高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）当堂达标检测题，共11页。
考向一 利用函数模型解决问题





1、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )


(A)一次函数 (B)二次函数


(C)指数型函数(D)对数型函数


【答案】D


【解析】由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.


2.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:





①这个指数函数的底数是2;


②第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2;


③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;


④浮萍每个月增加的面积都相等.


其中正确的是( )


(A)① (B)①② (C)②③④ (D)①②④


【答案】B


【解析】图象单调递增,底数大于1,又过点(2,4),所以a2=4,所以a=2(a>0),故①对;令t=5,得y=25=32>30,故②对;若浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间是1.5个月,则有12=23.5,因为23.5=82≠12,故③错;由指数型函数模型的图象上升特征可知④错.故选B.


3、在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )


(A)y=2x-2(B)y=12(x2-1)


(C)y=lg2x(D)y=lg12x


【答案】B


【解析】由题意可得表中数据y随x的变化趋势.函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大越来越快.因为A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加还缓慢的函数,D中函数是减函数,所以排除A,C,D;所以B中函数y=12(x2-1)符合题意.


4、“红豆生南国，春来发几枝？”下图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图，那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )





A．指数函数y＝2tB．对数函数y＝lg2t


C．幂函数y＝t3D．二次函数y＝2t2


【答案】A


【解析】根据已知所给的散点图，观察到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数模拟较好，故选A.


5、下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是( )





(1)这几年生活水平逐年得到提高；


(2)生活费收入指数增长最快的一年是2013年；


(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2014年；


(4)虽然2015年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．


A．1B．2


C．3D．4


【答案】C


【解析】由图可知，生活费收入指数与生活价格指数在同一个时间点上的差值越来越大，说明生活水平逐年得到提高，故（1）正确；从折线段的倾斜程度，可知生活费收入指数增长最快的一年是2013年，故（2）正确，（3）错误；由图可知，（4）正确。


6、若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )


A．y＝0.957 6eq \s\up12(eq \f(x,100)) B．y＝(0.957 6)100x


C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.957 6,100))) x D．y＝1－0.042 4eq \s\up12(eq \f(x,100))


【答案】A [由题意可知y＝(95.76%)eq \s\up12(eq \f(x,100))，即y＝0.9576eq \s\up12(eq \f(x,100)).]


7、某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.


【答案】35


【解析】Q=0.002 5v2-0.175v+4.27=0.002 5(v2-70v)+4.27=0.002 5[(v-35)2-352]+4.27


=0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h时,耗油量最少.


8、学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：


现有如下5个模拟函数：


①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝lg2x；⑤y＝＋1.74


请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．


【答案】④


【解析】画出散点图如图所示．





由图可知上述点大体在函数y＝lg2x的图象上，故选择y＝lg2x可以近似地反映这些数据的规律．故填④.答案：④





9、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 ．认识人口数量的变化规律 ，可以为制定一系列相关政策提供依据。早在 1978 年，英国经济学家马尔萨斯（ ，1766 — 1834） 就提出了自然状态下的人口增长模型y=y0ert，其中 t 表示经过的时间 ，y0 表示 t＝０时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。下表是 1950～1959 年我国的人口数据资料





（1） 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 （ 精确到 0.0001），


用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型 ， 并检验所得模型与实际人口数据是否相符 ；


（2） 如果按上表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到 13 亿？


事实上，我国 1989年的人口数为 11.27亿，直到 2005年才突破13 亿。对由


函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？


【解析】因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 ２０ 世纪 ７０ 年代逐步实施了计划生育政策 ． 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件 ， 自然就出现了依模型得到的结果


与实际不符的情况 ．





考向二 建立函数模型解决问题


1、某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alg2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到( )


A.300只B.400只C.600只D.700只


【答案】A


【解析】将x=1,y=100代入y=alg2(x+1)得,100=alg2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100lg2(7+1)=300.





2、某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：，，）


A． 2020年 B． 2021年 C． 2022年 D． 2023年


【答案】B


【解析】


由题意求满足最小n值，


由得





，开始超过200万元的年份是2017+5-1=2021,选B.


3、一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过 小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg 2≈0.30,lg 3≈0.48).


【答案】2


【解析】设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.


根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有nlg34=n(lg 3-2lg 2)≤lg 23=lg 2-lg 3,


将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,


∴n≥32,故至少要经过2小时才能开车.


4、年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）


【答案】


【解析】


当时， 经过年后，碳的质量变为原来的


令，则


良渚古城存在的时期距今约在年到年之间


故答案为；


5、一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,


为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22.


(1)求每年砍伐面积的百分比;


(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?


(3)今后最多还能砍伐多少年?


【答案】(1)1-12110.(2)到今年为止,已砍伐了5年.(3)今后最多还能砍伐15年.


【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0