数学10.1 随机事件与概率学案

这是一份数学10.1 随机事件与概率学案，共11页。学案主要包含了互斥等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解概率的基本性质.2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.





知识点 概率的基本性质


性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.


性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.


性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).


性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).


性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).


性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).


思考 (1)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么事件A1，A2，…，An的和事件的概率等于事件A1，A2，…，An的概率和吗？


答案 相等.P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).


(2)对于任意事件A，事件A的概率的范围是多少？


答案 因∅⊆A⊆Ω，∴0≤P(A)≤1.





1.A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B).( × )


2.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( × )


3.事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件.( × )


4.如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.( √ )





一、互斥事件与对立事件概率公式的应用


例1 某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：


(1)射中10环或9环的概率；


(2)至少射中7环的概率；


(3)射中8环以下的概率.


解 “射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的，可运用互斥事件的概率加法公式求解.


设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为事件A，B，C，D，E，则


(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.


(2)方法一 P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.


方法二 事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”，其概率为0.13，则至少射中7环的概率为1－0.13＝0.87.


(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中8环以下的概率为0.29.


反思感悟 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤


(1)确定各事件彼此互斥.


(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.


注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.


跟踪训练1 在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：


(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；


(2)小明考试及格(60分及60分以上为及格).


解 分别记小明的成绩“在90分及90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥.


(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是


P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.


(2)方法一 小明考试及格的概率是


P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.


方法二 因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.


二、互斥、对立事件与古典概型的综合应用


例2 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：


(1)取出1球是红球或黑球的概率；


(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.


解 记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则


P(A1)＝eq \f(5,12)，P(A2)＝eq \f(4,12)，P(A3)＝eq \f(2,12)，P(A4)＝eq \f(1,12).


根据题意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.


方法一 由互斥事件概率公式，得


(1)取出1球为红球或黑球的概率为


P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq \f(5,12)＋eq \f(4,12)＝eq \f(3,4).


(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为


P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq \f(5,12)＋eq \f(4,12)＋eq \f(2,12)＝eq \f(11,12).


方法二 (1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为


P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)


＝1－eq \f(2,12)－eq \f(1,12)＝eq \f(9,12)＝eq \f(3,4).


(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以


P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12).


反思感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法


(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件.


(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.


跟踪训练2 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员，求：





(1)该队员只属于一支球队的概率；


(2)该队员最多属于两支球队的概率.


解 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由题图知3支球队共有球员20名.


则P(A)＝eq \f(5,20)，P(B)＝eq \f(3,20)，P(C)＝eq \f(4,20).


(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.


则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，


∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)


＝eq \f(5,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(4,20)＝eq \f(3,5).


(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，


则eq \x\t(E)为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，


∴P(E)＝1－P(eq \x\t(E))＝1－eq \f(2,20)＝eq \f(9,10).





正难则反思想的应用


典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.


(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；


(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.


解 (1)由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.


设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，


则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个.


所以P(A)＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9).


即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq \f(1,9).


(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件eq \x\t(B)包括的样本点有(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种.


∴P(B)＝1－P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(3,27)＝eq \f(8,9).


即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq \f(8,9).


[素养提升] 当正面考虑所解决的问题比较繁琐复杂时，可以通过逻辑推理，找到所求事件的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解.





1.在一个试验中，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是( )


A.互斥不对立 B.对立不互斥


C.互斥且对立 D.以上答案都不对


答案 C


2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )


C.0.3 D.0.7


答案 C


解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.


3.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )


A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件


B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件


C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件


D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件


答案 D


解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故四个事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故选D.





4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )


A.eq \f(1,10) B.eq \f(3,10)


C.eq \f(3,5) D.eq \f(9,10)


答案 D


解析 记3个红球分别为a1，a2，a3,2个白球分别为b1，b2，从3个红球、2个白球中任取3个，则样本空间Ω＝{(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)}，共含10个样本点，样本点出现的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用事件A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件eq \x\t(A)表示“所取的3个球中没有白球”，则事件eq \x\t(A)包含的样本点有1个(a1，a2，a3)，所以P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,10).故P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(1,10)＝eq \f(9,10).


5.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq \f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq \f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.


答案 eq \f(19,28)


解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq \f(3,7)＋eq \f(1,4)＝eq \f(19,28).





1.知识清单：


性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.


性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.


性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).


性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).


性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).


性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).


2.方法归纳：


(1)将所求事件转化为互斥事件的并事件.


(2)将求复杂事件的概率转化为求其对立事件的概率.


3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，不能重复和遗漏.








1.P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于( )


A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不确定


答案 D


解析 由于不能确定A与B是否互斥，则P(A＋B)的值不能确定.


2.(多选)下列四个命题中错误的是( )


A.对立事件一定是互斥事件


B.若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)


C.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1


D.事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件


答案 BCD


解析 对立事件首先是互斥事件，故A正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率的加法公式，故B不正确；概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故C不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确，比如在掷骰子试验中，设事件A＝{正面为奇数}，B＝{正面为1,2,3}，则P(A)＋P(B)＝1.而A，B不是对立事件，故D不正确.


3.若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是( )


A.[0,0.9] B.[0.1,0.9]


C.(0,0.9] D.[0,1]


答案 A


解析 由于事件A和B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故选A.


4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )





答案 C


解析 ∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.


5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85 g范围内的概率是( )





答案 C


解析 设“质量小于4.8g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8～4.85 g”为事件C，则A＋C＝B，且A，C为互斥事件，所以P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.


6.某城市2018年的空气质量状况如下表所示：





其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50

答案 eq \f(3,5)


解析 由于空气质量达到良或优包含污染指数T≤100，由互斥事件概率的加法公式，得该城市2018年空气质量达到良或优的概率为eq \f(1,10)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＝eq \f(3,5).


7.事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq \f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________.


答案 eq \f(2,5)


解析 因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq \f(2,5)，所以P(A)＋P(B)＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).又因为P(A)＝2P(B)，


所以P(A)＋eq \f(1,2)P(A)＝eq \f(3,5)，


所以P(A)＝eq \f(2,5).


8.某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是________.


答案 eq \f(5,6)


解析 设a，b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意知，摸球试验共有36种不同的结果，满足a＝b的基本事件共有6种.所以摸出编号不同的概率P＝1－eq \f(6,36)＝eq \f(5,6).


9.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.


(1)求此人被评为优秀的概率；


(2)求此人被评为良好及以上的概率.


解 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种.


令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则


(1)P(D)＝eq \f(1,10).


(2)P(E)＝eq \f(3,5)，P(F)＝P(D)＋P(E)＝eq \f(7,10).


10.袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是eq \f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq \f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq \f(5,12).


(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；


(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.


解 (1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，


则P(A)＝eq \f(1,3)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(5,12)，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq \f(5,12)，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).


联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PB＋PC＝\f(5,12)，,PC＋PD＝\f(5,12)，,PB＋PC＋PD＝\f(2,3)，))


解得P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,6)，P(D)＝eq \f(1,4)，


故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,6)，eq \f(1,4).


(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＝eq \f(7,12)，


故得到的不是红球也不是绿球的概率P＝1－P(A∪D)＝1－eq \f(7,12)＝eq \f(5,12).





11.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为eq \f(1,6).事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq \x\t(B)(eq \x\t(B)表示事件B的对立事件)发生的概率为( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)


答案 C


解析 由题意知，eq \x\t(B)表示“大于或等于5的点数出现”，


事件A与事件eq \x\t(B)互斥，由互斥事件的概率加法公式，


可得P(A＋eq \x\t(B))＝P(A)＋P(eq \x\t(B))＝eq \f(2,6)＋eq \f(2,6)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).


12.在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为eq \f(7,10)的是( )


A.都是一级品


B.都是二级品


C.一级品和二级品各1件


D.至少有1件二级品


答案 D


解析 样本点总数为10,2件都是一级品包含的样本点有3个，其概率为eq \f(3,10)，其对立事件是至少有1件二级品，故“至少有1件二级品”的概率为eq \f(7,10).


13.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为eq \f(9,20)，则参加联欢会的教师共有________人.


答案 120


解析 可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－eq \f(9,20)＝eq \f(11,20).


再由题意，知eq \f(11,20)n－eq \f(9,20)n＝12，解得n＝120.


14.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.


答案 eq \f(5,6)


解析 由题意知摸出的2只球的颜色相同的概率为eq \f(1,6)，故所求概率P＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).





15.甲、乙两人从1,2,3，…，10中各任取一数(不重复)，已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为________.


答案 eq \f(13,18)


解析 甲、乙两人从1,2,3，…，10中各任取一数(不重复)，甲取到的数是5的倍数，设甲取的数为m，乙取的数为n，其样本点记为(m，n)，


所以样本空间Ω＝{(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(10,1)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)}，共含有18个样本点，事件“甲数小于乙数”包括(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共5个样本点，


∴甲数大于乙数的概率为P＝1－eq \f(5,18)＝eq \f(13,18).


16.某商场有奖销售中，购物满100元可得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：


(1)P(A)，P(B)，P(C)；


(2)1张奖券的中奖概率；


(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.


解 (1)P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(10,1 000)＝eq \f(1,100)，


P(C)＝eq \f(50,1 000)＝eq \f(1,20).


故事件A，B，C的概率分别为eq \f(1,1 000)，eq \f(1,100)，eq \f(1,20).


(2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖.


设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.


∵A，B，C两两互斥，


∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)


＝eq \f(1,1 000)＋eq \f(1,100)＋eq \f(1,20)＝eq \f(61,1 000).


故1张奖券的中奖概率为eq \f(61,1 000).


(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，


∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1 000).


故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1 000).污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
eq \f(1,10)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(7,30)
eq \f(2,15)
eq \f(1,30)