高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品导学案及答案，共10页。学案主要包含了对数运算性质的应用，对数换底公式的应用，对数的综合应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．





知识点一 对数运算性质


如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：


(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；


(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；


(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．


知识点二 换底公式


1．lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．


2．对数换底公式的重要推论：


(1)lgaN＝eq \f(1,lgNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；


(2)＝eq \f(m,n)lgab(a>0，且a≠1，b>0)；


(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．


预习小测 自我检验


1．计算lg84＋lg82＝________.


答案 1


2．计算lg510－lg52________.


答案 1


3．(1)lg eq \r(10)＝________；


(2)已知ln a＝0.2，则ln eq \f(e,a)＝________.


答案 (1)eq \f(1,2) (2)0.8


4.eq \f(lg29,lg23)＝________.


答案 2








一、对数运算性质的应用


例1 计算下列各式：


(1)lg5eq \r(3,625)；(2)lg2(32×42)；


(3)lg535－2lg5eq \f(7,3)＋lg57－lg5eq \f(9,5).


解 (1)原式＝eq \f(1,3)lg5625＝eq \f(1,3)lg554＝eq \f(4,3).


(2)原式＝lg232＋lg242＝5＋4＝9.


(3)原式＝lg5(5×7)－2(lg57－lg53)＋lg57－lg5eq \f(9,5)


＝lg55＋lg57－2lg57＋2lg53＋lg57－2lg53＋lg55＝2lg55＝2.


反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法


(1)基本原则


对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．


(2)两种常用的方法


①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；


②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．


跟踪训练1 计算下列各式的值：


(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；


(2)eq \f(lg 3＋\f(2,5)lg 9－\f(3,5)lg\r(27),lg 81－lg 27).


解 (1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2


＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2


＝lg 5－lg 2＋2lg 2


＝lg 5＋lg 2＝1.


(2)原式＝eq \f(lg 3＋\f(4,5)lg 3－\f(9,10)lg 3,4lg 3－3lg 3)


＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4,5)－\f(9,10)))lg 3,4－3lg 3)


＝eq \f(9,10).


二、对数换底公式的应用


例2 (1)计算：(lg43＋lg83)lg32＝________.


答案 eq \f(5,6)


解析 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,lg34)＋\f(1,lg38)))lg32


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2lg32)＋\f(1,3lg32)))lg32


＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).


(2)已知lg189＝a,18b＝5，求lg3645.(用a，b表示)


解 因为18b＝5，所以b＝lg185.


所以lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg185×9,lg182×18)


＝eq \f(lg185＋lg189,lg182＋lg1818)


＝eq \f(a＋b,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))


＝eq \f(a＋b,2－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).


延伸探究


若本例(2)条件不变，求lg915.(用a，b表示)


解 因为18b＝5，所以lg185＝b.


所以lg915＝eq \f(lg1815,lg189)＝eq \f(lg183×5,lg189)


＝eq \f(lg183＋lg185,a)＝eq \f(lg18\r(9)＋b,a)


＝＝eq \f(\f(1,2)lg189＋b,a)


＝eq \f(\f(1,2)a＋b,a)＝eq \f(a＋2b,2a).


反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路





跟踪训练2 (1)eq \f(lg89,lg23)的值是( )


A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C．1 D．2


答案 A


解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，


即eq \f(lg89,lg23)＝eq \f(\f(lg 9,lg 8),\f(lg 3,lg 2))＝eq \f(2lg 3,3lg 2)·eq \f(lg 2,lg 3)＝eq \f(2,3).


方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，


即eq \f(lg89,lg23)＝eq \f(\f(lg29,lg28),lg23)＝eq \f(2lg23,3lg23)＝eq \f(2,3).


(2)计算：eq \f(lg5\r(2)·lg79,lg5\f(1,3)·lg7\r(3,4)).


解 原式＝eq \f(lg5\r(2),lg5\f(1,3))·eq \f(lg79,lg7\r(3,4))





＝－eq \f(1,2)·lg32·3lg23＝－eq \f(3,2).


三、对数的综合应用


例3 2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)


解 设经过x年后国民生产总值为2018年的2倍．


经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，


经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，


…，


经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，


所以1.08x＝2，


所以x＝lg1.082＝eq \f(lg 2,lg 1.08)＝eq \f(0.301 0,0.033 4)≈9，


故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍．


反思感悟 解决对数应用题的一般步骤





跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))2 000(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．


解 因为v＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))2 000


＝2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))，


所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．


故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.





1．计算：lg123＋lg124等于( )


A．1 B．2 C．3 D．4


答案 A


2．若lg 2＝m，则lg 5等于( )


A．m B.eq \f(1,m) C．1－m D.eq \f(10,m)


答案 C


解析 lg 5＝lg eq \f(10,2)＝lg 10－lg 2＝1－m.


3．化简eq \f(1,2)lg612－2lg6eq \r(2)的结果为( )


A．6eq \r(2) B．12eq \r(2) C．lg6eq \r(3) D.eq \f(1,2)


答案 C


解析 原式＝lg6eq \r(12)－lg62＝lg6eq \f(\r(12),2)＝lg6eq \r(3).


4．下列各等式正确的为( )


A．lg23·lg25＝lg2(3×5)


B．lg 3＋lg 4＝lg(3＋4)


C．lg2eq \f(x,y)＝lg2x－lg2y


D．lgeq \r(n,m)＝eq \f(1,n)lg m(m>0，n>1，n∈N*)


答案 D


解析 A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义．


5．计算：lg5eq \f(1,3)·lg36·lg6eq \f(1,25)＝________.


答案 2


解析 原式＝eq \f(lg \f(1,3),lg 5)·eq \f(lg 6,lg 3)·eq \f(lg \f(1,25),lg 6)


＝eq \f(－lg 3,lg 5)·eq \f(lg 6,lg 3)·eq \f(－2lg 5,lg 6)＝2.





1．知识清单：


(1)对数的运算性质．


(2)换底公式．


(3)对数的实际应用．


2．方法归纳：


(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．


(2)利用结论lgab·lgba＝1，＝eq \f(m,n)lgab化简求值更方便．


3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．








1．lg 8＋3lg 5的值为( )


A．－3 B．－1 C．1 D．3


答案 D


解析 lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3.


2．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么( )


A．x＝eq \f(ab3,c5) B．x＝eq \f(3ab,5c)


C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3


考点 对数的运算


题点 对数的运算性质


答案 A


解析 lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lgeq \f(ab3,c5)，


由lg x＝lgeq \f(ab3,c5)，可得x＝eq \f(ab3,c5).


3．设a＝lg32，则lg38－2lg36用a表示的形式是( )


A．a－2 B．3a－(1＋a)2


C．5a－2 D．－a2＋3a－1


答案 A


解析 ∵a＝lg32，


∴lg38－2lg36＝3lg32－2(lg32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.


4．计算lg225·lg32eq \r(2)·lg59的结果为( )


A．3 B．4 C．5 D．6


答案 D


解析 原式＝eq \f(lg 25,lg 2)·eq \f(lg 2\r(2),lg 3)·eq \f(lg 9,lg 5)


＝eq \f(2lg 5,lg 2)·eq \f(\f(3,2)lg 2,lg 3)·eq \f(2lg 3,lg 5)＝6.


5．若lg x－lg y＝t，则lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))3－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))3等于( )


A．3t B.eq \f(3,2)t C．t D.eq \f(t,2)


答案 A


解析 lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))3－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))3＝3lg eq \f(x,2)－3lg eq \f(y,2)


＝3lg eq \f(x,y)＝3(lg x－lg y)＝3t.


6．lg eq \r(5)＋lg eq \r(20)的值是________．


答案 1


解析 lgeq \r(5)＋lgeq \r(20)＝lgeq \r(100)＝lg 10＝1.


7．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.


考点 对数的运算


题点 利用lg 2＋lg 5＝1化简求解对数值


答案 1


解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)


＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2


＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2


＝lg 5＋lg 2＝1.


8．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则eq \f(x,y)＝________.


答案 4


解析 因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，y>0，,x－2y>0，,xy＝x－2y2.))


由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，


所以x＝y或x＝4y.


又x>0，y>0且x－2y>0，


所以舍去x＝y，故x＝4y，则eq \f(x,y)＝4.


9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：


(1)lg(xyz)；(2)lg eq \f(xy2,z)；


(3)lg eq \f(xy3,\r(z))；(4)lg eq \f(\r(x),y2z).


解 (1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.


(2)lg eq \f(xy2,z)＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.


(3)lg eq \f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lg eq \r(z)＝lg x＋3lg y－eq \f(1,2)lg z.


(4)lg eq \f(\r(x),y2z)＝lg eq \r(x)－lg(y2z)＝eq \f(1,2)lg x－2lg y－lg z.


10．计算下列各式的值：


(1)lg535＋2－lg5eq \f(1,50)－lg514；


(2)[(1－lg63)2＋lg62·lg618]÷lg64；


(3)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)．


解 (1)原式＝lg535＋lg550－lg514＋2


＝lg5eq \f(35×50,14)＋


＝lg553－1＝2.


(2)原式＝[(lg66－lg63)2＋lg62·lg6(2×32)]÷lg64


＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg6\f(6,3)))2＋lg62·lg62＋lg632))÷lg622


＝[(lg62)2＋(lg62)2＋2lg62·lg63]÷2lg62


＝lg62＋lg63＝lg6(2×3)＝1.


(3)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9)))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3)))


＝eq \f(5lg 3,6lg 2)×eq \f(3lg 2,2lg 3)＝eq \f(5,4).





11．方程lg3(x2－10)＝1＋lg3x的解是( )


A．－2 B．－2或5 C．5 D．3


答案 C


解析 原方程可化为lg3(x2－10)＝lg3(3x)，


所以x2－10＝3x，


解得x＝－2，或x＝5.经检验知x＝5.


12．若lg x－lg y＝a，则lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))3－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))3等于( )


A．3a B.eq \f(3,2)a C．a D.eq \f(a,2)


答案 A


解析 由对数的运算性质知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.


13．若3x＝4y＝36，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝________.


考点 对数的运算


题点 用代数式表示对数


答案 1


解析 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得


xlg63＝ylg64＝2，


∴eq \f(2,x)＝lg63，eq \f(2,y)＝lg64，即eq \f(1,y)＝lg62，


故eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝lg63＋lg62＝1.


14．若xlg32＝1，则4x＋4－x＝________.


答案 eq \f(82,9)


解析 因为x＝eq \f(1,lg32)＝lg23，


所以4x＋4－x＝22x＋2－2x＝＋＝＋＝9＋eq \f(1,9)＝eq \f(82,9).





15．若ab>0，给出下列四个等式：


①lg(ab)＝lg a＋lg b；


②lgeq \f(a,b)＝lg a－lg b；


③eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lgeq \f(a,b)；


④lg(ab)＝eq \f(1,lgab10).


其中一定成立的等式的序号是( )


A．①②③④ B．①②


C．③④ D．③


答案 D


解析 ∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，


∴①②中的等式不一定成立；


∵ab>0，∴eq \f(a,b)>0，eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝eq \f(1,2)×2lg eq \f(a,b)＝lg eq \f(a,b)，


∴③中等式成立；


当ab＝1时，lg(ab)＝0，但lgab10无意义，


∴④中等式不成立．故选D.


16．已知lg23＝a，lg37＝b，用a，b表示lg4256.


考点 对数的运算


题点 用代数式表示对数


解 ∵lg23＝a，则eq \f(1,a)＝lg32，又∵lg37＝b，


∴lg4256＝eq \f(lg356,lg342)＝eq \f(lg37＋3lg32,lg37＋lg32＋1)＝eq \f(ab＋3,ab＋a＋1).