(最新)初三数学上册班培优讲义..直升班第19讲 几何变换之旋转（二）（学生版）
展开一、“Y”字型旋转：
模型I：等边三角形的“Y”字型旋转
因为在旋转角为的旋转变换下，任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个正三角形的三个顶点，这样，对于条件中含有正三角形的平面几何问题，我们即可以考虑用旋转角为的旋转变换处理．旋转中心可以选取正三角形的某个顶点．
模型II：等腰直角三角形的“Y”字型旋转
因为在旋转角为的旋转变换下，任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个等腰直角角形的三个顶点，这样，对于条件中含有等腰直角三角形的平面几何问题，我们即可以考虑用旋转角为的旋转变换处理．旋转中心通常选取等腰直角三角形的直角顶点．
二、三角形中的费马点：
1．定义：在一个四边形内找一个点，使得这个点到四边形四个点的距离和最小，这个点即为四边形两条对角线的交点．
在一个三角形内找一个点，使得这个点到三角形三个点的距离和最小，这个点我们称为三角形中的费马点．
2．性质：（1）费马点到三角形的三个顶点的距离和最小；
（2）费马点对应三边的三个张角都相等，且为．
等边三角形的“Y”字型旋转 | 内“Y” | ||||
线“Y” | |||||
外“Y” | |||||
等腰直角三角形的“Y”字型旋转 | 内“Y” | ||
线“Y” | |||
外“Y” | |||
（1）如图2-1，P是等边内部一点，，，，求的边长．
（2）如图2-2，在等边中，P为BC边上一点，则以AP、BP、CP为边组成的新三角形的最大内角为，则为多少度？
（3）如图2-3，是等边三角形，在中，，，问：当为何值时，C、D两点的距离最大？最大值是多少？
图2-1 图2-2 图2-3
（1）如图3-1，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求度数的大小和正方形ABCD的边长．
（2）如图3-2，已知在中，，，点D是BC上的任意一点，探究：BD，CD与AD的关系，并证明你的结论．
（3）如图3-3，四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．
图3-1 图3-2 图3-3
如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作，，连接OE，，，求AE的长．
如图，以的斜边BC为一边在同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果，，求AC的长．
若P为所在平面上一点，且，则点P叫做的费马点．如图，在锐角外侧作等边连接．求证：过的费马点P，且．
如图，四边形ABCD是正方形，是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：；
（2）①当M点在何处时，的值最小；
②当M点在何处时，的值最小，并说明理由；
（3）当的最小值为时，求正方形的边长．
（金牛区期末）如图，矩形纸片ABCD中，将它折叠，使点A与C重合，在矩形ABCD中，，，P是内部一点，Q是BC边上任意一点，试确定点P、Q的位置，使得最小，并求出这个最小值．
如图，为等边三角形，以AB为对角线作矩形ADBE，点E在内部，连接EC，若，，则的边长为_______．
．
已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当时，求AB及PD的长．
图1 图2
如图所示，在四边形ABCD中，，，，证明：．
已知O是内一点，；P是内任一点，求证：．（O为费马点）
已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．
