(2019)高中数学必修第二册第六章6.2.4《向量的数量积》学案-人教A版

这是一份(2019)高中数学必修第二册第六章6.2.4《向量的数量积》学案-人教A版，共14页。
6.2.4　向量的数量积知识点一　　　向量的夹角知识点二　　　向量数量积的概念知识点三　　　投影向量如图1，设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(CD,\s\up16(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \o(AB,\s\up16(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up16(→))，我们称上述变换为向量a向向量beq \o(□,\s\up4(01))投影，eq \o(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的eq \o(□,\s\up4(02))投影向量．如图2，我们可以在平面内任取一点O，作eq \o(OM,\s\up16(→))＝a，eq \o(ON,\s\up16(→))＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \o(OM1,\s\up16(→))就是向量a在向量b上的投影向量．知识点四　　　向量的数量积的性质和运算律(1)向量的数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a·e＝e·a＝eq \o(□,\s\up4(01))|a|cosθ.②a⊥b⇔eq \o(□,\s\up4(02))a·b＝0.③当a与b同向时，a·b＝eq \o(□,\s\up4(03))|a||b|.当a与b反向时，a·b＝eq \o(□,\s\up4(04))－|a||b|.④a·a＝eq \o(□,\s\up4(05))|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2).⑤cosθ＝eq \o(□,\s\up4(06))eq \f(a·b,|a||b|).⑥|a·b|eq \o(□,\s\up4(07))≤|a||b|.(2)向量数量积的运算律①eq \o(□,\s\up4(08))a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝eq \o(□,\s\up4(09))λ(a·b)＝eq \o(□,\s\up4(10))a·(λb)(结合律)．③eq \o(□,\s\up4(11))(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．1．对数量积的理解(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成a×b.2．要灵活掌握向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝eq \r(|a|2)＝eq \r(a2)也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)用cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当θ＝0时，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；当θ为锐角时，cosθ>0，a·b>0；当θ为钝角时，cosθ0，∴eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))