2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.4.3 第2课时　正弦定理

第2课时　正弦定理
学习目标　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.

知识点一　正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
即＝＝.
知识点二　正弦定理的变形公式
1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径).
思考　在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
答案　等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.

1.正弦定理对任意的三角形都成立.(　√　)
2.在△ABC中，等式bsin C＝csin B总能成立.(　√　)
3.在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.(　×　)
4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.(　×　)

一、已知两角及任意一边解三角形
例1　在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形.
解　根据正弦定理，得b＝＝＝10.
又C＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝＝20.
反思感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.

跟踪训练1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
解　因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2(＋).
二、已知两边及其中一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形.
解　∵＝，∴sin C＝＝＝，
∵0°A.
∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个.
反思感悟　这一类型题目的解题步骤为
①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；
②用三角形内角和定理求出第三个角；
③根据正弦定理求出第三条边.
其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值.
跟踪训练2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝，
∵ABB，
又∵A＝60°，∴B为锐角.
∴cos B＝＝＝.
5.在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(　　)
A.A>B B.Asin B，
∴2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，
即a>b，故A>B.
6.在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝ .
答案　或
解析　由正弦定理，得sin A＝＝＝，
又A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝或.
7.在△ABC中，已知a＝，sin C＝2sin A，则c＝ .
答案　2
解析　由正弦定理，得c＝＝2a＝2.
8.在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为 .
答案　
解析　△ABC外接圆直径2R＝＝＝.
9.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
解　∵＝，
∴a＝＝＝10.
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵＝，
∴b＝＝＝20sin 75°
＝20×＝5(＋).
10.在△ABC中，已知acos＝bcos，试判断△ABC的形状.
解　方法一　∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理，可得a·＝b·，∴a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形.
方法二　∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理，可得2Rsin2A＝2Rsin2B，
又∵A，B∈(0，π)，∴sin A＝sin B，
∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去).
故△ABC为等腰三角形.


11.在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　B
解析　由正弦定理知＝，
∴＝，∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，
又∵0°sin B，故①成立.
函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数，
∵A>B，∴cos A，
∴0cos A，故③成立.
16.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
解　(1)a＝10，b＝20，a