人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精品学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精品学案，共9页。

[A 基础达标]


1．在三角形ABC中，eq \(BA,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( )


A．a－b B．b－a


C．a＋b D．－a－b


2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )


A.eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→)) B.eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))


C.eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→)) D.eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))


3．如图，在四边形ABCD中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝c，则eq \(DC,\s\up6(→))＝( )





A．a－b＋c B．b－(a＋c)


C．a＋b＋c D．b－a＋c


4．给出下列各式：


①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))；


②eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))；


③eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))；


④eq \(NQ,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→)).


对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )


A．4 B．3


C．2 D．1


5．对于菱形ABCD，给出下列各式：


①eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))；②|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|；③|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|；④|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))|.


其中正确的个数为( )


A．1 B．2


C．3 D．4


6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b|＝________．


7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(DC,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)


8．给出下列命题：


①若eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))，则eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))；


②若eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))，则eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))；


③若eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))，则eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(EO,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))；


④若eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))，则eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(EO,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→)).


其中正确命题的序号为________．


9.如图，已知eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，eq \(OF,\s\up6(→))＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：





(1)eq \(AC,\s\up6(→))；(2)eq \(AD,\s\up6(→))；(3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))；(4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))；(5)eq \(BF,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)).


























10．如图所示，▱ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b.





(1)用a，b表示eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))；


(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？

















[B 能力提升]


11．给出下面四个结论：


①若线段AC＝AB＋BC，则向量eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))；


②若向量eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，则线段AC＝AB＋BC；


③若向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线，则线段AC＝AB＋BC；


④若向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))反向共线，则|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝AB＋BC.


其中正确的结论有________．


12．已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝a，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝b(a>b)，|eq \(AB,\s\up6(→))|的取值范围是[5，15]，则a，b的值分别为______．


13．在△ABC中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝________．


14．如图所示，点O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝eq \(BA,\s\up6(→))，c－d＝eq \(DC,\s\up6(→))，并画出b－c和a＋d.

















[C 拓展探究]


15．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，eq \(CM,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b.





求证：(1)|a－b|＝|a|；


(2)|a＋(a－b)|＝|b|.





【参考答案】


[A 基础达标]


1．【解析】选B.eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋(－eq \(BA,\s\up6(→)))＝b－a.


2．【解析】选B.eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))－eq \(FO,\s\up6(→))＝－eq \(OE,\s\up6(→))－eq \(FO,\s\up6(→)).故选B.


3．【解析】选A.eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.


4．【解析】选A.①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0；


②eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝0；


③eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝0；


④eq \(NQ,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))＝0.


5．【解析】选C.由菱形的图形，可知向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AB,\s\up6(→))|，|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(BC,\s\up6(→))|，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|，即③正确；因为|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|，|eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.


6．【解析】若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.


【答案】0 2


7．【解析】如图，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝－a－b.





【答案】b－a －a－b


8．【解析】①因为eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))，所以eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))，正确；


②因为eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))，所以eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))，正确；


③因为eq \(OE,\s\up6(→))＝－eq \(EO,\s\up6(→))，所以eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(EO,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))，正确；


④因为－eq \(OM,\s\up6(→))＝－eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))，所以eq \(MO,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(EO,\s\up6(→))，正确．


【答案】①②③④


9. 解：(1)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝c－a.


(2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝d－a.


(3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝d－b.


(4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝b－a＋f－c.


(5)eq \(BF,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝f－d.


10．解：(1)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝b＋a，eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝a－b.


(2)由(1)知a＋b＝eq \(AC,\s\up6(→))，a－b＝eq \(DB,\s\up6(→)).


因为a＋b与a－b所在直线垂直，


所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，


所以四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|.


所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．


[B 能力提升]


11．【解析】①由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，正确．


②三角形内eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，但AC≠AB＋BC，错误．


③eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))反向共线时，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|≠|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|，也即AC≠AB＋BC，错误．


④eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))反向共线时，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋(－eq \(BC,\s\up6(→)))|＝AB＋BC，正确．


【答案】①④


12．【解析】因为a－b＝||eq \(OA,\s\up6(→))|－|eq \(OB,\s\up6(→))||≤|eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|≤|eq \(OA,\s\up6(→))|＋|eq \(OB,\s\up6(→))|＝a＋b，


所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝15，,a－b＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝10，,b＝5.))


【答案】10 5


13．【解析】如图，在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，


eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).


易求得AD＝eq \r(3)，即|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(3).所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(3).





【答案】eq \r(3)


14．解：因为a＋b＝eq \(BA,\s\up6(→))，c－d＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以a＝eq \(OA,\s\up6(→))，b＝eq \(BO,\s\up6(→))，c＝eq \(OC,\s\up6(→))，d＝eq \(OD,\s\up6(→)).


如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.





根据平行四边形法则可得，b－c＝eq \(EO,\s\up6(→))，a＋d＝eq \(OF,\s\up6(→)).


[C 拓展探究]


15．证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，


所以CA＝CB.又M是斜边AB的中点，


所以CM＝AM＝BM.


(1)因为eq \(CM,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，


又|eq \(AM,\s\up6(→))|＝|eq \(CM,\s\up6(→))|，所以|a－b|＝|a|.


(2)因为M是斜边AB的中点，所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，


所以a＋(a－b)＝eq \(CM,\s\up6(→))＋(eq \(CM,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，


因为|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|，所以|a＋(a－b)|＝|b|.