高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课堂检测，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )


A．a>b⇒ac2>bc2 B.eq \f(a,c)>eq \f(b,c)⇒a>b


C.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,ab<0))⇒eq \f(1,a)>eq \f(1,b) D.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(ab>0,a>b))⇒a2b

解析：A项，c＝0时不成立；B项，c<0时不成立；C项，因为a>b，ab<0，所以eq \f(a,ab)b，ab>0，所以a·ab>b·ab，即a2b>ab2，不成立．


答案：C


2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )


A．a>b B．a

C．a≥b D．a≤b


解析：a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)


＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.


答案：C


3．已知b<2a,3d

A．2a－c>b－3d B．2ac>3bd


C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c


解析：由于b<2a,3d

答案：C


4．设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))


解析：由题意得，A＝{x|1\f(3,2)))))，则A∩B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)).


答案：D


5．若α，β满足－eq \f(π,2)<α<β

A．－π<α－β<π B．－π<α－β<0


C．－eq \f(π,2)<α－β

解析：从题中－eq \f(π,2)<α<β

答案：B


6．设A＝eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)，其中a、b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )


A．A≥B B．A>B


C．A

解析：因为a，b都是正实数，且a≠b，


所以A＝eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)>2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，即A>2，


B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2


＝－(x－2)2＋2≤2，


即B≤2，所以A>B.


答案：B


7．已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，则b－c的值为( )


A．1 B．－1


C．9 D．－9


解析：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，


∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根，


∴由韦达定理知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－5＋1＝b，,－5×1＝c，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－4，,c＝－5.))


∴b－c＝－4－(－5)＝1.故选A.


答案：A


8．已知a>0，b>0，a，b的等差中项是eq \f(1,2)，且α＝a＋eq \f(1,a)，β＝b＋eq \f(1,b).则α＋β的最小值是( )


A．3 B．4


C．5 D．6


解析：因为α＋β＝a＋eq \f(1,a)＋b＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)＋\f(1,b)))·(a＋b)


＝1＋1＋1＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥5.当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立．


答案：C


9．设a>0，不等式－c

A．1∶2∶3 B．2∶1∶3


C．3∶1∶2 D．3∶2∶1


解析：∵－c0，


∴－eq \f(b＋c,a)

∵不等式的解集为{x|－2

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b＋c,a)＝－2，,\f(c－b,a)＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\f(a,2)，,c＝\f(3,2)a，))


∴a∶b∶c＝a∶eq \f(a,2)∶eq \f(3a,2)＝2∶1∶3.


答案：B


10．若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )


A.eq \r(2) B．2


C．2eq \r(2) D．4


解析：方法一 由已知得eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(b＋2a,ab)＝eq \r(ab)，且a>0，b>0，∴abeq \r(ab)＝b＋2a≥2eq \r(2)eq \r(ab)，∴ab≥2eq \r(2).


方法二 由题设易知a>0，b>0，∴eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，即ab≥2eq \r(2).


答案：C


11．若不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )


A．a≥2或a≤－3 B．a>2或a≤－3


C．a>2 D．－2

解析：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1>0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2>0，且Δ<0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2>0，,42－4a＋2a－1<0.))解得a>2.


答案：C


12．已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )


A．2 B．4


C．6 D．8


解析：不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥(1＋eq \r(a))2≥9，∴eq \r(a)≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.


答案：B


二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)


13．如果a

①eq \f(1,a)

③－ab<－a2 ④－eq \f(1,a)<－eq \f(1,b)


解析：令a＝－2，b＝－1，则eq \f(1,a)＝－eq \f(1,2)>eq \f(1,b)＝－1，故①不成立；ab＝2>b2＝1，故②不成立．因为a0，所以－ab>－a2，故③不成立．选④.


答案：④


14．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，问：该厂日产量________时，日获利不少于1 300元？


解析：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300，


化简得x2－65x＋900≤0，


解之得20≤x≤45.


因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1 300元．


答案：20件至45件


15．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．


解析：x2＋y2≥eq \f(x＋y2,2)＝eq \f(1,2).当且仅当x＝y时等号成立．


当x＝0或x＝1时，x2＋y2取最大值，为1.


所以x2＋y2的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).


答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


16．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．


解析：由题意可知，Δ>0且x1x2＝a2－1<0，故－1

答案：－1

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(10分)比较x2＋3与3x的大小(其中x∈R)．


解析：因为(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x2－3x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2))＋3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0，所以x2＋3>3x.


18．(12分)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3x－2,x－6)≤1，,6x2－x－1>0.))


解析：eq \f(3x－2,x－6)≤1⇒eq \f(2x＋4,x－6)≤0⇒x∈[－2,6)，


6x2－x－1>0⇒(3x＋1)(2x－1)>0⇒x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，


所以原不等式组的解集为x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，6)).


19．(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；


(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.


解析：(1)由题意，知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a<0，,\f(4,1－a)＝－2，,\f(6,1－a)＝－3，))解得a＝3.


所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0，


即为2x2－x－3>0，


解得x<－1或x>eq \f(3,2).


所以所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(3,2))))).


(2)ax2＋bx＋3≥0，


即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，


则b2－4×3×3≤0，


所以－6≤b≤6.


20．(12分)正数x，y满足eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1.


(1)求xy的最小值；


(2)求x＋2y的最小值．


解析：(1)由1＝eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)≥2eq \r(\f(1,x)·\f(9,y))得xy≥36，当且仅当eq \f(1,x)＝eq \f(9,y)，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.


(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝19＋eq \f(2y,x)＋eq \f(9x,y)≥19＋2eq \r(\f(2y,x)·\f(9x,y))＝19＋6eq \r(2)，当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(9x,y)，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6eq \r(2).


21．(12分)





如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．


(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？


(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？


解析：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.


设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.


方法一 由于2x＋3y≥2eq \r(2x×3y)＝2eq \r(6xy)，


∴2eq \r(6xy)≤18，得xy≤eq \f(27,2)，即S≤eq \f(27,2).


当且仅当2x＝3y时等号成立．


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝3y，,2x＋3y＝18，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4.5,y＝3.))


故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．


方法二 由2x＋3y＝18，得x＝9－eq \f(3,2)y.


∵x>0，∴0

S＝xy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(3,2)y))y＝eq \f(3,2)(6－y)y.


∵00.∴S≤eq \f(3,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6－y＋y,2)))2＝eq \f(27,2).


当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.


故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大．


(2)由条件知S＝xy＝24.


设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.


方法一 ∵2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)＝24，


∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝3y，,xy＝24，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝4.))


故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．


方法二 由xy＝24，得x＝eq \f(24,y).


∴l＝4x＋6y＝eq \f(96,y)＋6y＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,y)＋y))≥6×2eq \r(\f(16,y)×y)＝48，


当且仅当eq \f(16,y)＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.


故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋总长最小．


22．(12分)已知f(x)＝x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))x＋1.


(1)当a＝eq \f(1,2)时，解不等式f(x)≤0；


(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.


解析：(1)当a＝eq \f(1,2)时，


有不等式f(x)＝x2－eq \f(5,2)x＋1≤0，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))(x－2)≤0，


所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤2)))).


(2)因为不等式f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－a)≤0，


当0a，所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤x≤\f(1,a)))))；


当a>1时，有eq \f(1,a)

当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}．