人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用优秀课后复习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用优秀课后复习题，文件包含人教A版2019高中数学必修第二册643余弦定理正弦定理二分层作业原卷docx、人教A版2019高中数学必修第二册643余弦定理正弦定理二分层作业解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共6页， 欢迎下载使用。

2. 在中，已知，求.
3.在中，已知，求.
4.在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，求△ABC面积的最大值．反代入
二、巩固提高
6．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于( )
A. B. C. D．2
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________.
8．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acs C.
(1)求角C的大小；(2)求sin A－cs(B+)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小. 反代入
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acs B.
(1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
11．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
12．△ABC角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cs A的值是________．
13．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________.
三、尖子突破
14．已知方程x2－bcs Ax＋acs B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为a，b的对角，则△ABC是________________________.
15．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．则
(1)＝________； (2)若AD＝1，DC＝，则BD＝________，AC＝________.
16．A△BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cs C(acs B＋bcs A)＝c.则
(1)C＝________； (2)若c＝，△ABC的面积为，△ABC的周长＝________．
参考答案
自主测评1.【答案】(1)√ (2) × 2． 【答案】B 3．【答案】2
【例3】在△ABC中，若(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)·sin A，判断△ABC的形状.
【解析】法一：(角化边)∵(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)·sin A，
∴由正、余弦定理可得：(a-c)·b＝(b-c)·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2. ∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
法二：(边化角)根据正弦定理：(sin A－sin Ccs B)sin B＝(sin B－sin Ccs A)sin A，
即sin Ccs Bsin B＝sin Ccs Asin A.∵sin C≠0，∴sin Bcs B＝sin Acs A. ∴sin 2B＝sin 2A.
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
例4在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cs2A－cs2B＝sin Acs A－sin Bcs B. ①求角C的大小；②若sin A＝，求△ABC的面积．
【解答】①由题意得－＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cs 2A＝sin 2B－cs 2B，sin(2A-)＝sin(2B-).
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，
所以C＝. ＝＝②由c＝，sin A＝，＝，得a＝.
由a所以△ABC的面积为S＝acsin B＝.
【课后作业】
4.在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
【解析】法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcs C＝2sin Bcs(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝.
∵0°法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcs C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Bcs C，∴sin(B－C)＝0.
又－90°5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，求△ABC面积的最大值．
【解答】(1)∵a＝2，(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，
∴(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C.由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc.
由余弦定理得cs A＝＝，∴A＝60°且b2＋c2－4＝bc，
∴b2＋c2－4＝bc≥2bc－4，当且仅当b＝c时等号成立．∴bc≤4，∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A≤，
∴△ABC面积的最大值为.
6．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于( ) 【答案】B
A. B. C. D．2
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________. 【答案】2
8．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．【答案】
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acs C.
(1)求角C的大小； (2)求sin A－cs(B+)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小
【解析】(1)由正弦定理 sin Csin A＝sin Acs C．因为00，∴sin C＝cs C，则C＝.
(2)由(1)B＝－A，∴sin A－cs(B+)＝sin A－cs(π－A)＝sin A＋cs A＝2sin(A+).
因为0综上所述，sin A－cs(B+) 的最大值为2，此时A＝，B＝.
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acs B.
(1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
【解析】(1)由正弦定理得＝＝2R，R为△ABC外接圆半径．又bsin A＝acs B，
所以2Rsin Bsin A＝·2Rsin Acs B.又sin A≠0，所以sin B＝cs B，所以tan B＝.
又因为0(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
得9＝a2＋c2－ac，∴a2＋4a2－2a2＝9，解得a＝，故c＝2.
【选做】11． 【答案】C
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cs A的值是________．【答案】
13．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________.
【解析】由正弦定理，得＝，即sin C＝＝＝.
可知C为锐角，∴cs C＝＝.
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin 60°·cs C－cs 60°·sin C＝.【答案】
14．已知方程x2－bcs Ax＋acs B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状.
【解析】设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝bcs A，x1x2＝acs B，由题意得bcs A＝acs B.
由正弦定理得2Rsin Bcs A＝2Rsin Acs B，∴sin Acs B－cs Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.
在△ABC中，015．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
【解析】(1)S△ABD＝AB·AD sin∠BAD，S△ADC＝AC·AD sin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC. 由正弦定理可得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2DC＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理知，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcs∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcs∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cs C(acs B＋bcs A)＝c.
(1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解析】(1)由已知及正弦定理得，2cs C(sin Acs B＋sin Bcs A)＝sin C，即2cs Csin(A＋B)＝sin C.
故2sin Ccs C＝sin C.又C为△ABC的内角，可得cs C＝，所以C＝.
(2)由已知，absin C＝.又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcs C＝7. 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
2024—2025学年下学期高一数学分层作业（15）
6.4.3 余弦定理、正弦定理（二）