(最新)初三数学上册班培优讲义.直升班第15讲 四点共圆（一）(学生)

四点共圆（一）

模块一  辅助圆思想

模块二  四点共圆的判定（一）

模块一：辅助圆思想

平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．

模块二：四点共圆的判定（一）

（1）如图1-1，四边形ABCD中，，若，，则_____，__________．

（2）如图1-2，已知四边形ABCD，AB//CD，，，且，求BD的值．

图1-1                                        图1-2

（1）如图2-1，平面上有四个点A、O、B、C，其中，，，，则__________．

（2）如图2-2，在中，，，点P为外一点（P与C在直线AB异侧），且．设点P关于AB的对称点为E，连接PE、CE，试判定线段AB与CE的数量关系，并给予证明．

图2-1                                   图2-2

如图，E，B，A，F四点共线，点D是等边三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB上异于A，B的一个动点，且满足，则（    ）

A．点P一定在射线BE上  

B．点P一定在线段AB上

C．点P可以在射线AF上，也可以在线段AB上

D．点P可以在射线BE上，也可以在线段AB上

如图，AB是的直径，CD是弦，且于K．E为劣弧AC上的一点，连接AE交DC延长线于F．求证：E、F、B、K四点共圆．

（1）如图5-1，四边形ABCD内接于，P、Q、R分别是AB、BC、AD的中点．连接PQ与DA的延长线交于S，连接PR与CB延长线交于T．求证：S、T、Q、R四点共圆．

（2）如图5-2，中，以AB为直径作圆，交BC于H，交的平分线于D，作于K，M为BC中点．求证：D、M、K、H四点共圆．

图5-1                                         图5-2

（1）如图6-1，，，且BC、DE相交于G．H为AE延长线上的一点，．求证：B、G、E、H四点共圆．

（2）如图6-2，P为内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F也四点共圆．

图6-1                                          图6-2

AD、BE、CF是的三条高，相交于垂心H，在A、B、C、D、E、F、H七点中，有六组四点共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？

在中，，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ．线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明.

平面上有四个点A、O、B、C，其中，，，则满足题意的OC长度的整数的值可以是____________．

如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：

①当时，M、E、N、F四点共圆．

②当时，M、E、N、F四点共圆．

③当，且时，M、E、N、F四点共圆．

其中正确的是_____________．

如图，PA、PB切于A、B两点，过P作割线交于C、D，过B作BE//CD，连接AE交PD于M，求证：A、M、O、P四点共圆．

过两圆交点A、B之一的点A，引两条直线CAD、PAQ，分别与两圆交于C、D、P、Q，设CP与DQ的交点为R，求证：B、C、R、D四点共圆．