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专题05 基本不等式（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习
展开题05 基本不等式
2021年江苏新高考考点分析
基本不等式是江苏高考得重要考点之一，一般不单独考查，常与其他的知识相结合，难度中等.
2021年江苏新高考考点梳理
（1）
（2）（当仅当a=b时取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
（当仅当a=b=c时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
（6）极值定理：若则：
如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；
如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
2. 平均不等式：
如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
特别地，（当a = b时，）
幂平均不等式：
名师讲坛考点突破
考点1和积为定值的最值问题
例1 已知,则的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】，当时，等号成立.则，当时等号成立.故选C.
变式训练1. 已知，，则的最大值是______.
【答案】
【解析】由题意
，设，则，当且仅当，即取等号，又由在上单调递增，所以的最小值为，即，
所以，所以的最大值是.故答案为：.
变式训练2. 若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．[来源:学§科§网]
【答案】4
【解析】≥＝4ab＋，
第一个不等号中等号成立的条件是a4＝4b4，即a＝b；
第二个不等号中等号成立的条件是4ab，即.
综上可知，当且仅当时取得最小值4.
考点2 为定值
例2.（2020江苏高考12题）已知 ，,则的最小值为________．
【答案】
【解析】法一：(配凑) 已知得，
，当时等号成立.
法二：（消元）代入得，当时，等号成立.
法三：三角换元令,,当，等号成立.
变式训练3. 已知，则的最大值为（ ）
A.3 B. C.5 D.
【答案】D
【解析】法一令，得代入得有解，解得.
法二三角换元
考点3 为定值
例3 若a，b均为非负实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】(＋)(a＋2b＋2a＋b)×＝[1＋＋＋4]≥(5＋4)＝3，当且仅当＝时取到等号，此时a＝1，b＝0.
变式训练4. 已知为正实数，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，[来源:学科网]
所以，故，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为
考点4
例4在中，角的对边分别为，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，由正弦定理得，
∴，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值是．故答案为：B．
变式训练5. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
得，
所以，所以，
∴
即，又为锐角，∴，
所以，当且仅当时等号成立，
解得，所以．故答案为：．
新高考模拟试题过关测试
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1. 已知，其中，则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D. 4
【答案】B
【解析】，其中，
则
当且仅当时取得最小值2．故答案为：2,选B.
2. 若在处取得最小值，则
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】，，
，
当且仅当时取等号．．故选B．
3. 已知，，如果不等式恒成立，那么m的最大值等于
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】，，不等式恒成立，
，
，当且仅当时取等号．
的最大值等于9．故选B．
4. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
【答案】D
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.故选D.
5. 已知，且，则的最小值为
A. 3 B. 5 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，则，又因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为7，故选C
6. 已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A.5 B.7 C8 D. 9
【答案】 D
【解析】 m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y)min.
法1(消元法) 由x＋4y－xy＝0，得y＝，因为x，y是正实数，所以y>0，x>4，则x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－4)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.故选D.
法2(“1”的代换) 因为x，y是正实数，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.故选D.
7. 若a，b均为正实数，则的最大值为
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】因为a，b均为正实数，
则，
即则的最大值为，故选：B．
8. 已知函数，若存在a，，使得，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，函数大致图象如下：
当，且时，则有a，，且，
所以，
当且仅当时取等号成立．故选A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9. 已知，，方程为的曲线关于直线对称，则的值为( )
A.1 B.9 C.10 D. 12
【答案】BCD
【解析】由题意可得直线过圆的圆心，
，即，
当且仅当即时取等号．的最小值为9故答案为：BCD.
10. 已知，，，则的值可能是
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】由，，，得，则且，
当时，
，当且仅当即 时取等号，
当时，
，
当且仅当，即时取等号，综上，，故选CD．
三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
11. 的最大值是________．
【答案】
【解析】由已知，，当且仅当，等号成立，
所以，若，此时．故答案为.
12. 已知实数x，y满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】，
，
则
当且仅当即时取得最小值,故答案为：
13. 当时，函数的最小值是________．
【答案】
【解析】，
，
当且仅当，即时取等号，
函数的最小值是．故答案为．
14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______
【答案】
【解析】
将转化为代入得：
上式=,故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
15. 某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2．
（1）求f(x)的解析式，并写出其定义域；
（2）当x等于多少时，f(x)取得最小值？
【解析】（1）因为t1＝，
t2＝＝ ，
所以f(x)＝t1＋t2＝＋，
定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．
（2）f(x)＝1000(＋)＝10[x＋(100－x)]( ＋)
＝10[10＋＋ ]．
因为1≤x≤99，x∈N*，所以＞0，＞0，
所以＋ ≥2＝6，
当且仅当＝，即当x＝75时取等号．
答：当x＝75时，f(x)取得最小值．
16．已知函数，．
对于任意的，不等式成立，试求实数a的取值范围
解关于x的不等式．
【解析】对于任意的，不等式成立
等价于对于任意的恒成立， 成立，
，
所以实数a的取值范围
关于x的不等式，
即，
，
当时，方程的两根，解集为（），
当，
当时，，解集为，
当时，，， ，
解集为
综上当时不等式解集，
时不等式解集为，
当时．解集为
17. 已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
【解析】(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，[来源:Zxxk.Com]
则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
18. 某城市有一直角梯形绿地，其中，km，km．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；
（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．
【解析】（1）因为，，，
所以，
取中点，
则四边形的面积为，
即，
解得，
所以(km)．
故灌溉水管的长度为km．
（2）设，，在中，，
所以在中，，[来源:学科网]
所以，
所以的面积为，
又，所以，即．
在中，由余弦定理，得，
当且仅当时，取“”．
故灌溉水管的最短长度为km．
