初中数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转精品课堂检测
展开23.1__图形的旋转__
第1课时 旋转的概念及性质 [见B本P28]
1.将图23-1-1按顺时针方向旋转90°后得到的是( A )
图23-1-1
2.如图23-1-2,该图形围绕点O按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是( B )
图23-1-2
A.72° B.108° C.144° D.216°
图23-1-3
3.如图23-1-3,点A,B,C,D都在方格纸的格点上,若△AOB绕点 O按逆时针方向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为( C )
A.30° B.45°
C.90° D.135°
4.如图23-1-4,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C,若∠A=40°,∠B′=110°,则∠BCA′的度数是( B )
A.110° B.80° C.40° D.30°
【解析】 根据旋转的性质可得∠A′=∠A,∠A′CB′=∠ACB.∵∠A=40°,∴∠A′=40°.∵∠B′=110°,∴∠A′CB′=180°-110°-40°=30°.∴∠ACB=30°.∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C,∴∠ACA′=50°,∴∠BCA′=30°+50°=80°.
图23-1-4
图23-1-5
5.如图23-1-5,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点),连接C C′,则∠CC′B′ 的度数是( D )
A.45° B.30° C.25° D.15°
6.如图23-1-6,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=110°,则∠α=__20°__.
图23-1-6 第6题答图
【解析】 如图,
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=∠D=∠BAD=90°,
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′,
∴∠D′=∠D=90°,∠4=α,
∵∠1=∠2=110°,
∴∠3=360°-90°-90°-110°=70°,
∴∠4=90°-70°=20°,
∴∠α=20°.
23-1-7
7.如图23-1-7,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°,得到Rt△AB′C′,点C′恰好落在斜边AB上,连接BB′,则∠BB′C′=__20__度.
8.同学们都玩过万花筒吧,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图23-1-8所示是可以看作万花筒的一个图案,图中所有小三角形是全等的等边三角形,其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心按照什么方向旋转多少度得到的?
图23-1-8
【解析】 将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一定的角度,意味着图形上每个点同时都旋转相同的角度,所以找一点观察即可.以点B为例,旋转后点B旋转到点E的位置,是以点A为中心,按逆时针方向旋转120°得到的,整个菱形亦然.
解:菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心,按逆时针方向旋转120°得到的.
图23-1-9
9.如图23-1-9,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE,若∠CAE=65°,∠E=70°,且AD⊥BC,则∠BAC的度数为( C )
A.60° B.75°
C.85° D.90°
10.如图23-1-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△EDC,此时,点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( C )
A.30,2 B.60,2 C.60,eq \f(\r(3),2) D.60,eq \r(3)
【解析】 由旋转性质知△BCD是等边三角形,n=60,DC=BC=2,∴∠DCF=30°,△CDF是直角三角形,∴DF=1,CF=eq \r(3),
∴阴影部分的面积为eq \f(1,2)×1×eq \r(3)=eq \f(\r(3),2),故选C.
图23-1-10
图23-1-11
11.如图23-1-11,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.(1)线段OA1的长是__6__,∠AOB1的度数是__135°__;(2)连接AA1,求证:四边形OAA1B1是平行四边形;
(3)求四边形OAA1B1的面积.
【解析】 (1)OA1=OA=6,∠AOB1=∠A1OB1+∠A1OA=45°+90°=135°;(2)证明OA綊A1B1;
(3)四边形OAA1B1的面积=OA·OA1=6×6=36.
解: (2)证明:∵∠AOA1=∠OA1B1=90°,
∴OA∥A1B1.又OA=AB=A1B1,
∴四边形OAA1B1是平行四边形;
(3)四边形OAA1B1的面积=OA·OA1=6×6=36.
12.把正方形ABCD绕着点A按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图23-1-12所示).试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
图23-1-12
第12题答图
解:HG=HB.
证法1:如图(a)所示,连接AH.
∵四边形ABCD,AEFG都是正方形,
∴∠B=∠G=90°.
由题意知AG=AB,又AH=AH,
∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL),∴HG=HB.
证法2:如图(b)所示,连接GB.
∵四边形ABCD,AEFG都是正方形,
∴∠ABC=∠AGF=90°.
由题意知AB=AG,
∴∠AGB=∠ABG,
∴∠HGB=∠HBG,
∴HG=HB.
13.如图23-1-13所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,∠BCD=45°,将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED,连接AE,CE,求△ADE的面积.
图23-1-13
第13题答图
解:如图,过点D作DF⊥BC于点F,连接AC,易证四边形ABFD是矩形,
所以BF=AD=2,
所以FC=BC-BF=3-2=1.
因为∠BCD=45°,DF⊥BC,
所以△DFC是等腰直角三角形,
所以DF=FC=1.
因为CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED,
所以∠CDE=90°,CD=ED.
因为∠ADC=180°-∠BCD=135°,所以∠ADE=360°-∠ADC-∠CDE=135°=∠ADC,
又因为AD=AD,
所以△ADE≌△ADC,
所以S△ADE=S△ADC.
因为平行线间的距离处处相等,
所以S△ADE=S△ADC=eq \f(1,2)AD·DF=eq \f(1,2)×2×1=1.
图23-1-14
14.一副三角板按图23-1-14所示叠放在一起,若固定△AOB,将△ACD绕着公共顶点A,按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时,相应的旋转角α的值是__30°,45°,75°,135°,165°__.
第2课时 旋转作图 [见A本P29]
1.△ABC在如图23-1-15所示的平面直角坐标系中,将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A1B1C1,再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2,则下列说法正确的是( D )
A.A1的坐标为(3,1) B.S四边形ABB1A1=3
C.B2C=2eq \r(2) D.∠AC2O=45°
【解析】 因为A点坐标为(-2,3),所以该点向右平移3个单位长度后得A1(1,3);平移后四边形ABB1A1的面积为3×2=6;同样可求出B2(0,-1),C2(-2,-2),所以B2C=eq \r(10),∠AC2O=45°.
图23-1-15
图23-1-16
2.如图23-1-16,P是正△ABC内的一点,若将△PBC绕点B旋转到△P′BA,则∠PBP′的度数是( B )
A.45° B.60° C.90° D.120°
【解析】 ∵△PBC绕点B旋转到△P′BA,∴∠P′BA=∠CBP,∴∠PBP′=∠P′BA+∠ABP=∠ABP+∠CBP=∠ABC=60°,故选B.
3.如图23-1-17所示,E是正方形ABCD内一点,∠AEB=130°,BE=3 cm,△ABE按顺时针方向旋转一个角度后成为△CBF,图中__B__是旋转中心,旋转__90__度,点A与点__C__是对应点,△BEF是__等腰直角__三角形,∠CBF=__∠ABE__,∠BFC=__130__度,BF=__3__cm.
图23-1-17
图23-1-18
4.分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图23-1-18所示.将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合,则这个旋转角的最小度数是__90__度.
【解析】 题中图形可看作由一个基本图形每次旋转90°,旋转3次所组成,故最小旋转角为90°.
5.如图23-1-19所示,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点.这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过__4__次旋转而得到,每一次旋转__72__度.
【解析】 由旋转特征作答.
图23-1-19
图23-1-20
6.如图23-1-20所示,△ABC的顶点坐标分别为A(3,6),B(1,3),C(4,2).如果将△ABC绕点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,那么点A的对应点A′的坐标为__(8,3)__.
【解析】 作出△A′B′C,认真看图可得A′(8,3).
7.如图23-1-21,E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的点,BE=CF,连接AE,BF,将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF,旋转角为α(0°<α<180°),则α=__90°__.
图23-1-21
图23-1-22
8.如图23-1-22所示,已知四边形ABCD绕点O顺时针旋转一定角度后,使得点A落在点A′处,试作出旋转后的图形.
【解析】 要作出旋转后的图形,关键是缺少“旋转的角度”,需要从图中找出来.
解:图略.作法:(1)连接OA,OA′.
(2)连接OB,OC,OD,分别以OB,OC,OD为始边,点O为顶点顺时针作∠BOB′,∠COC′,∠DOD′,并使得∠BOB′=∠COC′=∠DOD′=∠AOA′,OB′=OB,OC′=OC,OD′=OD.
(3)顺次连接A′,B′,C′,D′四点.
则四边形A′B′C′D′就是所要作的图形.
9.如图23-1-23,在方格纸上,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形,请按要求完成下列操作:先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1,再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴对称得到△A2B2C2.
图23-1-23
解:如图所示:
10.如图△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合,如果AP=3,那么线段PP′的长等于__3eq \r(2)__.
【解析】 由题意可知AP=AP′=3,∠PAP′=90°,所以PP′=3eq \r(2).
图23-1-24
11.如图23-1-24,Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=__80或120__.
12.如图23-1-25,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A,B的坐标分别为A(-4,0),B(-4,2).
(1)现将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到矩形OA1B1C1,请画出矩形OA1B1C1;
(2)画出直线BC1,并求直线BC1的函数解析式.
图23-1-25
第12题答图
解:(1)矩形OA1B1C1如图所示.
(2)连接BC1,矩形OA1B1C1是由矩形OABC绕O点顺时针方向旋转90°得到的,
所以OC=OC1=2,又因为点C1在x轴的正半轴上,所以点C1的坐标为(2,0).
设直线BC1的解析式为y=kx+b,且经过(-4,2)和(2,0)两点,
可列方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-4k+b=2,,2k+b=0,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k=-\f(1,3),,b=\f(2,3),))
所以直线BC1的函数解析式是y=-eq \f(1,3)x+eq \f(2,3).
图23-1-26
13.如图23-1-26,B,C,E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形.连接BG,DE.
(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请指出,并说明旋转过程;若不存在,请说明理由.
【解析】 (1)由已知可证明△BCG≌△DCE,得BG=DE;
(2)△BCG绕点C顺时针方向旋转90°后与△DCE重合.
解:(1)BG=DE.证明如下:
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,
∴CG=CE,BC=DC,∠BCG=∠DCE=90°,
∴△BCG≌△DCE,∴BG=DE.
(2)存在.△BCG和△DCE.
△BCG绕点C顺时针方向旋转90°后与△DCE重合.(△DCE绕点C逆时针方向旋转90°后与△BCG重合).
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