人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算优秀课后复习题

1.1.1空间向量及其线性运算同步练习人教  A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在长方体中，等于   

A.  B.  C.  D.

2. 在长方体中，

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则等于   

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，若共面，则等于   

A. 9 B.  C.  D. 3

5. 已知三棱柱，点P为线段的中点，则

A.  B.
C.  D.

6. 下面命题正确的个数是

若，则与，共面；
若，则共面；

若，则共面；

若，则共面；

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 在长方体中，

A.  B.  C.  D.

8. 下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是

长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

平行且模相等的两个向量是相等向量；

若，则；

两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

9. 如图，在平行六面体的棱中，与向量相等的向量有

A. 0个
B. 3个
C. 7个
D. 9个

10. O为空间任意一点，A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，P四点

A. 一定不共面 B. 不一定共面 C. 一定共面 D. 无法判断

11. 若，，构成空间的一个基底，则     

A. 不共面 B. 不共面
C. 不共面 D. 不共面

12. 若构成空间的一个基底，则

A. 不共面 B. 不共面
C. 不共面 D. 不共面

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知空间向量、、共面，则实数的值为          ．
14. 若空间向量，，2，共面，则          ．
15. 已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量，且点P与A，B，C共面，则实数           ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 如图所示，在平行六面体中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有          ；与向量相反的向量有          要求写出所有适合条件的向量
     

17. 已知空间的一个基底，，，若与共线，则           ，            ．
18. 若，，三点在同一条直线上，则          ；A到平面XOY的距离为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，求证：向量，，共面．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图所示，在正方体中，点E在上，且，点F在对角线上，且设，，，
    
    ，求x，y，z的值．

求证：E，F，B三点共线．






 

21.  在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F分别为CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量．

22. 如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：，，并标出化简结果的向量．

23. 如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值：
    ；
    ．
    
     

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量加减法运算，是基础题目．
根据向量加减运算法则即可求解．

【解答】

解：．
故选A．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的运算，是基础题．
利用长方体的结构特征，直接利用向量的相等，转化求解即可．

【解答】

解：在长方体中，
，
故选：B．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的加减运算及数乘运算，由已知中M 、G 分别是BC、CD的中点，根据三角形中位线定理及数乘向量的几何意义，我们可将原式化为，然后根据向量加法的三角形法则，易得到答案．

【解答】

解：因为M 、G 分别是BC、CD的中点，
所以，，
所以，
故选C．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查共面向量定理及应用，属于基础题．

由题意知，即可求解．

【解答】

解：由题意知，

解得．
故选：B．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的线性运算问题，考查数形结合思想，属于中档题．
根据空间向量的线性运算求出向量即可．

【解答】

解：如图示：

三棱柱，点P为线段的中点，
则，，，


，
故选：D．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量共面的定理的应用，属于中档题．
根据空间向量共面定理，结合图形解决即可．

【解答】

解：由空间向量共面定理可得，若，则与，共面，此命题正确；

由空间向量共面定理得：若，则共面，此命题正确；

如图，在正方体中，，

若，则显然此时不共面，此命题错误；

若，

，

，

则共面，此命题正确．
故选C．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量加法运算的几何意义问题，是基础题．
根据题意，画出图形，结合图形，利用空间向量的加法运算即可得出结论．

【解答】

解：如图所示，

长方体中，

．
故选D．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的概念、相等向量、向量的模，属于基础题．
根据向量相等概念，向量的模对选项逐一判断．

【解答】

解：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，正确；
平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，不正确；
当时，也有，不正确；
只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，不正确．
综上可知只有正确，
故选B．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查相等向量，属于基础题．

根据相等向量的概念，即大小相等方向相同的向量相等，可得出答案．

【解答】

解：六面体是平行六面体，

，且，

与向量相等的向量有，，三个．

故选B．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查空间四点是否共面的判断，考查空间向量基本定理等基础知识，是基础题．
由，且，利用空间向量基本定理得A，B，C，P四点一定共面．

【解答】

解：为空间任意一点，A，B，C三点不共线，
，
，
，B，C，P四点一定共面．
故选：C．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的共面向量定理，属基础题。
直接利用共面向量基本定理的应用判断A、B、C、D的结果．
 

【解答】

对于，，不存在实数，使，故A正确
对于因为，所以，，共面，故B错误
对于，所以共面，故C错误
对于，所以共面，故D错误．
故选：A．

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识要点：共面向量基本定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

直接利用共面向量基本定理的应用判断A、B、C、D的结果．

【解答】

解：对于A：不存在实数，使，故A正确；
对于B：，存在实数，使等式成立，故B错误；
对于C：，存在实数，使等式成立，故C错误；
对于D：，存在实数，使等式成立，故D错误．
故选：A．

13.【答案】4
 

【解析】

【分析】

本题考查向量共面基本定理，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共面的性质的合理运用．
若，，共面，则存在实数m，n，使得，由此能求出实数 

【解答】

解：，4，，5，，
若，，共面，则存在实数m，n，使得，
5，，，，4，，

解得，，
．
故答案为4．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查共线与共面向量定理及应用，属于基础题．
空间向量，，2，共面，可得：存在实数，使得，利用向量的线性运算与向量相等即可得出．

【解答】

解：空间向量，，2，共面，

存在实数，使得，

，解得

故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量共面定理等基础知识，是基础题．
利用空间向量共面定理直接求解．

【解答】

解：，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，
向量，且点P与A，B，C共面，
，
解得实数．
故答案为：．

16.【答案】，， 

，，，   

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的概念，属于基础题．

根据平行六面体的定义和向量的概念进行求解．

【解答】

解：因为多面体为平行六面体，

所以与向量相等的向量有，，，

与向量相反的向量有，，，

故答案为：，，；，，，．

17.【答案】1

【解析】

【分析】

由与共线，得存在实数，使，列出方程组能求出结果．
本题考查实数值的求法，向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

【解答】

解：因为空间的一个基底，
，，与共线，
所以存在实数，使，
即，
，解得．
故答案为：1；．

18.【答案】2

2

【解析】

【分析】

本题考查空间向量共线的充要条件，属于基础题．
先求出，利用空间向量共线的充要条件，求解即可得出a，由点A的坐标可得A到平面XOY的距离．

【解答】

解：，，，
则，
由于，，三点在同一条直线上，
则共线，
故，
故，．
由，则A到平面XOY的距离为2，
故答案为2；2．

19.【答案】证明：因为M在BD上，且，
所以．
同理．
所以

．
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
 

【解析】本题主要考查了共面向量定理的应用，是中档题．
利用向量加法的三角形法则，把向量用，表示，则能证出，，共面．
 

20.【答案】解：因为，
所以，

所以
，

，
则，，．

证明：，所以，所以，
由知，，

所以
，

又
，

所以，
又因为与有公共点E，
所以E，F，B三点共线．

【解析】本题考查了空间向量的加减运算以及数乘运算，考查学生转化能力与推理能力，属于中档题．
利用空间向量加减运算得到求出，即可求出x，y，z的值．
利用以及向量加减运算求出，然后由共线向量证明点共线即可．
 

21.【答案】解：为的重心，BE是CD边上的中线，
，
又
，
．

【解析】本题考查空间向量的加减运算及数乘运算，考查化简的能力，属于基础题．
由G为的重心，BE是CD边上的中线，可得，，利用空间向量的加减运算及数乘运算可得．
 

22.【答案】解：．

因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，

所以，，
．

所以．

故所求向量为，，如图所示．
 

【解析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
直接运用空间向量的线性运算法则运算可得．
 

23.【答案】解：，
且，
，，．

，
且，
，，．
 

【解析】根据空间向量的加法、减法和数乘的运算法则即可得解．
本题考查空间向量的线性运算，熟练掌握空间向量的加法、减法和数乘的运算法则是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．