（预习课）人教A版高一数学寒假讲义第06讲 平面向量的概念+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、了解向量的实际背景和概念．
2、清楚向量的几何表示．
3、区分相等向量与共线向量．
【考点目录】
考点一：向量的基本概念
考点二：向量的表示方法
考点三：利用向量相等或共线进行证明
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
【基础知识】
知识点一：向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
知识点二：向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
知识点三：向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．
知识点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
知识点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【考点剖析】
考点一：向量的基本概念
例1．给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
例3．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
考点二：向量的表示方法
例4．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
例5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量．
（1）试以B为起点画一个向量，使；
（2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出的终点的轨迹是什么．
考点三：利用向量相等或共线进行证明
例6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
例7．在平行四边形中，E，F分别是，的中点，如图所示.
（1）写出与向量共线的向量；
（2）求证:.
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
例8．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量； （2）求．
例9．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【真题演练】
1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（ ）
A．质量B．功C．温度D．力
2．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．相等向量一定是共线向量
C．若，则D．任意向量的模都是正数
3．（2022·山东东营·高一期中）设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量B．模相等的向量C．共起点的向量D．共线向量
4．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若与同向，且，则>；
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．
其中假命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（多选题）（2022·吉林·延边第一中学高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件
B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上
C．与是非零向量，若与同向，则与反向
D．设为实数，若，则与共线
6．（2022·全国·高一课时练习）下列各量中，是向量的是___________.（填序号）
①密度；②体积；③重力；④质量.
7．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
8．（2022·全国·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量，使；
(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？
【过关检测】
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
2．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量D．模为0的向量与任意向量共线
3．给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式：①；②﹔③；④.其中正确的是（ ）
A．①④B．③C．①②③D．②③
5．如图，四边形ABCD是等腰梯形，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
7．下列结论中，正确的是（ ）
A．长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
8．设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
二、多选题
9．以下选项中，能使成立的条件有（ ）
A．B．或
C．D．与都是单位向量
10．下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
11．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与方的方向相同或相反
C．若且，，则
D．对任一向量，是一个单位向量
12．下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则B．若与共线，则或
C．若，则D．是与非零向量共线的单位向量
三、填空题
13．若为任一非零向量，为单位向量，给出下列说法：
①； ②；③； ④；⑤若是与同向的单位向量，则.
其中正确的说法有______个.
14．下列说法正确的是__________（写序号）．
①若与共线，则点A、B、C、D共线；
②四边形为平行四边形，则；
③若，则；
④四边形中，，则四边形为正方形．
15．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.
16．“”是“A，B，C，D四点共线”的________条件．
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出.
18．如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)与的模相等的向量有哪些？
19．在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：．
20．判断下列各小题中的向量与是否共线.
(1)
(2) ，
21．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量，使；
(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？
22．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
平面向量的概念 随堂检测
1.如图，在平行四边形中，（ ）
A．B．C．D．
2.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（ ）
A．＝B．C．＞D．＜
3.下列命题中正确的个数是（ ）
①起点相同的单位向量，终点必相同；
②已知向量，则四点必在一直线上；
③若，则；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
A．0B．1C．2D．3
4.下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
5.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则B．若与共线，则或
C．若，则D．是与非零向量共线的单位向量
6.给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中错误的说法有（ ）
A．1B．2C．3D．4
7.已知P在所在平面内，满足，则P是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
8.若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．③④⑤B．②③⑤C．①③④D．③④
9.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件
B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上
C．与是非零向量，若与同向，则与反向
D．设为实数，若，则与共线
10.（多选）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
11.（多选）设为单位向量，下列命题是假命题的为（ ）
A．若为平面内的某个向量，则
B．若与平行，则
C．若与平行且，则
D．若为单位向量，则
12.在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点.
（1）写出与相等的向量；
（2）写出与平行的向量；
（3）写出的负向量.