高中人教A版 (2019)4.2 指数函数优质导学案

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这是一份高中人教A版 (2019)4.2 指数函数优质导学案，共12页。

学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点．

知识点一不同底的对数函数图象的相对位置

一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0

知识点二反函数的概念

一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．

(1)y＝ax的定义域R就是y＝lgax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝lgax的定义域．

(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．

(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝lgax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．

预习小测自我检验

1．已知f(x)＝lg2x，若f(x)<0，则x的取值范围是________．

答案 (0,1)

2．关于函数的单调性叙述正确的是________．(填序号)

①在R上单调递减；

②在(1，＋∞)上单调递增；

③在(1，＋∞)上单调递减；

④在(0，＋∞)上单调递减．

答案 ③

3．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x的反函数为________．

答案

4．函数f(x)＝lgax在[2,4]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________．

答案 eq \r(2)

解析依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga2＋lga4＝6，,a>0且a≠1，))

所以3lga2＝6，即lga2＝2，

所以a2＝2，所以a＝eq \r(2)(舍－eq \r(2))．

一、反函数

例1 函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝(x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域．

解 (x<0)是增函数，

所以0<<100，

所以0<<1，

故f(x)＝的定义域为(－∞，0)，值域为(0,1)，

所以g(x)＝2 019lg x，定义域为(0,1)，值域为(－∞，0)．

反思感悟互为反函数的常用结论

(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．

(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．

(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．

跟踪训练1 (1)已知函数y＝ax与y＝lgax，其中a>0且a≠1，下列说法不正确的是( )

A．两者的图象关于直线y＝x对称

B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域

C．两函数在各自的定义域内增减性相同

D．y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝lgax的图象

答案 D

(2)函数y＝f(x)是的反函数，则f(2)＝________.

答案 eq \f(1,2)

解析 f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x，f(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＝eq \f(1,2).

二、解对数不等式

例2 解下列关于x的不等式：

(1)

(2)lga(2x－5)>lga(x－1)．

解 (1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,4－x>0，,x<4－x，))解得0

所以原不等式的解集为{x|0

(2)当a>1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－5>0，,x－1>0，,2x－5>x－1.))解得x>4.

当00，,x－1>0，,2x－5

解得eq \f(5,2)

综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；

当0

反思感悟对数不等式的三种考查类型及解法

(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0

(2)形如lgax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝lgaab)，再借助y＝lgax的单调性求解．

(3)形如lgf(x)a>lgg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．

跟踪训练2 (1)求满足不等式lg3x<1的x的取值集合；

(2)若lgaeq \f(2,5)<1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围．

解 (1)因为lg3x<1＝lg33，

所以x满足的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,lg3x

所以x的取值集合为{x|0

(2)lgaeq \f(2,5)<1，即lgaeq \f(2,5)

当a>1时，函数y＝lgax在定义域内是增函数，

所以lgaeq \f(2,5)

当0

由lgaeq \f(2,5)

所以实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,5)))∪(1，＋∞)．

三、对数型复合函数的单调性

例3 求函数的单调区间．

解要使有意义，则1－x2>0，

所以x2<1，所以－1

因此函数的定义域为(－1,1)．

令t＝1－x2，x∈(－1,1)．

当x∈(－1,0]时，当x增大时，t增大，减小．

所以当x∈(－1,0]时，是减函数；

同理可知，当x∈[0,1)时，是增函数．

即函数的单调递减区间是(－1,0]，

单调递增区间为[0,1)．

反思感悟求形如y＝lgaf(x)的函数的单调区间的步骤

(1)求出函数的定义域．

(2)研究函数t＝f(x)和函数y＝lgat在定义域上的单调性．

(3)判断出函数的增减性求出单调区间．

跟踪训练3 已知函数f(x)＝lg2eq \f(x＋1,x－1).

(1)判断函数的奇偶性；

(2)求函数的单调区间．

解 (1)要使函数有意义，

则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x－1>0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1<0，,x－1<0.))

解得x>1或x<－1.

所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

所以函数的定义域关于原点对称．

f(－x)＝lg2eq \f(－x＋1,－x－1)＝lg2eq \f(x－1,x＋1)

＝－lg2eq \f(x＋1,x－1)＝－f(x)．

所以f(x)为奇函数．

(2)设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1

则eq \f(x2＋1,x2－1)－eq \f(x1＋1,x1－1)

＝eq \f(2x1－x2,x2－1x1－1)<0，

所以eq \f(x2＋1,x2－1)

所以lg2eq \f(x2＋1,x2－1)

所以f(x)在(1，＋∞)上为减函数．

同理，f(x)在(－∞，－1)上也是减函数．

故f(x)＝lg2eq \f(x＋1,x－1)的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．

求与对数函数有关的复合函数的值域或最值

典例求函数f(x)＝lg2(4x)·，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))的值域．

解 f(x)＝lg2(4x)·

＝(lg2x＋2)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)lg2x－1))

＝－eq \f(1,2)[(lg2x)2＋lg2x－2]．

设lg2x＝t.

∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))，∴t∈[－1,2]，

则有y＝－eq \f(1,2)(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，

因此二次函数图象的对称轴为t＝－eq \f(1,2)，

∴函数y＝－eq \f(1,2)(t2＋t－2)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))上是减函数，

∴当t＝－eq \f(1,2)时，有最大值，且ymax＝eq \f(9,8).

当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.

∴f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(9,8))).

[素养提升] 利用数学抽象把原函数看成关于lg2x的一个二次函数，再通过数学运算计算出二次函数的最值．

1．不等式lg2(x－1)>－1的解集是( )

A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(2,3))))) B．{x|x>2} C．{x|x>1} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(3,2)))))

答案 D

解析 ∵lg2(x－1)>－1＝lg2eq \f(1,2)，

∴x－1>eq \f(1,2)，即x>eq \f(3,2).

2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )

A．lg2x B.eq \f(1,2x) C． D．2x－2

答案 A

解析函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝lgax，

又f(2)＝1，即lga2＝1，所以a＝2.

故f(x)＝lg2x.

3．若lgaeq \f(2,3)<1，则实数a的取值范围是( )

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))

C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))

答案 A

解析当a>1时，满足条件；当0

综上，a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．

4．函数f(x)＝ln(1－2x)的单调减区间为____________．

考点对数函数的单调性

题点对数型复合函数的单调区间

答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))

5．已知函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．

解 (1)当a>1时，函数y＝lgax在[2,4]上是增函数，

所以lga4－lga2＝1，

即lga2＝1，所以a＝2.

(2)当0

所以lga2－lga4＝1，

即lgaeq \f(1,2)＝1，所以a＝eq \f(1,2).

由(1)(2)知a＝2或eq \f(1,2).

1．知识清单：

(1)利用单调性解不等式．

(2)求简单对数型复合函数的单调性及值域问题．

2．方法归纳：换元法．

3．常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域．

1．函数y＝eq \r(lg32x－1)的定义域为( )

A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)

C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))

考点对数不等式

题点解对数不等式

答案 A

解析要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg32x－1≥0，,2x－1>0，))

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1≥1，,2x－1>0，)) ∴x≥1，∴函数y＝eq \r(lg32x－1)的定义域为[1，＋∞)．

2．若lga2

A．0

C．a>b>1 D．b>a>1

答案 B

解析因为lga2<0，lgb2<0，

所以0

又lga2

所以a>b，

故0

3．函数f(x)与函数g(x)互为反函数，若f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x且x∈(0，＋∞)，则函数g(x)的定义域为( )

A．(0，＋∞) B．R

C．(0,1) D．(1，＋∞)

答案 C

解析 ∵当x∈(0，＋∞)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x∈(0,1)，

∴函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x∈(0，＋∞)的值域为(0,1)，

又f(x)与g(x)互为反函数，

故g(x)的定义域为(0,1)，故选C.

4．已知lgaeq \f(1,2)<2，那么a的取值范围是( )

A．0eq \f(\r(2),2)

C.eq \f(\r(2),2)1

考点对数不等式

题点解对数不等式

答案 D

解析当a>1时，由lgaeq \f(1,2)eq \f(1,2)，故a>1；

当0

综上可知，a的取值范围是01.

5．函数y＝的单调递增区间是( )

A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(1,2) D．(2,3)

答案 D

解析由－3＋4x－x2>0，得x2－4x＋3<0，得1

设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2.

∵函数y＝为减函数，

∴要求函数y＝的单调递增区间，

即求函数t＝－3＋4x－x2,1

∵函数t＝－3＋4x－x2,1

∴函数y＝的单调递增区间为(2,3)，故选D.

6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)，\f(2,3)))，则a＝________.

考点函数的反函数

题点反函数的图象与性质

答案 eq \r(2)

解析因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)，\f(2,3)))在y＝f(x)的图象上，

所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\r(3,2)))在y＝ax的图象上，则有eq \r(3,2)＝，

即a2＝2，又因为a>0，所以a＝eq \r(2).

7．函数y＝的值域为________．

答案 (0，＋∞)

解析因为3x>0，所以－3x<0，

所以0<1－3x<1.

又y＝(t＝1－3x)是关于t的减函数，

所以y＝>＝0.

∴y>0

8．若函数f(x)＝lgax(其中a为常数，且a>0，a≠1)满足f(2)>f(3)，则f(2x－1)

答案 {x|1

解析 ∵f(2)>f(3)，

∴f(x)＝lgax是减函数，

由f(2x－1)0，,2－x>0，,2x－1>2－x，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2)，,x<2，,x>1，))

∴1

9．已知f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)(a>0且a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域，值域；

(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．

解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,x＋3>0，))得定义域为{x|－3

f(x)＝lga(－x2－2x＋3)，

令t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，

因为x∈(－3,1)，所以t∈(0,4]．

所以f(t)＝lgat，t∈(0,4]．

当0

当a>1时，值域为(－∞，lga4]．

(2)ymin＝－2，由(1)及题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

10．已知函数f(x－1)＝lgeq \f(x,2－x).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的奇偶性；

(3)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)．

解 (1)令t＝x－1，则x＝t＋1，

由题意知eq \f(x,2－x)>0，即0

则－1

所以f(t)＝lg eq \f(t＋1,2－t＋1)＝lg eq \f(t＋1,1－t)，

故f(x)＝lg eq \f(x＋1,1－x)(－1

(2)由(1)知，f(x)＝lg eq \f(x＋1,1－x)(－1

所以f(－x)＝lg eq \f(－x＋1,1－－x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)))－1＝－lg eq \f(1＋x,1－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

(3)原不等式可化为lg eq \f(x＋1,1－x)≥lg(3x＋1)，－1

即eq \f(x＋1,1－x)≥3x＋1>0，－1

故原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).

11．若函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )

A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4

答案 B

解析当a>1时，a＋lga2＋1＝a，lga2＝－1，a＝eq \f(1,2)，与a>1矛盾；

当0

12．设偶函数f(x)＝lga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是( )

A．f(a＋1)

C．f(a＋1)≥f(b＋2) D．f(a＋1)>f(b＋2)

答案 D

解析由于此函数是偶函数，函数f(x)＝lga|x－b|中b＝0，又函数在(－∞，0)上单调递增，所以在(0，＋∞)上单调递减，则0f(b＋2)．

13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝0，则不等式f()

>0的解集为________．

答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)

解析 ∵f(x)是R上的偶函数，

∴它的图象关于y轴对称．

∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，

作出函数图象如图所示．

由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝0，得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.

若f()>0，则<－eq \f(1,3)或>eq \f(1,3)，

解得x>2或0

∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．

14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．

答案 (0,1]

解析函数f(x)的图象如图所示，

要使y＝a与f(x)有两个不同交点，则0

15．若函数f(x)＝lga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是( )

A．(0,1) B．(1,3) C．(1,3] D．[3，＋∞)

考点对数函数的单调性

题点由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围

答案 B

解析函数由y＝lgau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝lgau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1

16．已知f(x)＝2＋lg3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．

解 y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋lg3x)2＋lg3x2＋2＝(lg3x)2＋6lg3x＋6＝(lg3x＋3)2－3.

∵f(x)的定义域为[1,9]，

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))

∴1≤x≤3，∴0≤lg3x≤1，∴6≤y≤13.

∴当x＝3时，y取得最大值，为13.