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人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率学案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率学案设计，共10页。学案主要包含了频率与概率的关系，概率思想的实际应用，用随机模拟估计概率等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率.
知识点一 频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
思考 一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？
答案 随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.
知识点二 随机模拟
用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
1.设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品.( × )
2.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是eq \f(51,100).( × )
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( × )
4.小概率事件就是不可能发生的事件.( × )
一、频率与概率的关系
例1 (1)下列说法一定正确的是( )
A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B.一个骰子掷一次得到2的概率是eq \f(1,6)，则掷6次一定会出现一次2
C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
答案 D
解析 A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
解 ①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
反思感悟 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
跟踪训练1 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
解 (1)计算eq \f(m,n)即得男婴出生的频率依次约是0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.
(2)随着新生婴儿数的增多，男婴出生的频率接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
二、概率思想的实际应用
例2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？
解 甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是eq \f(99,100).乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是eq \f(1,100).由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的.
反思感悟 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.
跟踪训练2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
解 设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，
设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝eq \f(200,n).
从保护区中捕出150只天鹅，
其中有20只带有记号，
由概率的定义可知P(A)≈eq \f(20,150).
由eq \f(200,n)≈eq \f(20,150)，解得n≈1 500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.
三、用随机模拟估计概率
例3 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
解 用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为eq \f(2,20)＝0.1.
反思感悟 用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
跟踪训练3 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率.
解 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为eq \f(n,100).
1.“某彩票的中奖概率为eq \f(1,1 000)”意味着( )
A.买1 000张彩票就一定能中奖
B.买1 000张彩票中一次奖
C.买1 000张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性是eq \f(1,1 000)
答案 D
2.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
答案 B
解析 随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数.
3.某医院治疗一种疾病的治愈率为eq \f(1,5)，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人被治愈的概率是( )
A.1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(4,5) D.0
答案 B
解析 每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个人被治愈的概率仍为eq \f(1,5).
4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907 966 191 925 271
932 812 458 569 683
631 257 393 027 556
488 730 113 137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为( )
A.eq \f(13,20) B.eq \f(7,20) C.eq \f(9,20) D.eq \f(11,20)
答案 B
解析 由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机数，∴所求概率为eq \f(7,20).
5.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为________.
答案 0.52
解析 eq \f(100－48,100)＝0.52.
1.知识清单：
(1)概率与频率的关系.
(2)用频率估计概率.
(3)用随机模拟估计概率.
2.常见误区：频率与概率的关系易混淆.
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A.本市明天将有90%的地区降雨
B.本市明天将有90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨
答案 D
解析 降雨概率为90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为90%，明天也可能不下雨，故选D.
2.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有( )
A.64个 B.6个 C.16个 D.8个
答案 C
解析 80×(1－80%)＝16.
3.给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是eq \f(3,7)；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
其中正确说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确.
4.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率；先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
答案 A
解析 由10组随机数知，3个随机数都在4～9中的有569,989两组，故所求的概率为P＝eq \f(2,10)＝0.2.
5.从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是( )
A.次品率小于10% B.次品率大于10%
C.次品率等于10% D.次品率接近10%
答案 D
解析 抽出的样本中次品的频率为eq \f(1,10)，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.
6.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验.
答案 500
解析 设进行了n次试验，则有eq \f(10,n)＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验.
7.从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的________%.
答案 70
解析 计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例，由题意知eq \f(10＋3＋1,20)＝0.7＝70%.
8.在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，并选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并且1～4代表男生，用5～9代表女生.因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是________________.
答案 选出的4人中，只有1个男生
解析 用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1个男生3个女生.
9.在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中有2个白球，1个红球，1个蓝球，每次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据：
(1)请将表中数据补充完整；
(2)如果按照此方法再摸球300次，所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗？为什么？
(3)试估计红球出现的概率.
解 (1)频数分别是15,65,72；频率分别是20%,25%,27%,24%,25%.
(2)可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化.
(3)频率集中在25%附近，所以可估计概率为0.25.
10.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下表：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率.
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为
11.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率( )
A.约为0.851 3
B.必为0.851 3
C.再孵一次仍为0.851 3
D.不确定
答案 A
解析 这种鱼卵的孵化频率为eq \f(8 513,10 000)＝0.851 3，
它近似的为孵化的概率.
12.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A.甲公司 B.乙公司
C.甲或乙公司均可 D.以上都对
答案 B
解析 由于甲公司桑塔纳的比例为eq \f(100,100＋3 000)＝eq \f(1,31)，
乙公司桑塔纳的比例为eq \f(3 000,3 000＋100)＝eq \f(30,31)，
可知肇事车在乙公司的可能性大些.
13.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
答案 A
解析 抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大.
14.通过模拟试验产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰好有三个数在1,2,3,4,5,6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________.
答案 0.25
解析 表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为eq \f(5,20)＝0.25.
15.(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( )
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
答案 ACD
解析 对于A，C，D，甲胜，乙胜的概率都是eq \f(1,2)，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平.
16.如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
解 列表如下：
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种.
因为P(和为6)＝eq \f(3,12)＝eq \f(1,4)，所以甲、乙获胜的概率不相等.
所以这样的游戏规则不公平.如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的.抽取台数
50
100
200
300
500
1 000
优等品数
40
92
192
285
478
954
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数m
2 883
4 970
6 994
8 892
分组
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频数
1
2
3
10
3
1
摸球次数
10
50
80
100
150
200
250
300
出现红球的频数
2
20
27
36
50
出现红球的频率
30%
26%
24%
所用时间/分
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间/分
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择L2的人数
0
0.1
0.4
0.4
0.1
B
A
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
学习目标 1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率.
知识点一 频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
思考 一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？
答案 随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.
知识点二 随机模拟
用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
1.设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品.( × )
2.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是eq \f(51,100).( × )
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( × )
4.小概率事件就是不可能发生的事件.( × )
一、频率与概率的关系
例1 (1)下列说法一定正确的是( )
A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B.一个骰子掷一次得到2的概率是eq \f(1,6)，则掷6次一定会出现一次2
C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
答案 D
解析 A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
解 ①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
反思感悟 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
跟踪训练1 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
解 (1)计算eq \f(m,n)即得男婴出生的频率依次约是0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.
(2)随着新生婴儿数的增多，男婴出生的频率接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
二、概率思想的实际应用
例2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？
解 甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是eq \f(99,100).乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是eq \f(1,100).由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的.
反思感悟 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.
跟踪训练2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
解 设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，
设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝eq \f(200,n).
从保护区中捕出150只天鹅，
其中有20只带有记号，
由概率的定义可知P(A)≈eq \f(20,150).
由eq \f(200,n)≈eq \f(20,150)，解得n≈1 500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.
三、用随机模拟估计概率
例3 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
解 用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为eq \f(2,20)＝0.1.
反思感悟 用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
跟踪训练3 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率.
解 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为eq \f(n,100).
1.“某彩票的中奖概率为eq \f(1,1 000)”意味着( )
A.买1 000张彩票就一定能中奖
B.买1 000张彩票中一次奖
C.买1 000张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性是eq \f(1,1 000)
答案 D
2.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
答案 B
解析 随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数.
3.某医院治疗一种疾病的治愈率为eq \f(1,5)，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人被治愈的概率是( )
A.1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(4,5) D.0
答案 B
解析 每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个人被治愈的概率仍为eq \f(1,5).
4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907 966 191 925 271
932 812 458 569 683
631 257 393 027 556
488 730 113 137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为( )
A.eq \f(13,20) B.eq \f(7,20) C.eq \f(9,20) D.eq \f(11,20)
答案 B
解析 由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机数，∴所求概率为eq \f(7,20).
5.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为________.
答案 0.52
解析 eq \f(100－48,100)＝0.52.
1.知识清单：
(1)概率与频率的关系.
(2)用频率估计概率.
(3)用随机模拟估计概率.
2.常见误区：频率与概率的关系易混淆.
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A.本市明天将有90%的地区降雨
B.本市明天将有90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨
答案 D
解析 降雨概率为90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为90%，明天也可能不下雨，故选D.
2.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有( )
A.64个 B.6个 C.16个 D.8个
答案 C
解析 80×(1－80%)＝16.
3.给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是eq \f(3,7)；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
其中正确说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确.
4.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率；先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
答案 A
解析 由10组随机数知，3个随机数都在4～9中的有569,989两组，故所求的概率为P＝eq \f(2,10)＝0.2.
5.从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是( )
A.次品率小于10% B.次品率大于10%
C.次品率等于10% D.次品率接近10%
答案 D
解析 抽出的样本中次品的频率为eq \f(1,10)，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.
6.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验.
答案 500
解析 设进行了n次试验，则有eq \f(10,n)＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验.
7.从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的________%.
答案 70
解析 计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例，由题意知eq \f(10＋3＋1,20)＝0.7＝70%.
8.在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，并选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并且1～4代表男生，用5～9代表女生.因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是________________.
答案 选出的4人中，只有1个男生
解析 用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1个男生3个女生.
9.在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中有2个白球，1个红球，1个蓝球，每次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据：
(1)请将表中数据补充完整；
(2)如果按照此方法再摸球300次，所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗？为什么？
(3)试估计红球出现的概率.
解 (1)频数分别是15,65,72；频率分别是20%,25%,27%,24%,25%.
(2)可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化.
(3)频率集中在25%附近，所以可估计概率为0.25.
10.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下表：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率.
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为
11.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率( )
A.约为0.851 3
B.必为0.851 3
C.再孵一次仍为0.851 3
D.不确定
答案 A
解析 这种鱼卵的孵化频率为eq \f(8 513,10 000)＝0.851 3，
它近似的为孵化的概率.
12.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A.甲公司 B.乙公司
C.甲或乙公司均可 D.以上都对
答案 B
解析 由于甲公司桑塔纳的比例为eq \f(100,100＋3 000)＝eq \f(1,31)，
乙公司桑塔纳的比例为eq \f(3 000,3 000＋100)＝eq \f(30,31)，
可知肇事车在乙公司的可能性大些.
13.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
答案 A
解析 抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大.
14.通过模拟试验产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰好有三个数在1,2,3,4,5,6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________.
答案 0.25
解析 表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为eq \f(5,20)＝0.25.
15.(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( )
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
答案 ACD
解析 对于A，C，D，甲胜，乙胜的概率都是eq \f(1,2)，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平.
16.如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
解 列表如下：
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种.
因为P(和为6)＝eq \f(3,12)＝eq \f(1,4)，所以甲、乙获胜的概率不相等.
所以这样的游戏规则不公平.如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的.抽取台数
50
100
200
300
500
1 000
优等品数
40
92
192
285
478
954
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数m
2 883
4 970
6 994
8 892
分组
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频数
1
2
3
10
3
1
摸球次数
10
50
80
100
150
200
250
300
出现红球的频数
2
20
27
36
50
出现红球的频率
30%
26%
24%
所用时间/分
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间/分
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择L2的人数
0
0.1
0.4
0.4
0.1
B
A
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
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