第3章专题11 函数模型-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

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函数的应用考向一  对勾函数模型1、某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足（其中，为正常数）。已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件。（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？ 答案（1）（2）当时，利润最大值为17万元，当时，最大利润万元解析（1），将代入                      （2）令，在单减，单增∴当时，利润最大值为17万元当时，最大利润万元2、某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？答案（1） ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大解析（1）由题意可知，当时， （万件），所以，所以，所以，每件产品的销售价格为 （万元），所以年利润所以，其中.（2）因为时，，即所以，当且仅当，即 （万元）时，  （万元）.所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 3、经观测，某公路段在某时段内的车流量 (千辆/小时)与汽车的平均速度 (千米/小时)之间有函数关系：．(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？[解]　(1)y＝＝≤＝≈11.08.当v＝，即v＝40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．-----7分 (2)据题意有：≥10，化简得v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64. -----------14分所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内． -----------15分4、山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略，也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略。泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇，加快企业发展。已知该企业的年固定成本为500万元，每生产设备x(x>0)台，需另投入成本y1万元．若年产量不足80台，则y1＝x2＋40x；若年产量不小于80台，则y1＝101x＋－2 180.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完．(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式；(2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 解　(1)当0<x<80时，y＝100x－－500＝－x2＋60x－500；当x≥80时，y＝100x－－500＝1 680－.所以当0<x<80时，y＝－x2＋60x－500；当x≥80时，y＝1 680－.(2)当0<x<80时，y＝－(x－60)2＋1 300，当x＝60时，y取得最大值，最大值为1 300.当x≥80时，y＝1 680－≤1 680－2＝1 500，当且仅当x＝，即x＝90时，y取得最大值，最大值为1 500.所以当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元． 考向二  二次函数模型 1、某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．【答案】60　【解析】设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．2、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解析】　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 考向三  分段函数模型 1、在一次为期 15 天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐 40 人，已知第 t 日参加比赛的运动员人数 M 与 t 的关系是M(t)＝为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是(　　)A.7 B.8C.9 D.10【答案】D【解析】当时，函数为一次函数，单调递增，当时取得最大值，即.当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为，由于为整数，故当时取得最大值，即，故选.2、表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．【答案】①②③【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．故答案为①②③.3、某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)=则总利润最大时店面经营天数是___.【答案】200【解析】设总利润为L(x),则L(x)=则L(x)=当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.4、大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝，则总利润最大时，该门面经营的天数是________． 答案：300解析：由题意，总利润y＝当0≤x≤400时，y＝－ (x－300)2＋25000，所以当x＝300时，ymax＝25 000；当x>400时，y＝60000－100x<20000.综上，当x＝300天时，总利润最大．5、经过市场调查,某种商品在销售中有如下关系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数),且在第20天该商品的销售收入为1 200元(销售收入=销售价格×销售量).(1)求a的值,并求第15天该商品的销售收入;(2)求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值.【答案】(1) a=50. 第15天该商品的销售收入为1 575元. (2) 当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元.【解析】(1)当x=20时,由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200,解得a=50.从而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1 575(元),即第15天该商品的销售收入为1 575元.(2)由题意可知y=即y=当1≤x≤10时,y=-x2+10x+2 000=-(x-5)2+2 025.故当x=5时y取最大值,ymax=-52+10×5+2 000=2 025.当10<x≤30时,y<102-110×10+3 000=2 000.故当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元.6、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）答案：见解析解析：（Ⅰ）由题意，当时，；当时，设．再由已知得，解得.故函数的表达式为. （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得.当时，为增函数，故当时，在区间上取得最大值.当时，，当且仅当时，等号成立.所以，当时，在区间上取得最大值．综上，当时，在区间上取得最大值.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．7、某景区提供自行车出租，该景区有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过元，则自行车可以全部租出；若超出元，则每超过元，租不出的自行车就增加辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）．（1）求函数的解析式；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 答案：（1）；（2）当每辆自行车的日租金定为元时，才能使一日的净收入最多． 解析：（1）当时，，令，解得，是整数，，；当时，，令，有，结合为整数得，.；（2）对于，显然当时，；对于，当时，.，当每辆自行车的日租金定为元时，才能使一日的净收入最多．