数、平均数的计算

（1）某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(    )

A．85,85,85 B．87,85,86

C．87,85,85 D．87,85,90

（2）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(    )

A．2,5 B．5,5    

C．5,8 D．8,8

答案（1）C  （2）C

解析（1）平均数为＝87，众数为85，中位数为85．

（2）结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解．

由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，所以x＝5．又乙组数据的平均数为＝16.8，所以y＝8，所以x，y的值分别为5,8．

【教师小结】平均数、众数、中位数的计算方法：

平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．

2．标准差、方差的计算及应用

甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：

甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；

乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5．

（1）分别计算以上两组数据的平均数；

（2）分别求出两组数据的方差；

（3）根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？

解（1）甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，

乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．

（2）由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2．

（3）甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．

又s＞s说明甲战士射击情况波动比乙大．

因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．

【教师小结】

（1）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．

（2）样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．

（3）当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数据分布情况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．

三、课堂总结

1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．

2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．

3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.

【课堂检测】

1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：

则这组数据的中位数是(    )

A．19 B．20

C．21.5 D．23

答案  B

解析  由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B．

2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是(    )

A．中位数可以准确地反映出总体的情况

B．平均数可以准确地反映出总体的情况

C．众数可以准确地反映出总体的情况

D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况

答案  D

3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(    )

A．众数 B．平均数

C．中位数 D．标准差

答案  D

4．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有(    )

A．a1>a2

B．a2>a1

C．a1＝a2

D．a1，a2的大小与m的值有关

答案  B

解析  由茎叶图知，

a1＝80＋＝84，

a2＝80＋＝85，故选B．

5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．

答案  16

解析  设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，

可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16．