高考数学一轮复习：8平面解析几何-跟踪训练3（题型归纳与重难专题突破提升）

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A．B．C．D．
【解答】解：圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线：的距离，
弦的长为，
故选：．
2．已知点，在圆外，则直线与圆的位置关系是
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【解答】解：因为点，为圆外一点，所以，
又圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，即，
所以直线与该圆的位置关系为相交．
故选：．
3．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由，可得，
曲线是圆心为，半径为2的圆在轴以及轴右侧的部分，如图所示：
直线必过定点，
因为直线与曲线有两个交点，
所以可得，解得或，
结合图形可得．
故选：．
4．设，，为坐标原点，点满足，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为
A．，B．，，
C．，，D．，
【解答】解：设，则由，得，即，
点在圆上及其内部．当点也在圆上或其内部时，符合题意；
当点在圆的外部时，过点作该圆的切线，设切点为，，
则需，，，
过作与直线垂直，设垂足为，则有，只需，
则满足条件的点 存在，，解得 或，
实数的取值范围为．
故选：．
5．已知圆与圆的公共弦所在直线与直线垂直，则的值为
A．2B．C．8D．
【解答】解：把圆与圆的方程相减得：，即为圆与圆的公共弦所在直线方程，
由直线与直线垂直，得，解得，
当时，圆，即的圆心，半径，
而圆的圆心，半径，
于是，则圆与圆相交，符合题意，
所以的值为2．
故选：．
6．已知点，，点为圆上一点，则的面积的最大值为
A．12B．C．D．6
【解答】解：因为，，所以，
又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为，
所以圆上点到直线的最大距离为，
所以的面积的最大值为．
故选：．
7．已知圆，点为直线上的一个动点，，是圆的两条切线，，是切点，当四边形（点为坐标原点）面积最小时，直线的方程为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，当直线与直线垂直时，四边形（点为坐标原点）的面积最小，
此时点的坐标为，
设，，，，则切线，切线，
因为直线过点，所以，即①，
又因为直线过点，所以，即②，
由①②可得点，满足直线方程，
所以直线为．
故选：．
8．若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由曲线，可得，其中，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，
是倾斜角为的直线，其与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图象，可得：；
（2）直线与半圆的下半部分相交于一个交点，由图可知，．综上可知：．
故选：．
9．已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为
A．B．C．D．
【解答】解：因为在圆上，则切线只有一条，
圆心为，所以，
所以过的切线的斜率为，
设切线的倾斜角为，则，
由于，，故．
故选：．
10．已知点，，是坐标原点，是圆上的动点，则的最小值为
A．B．C．3D．4
【解答】解：圆的圆心为，半径，
因为点，所以点在直线上，
而点在圆上，则，因此，
设点关于直线对称的点为，则．
由，解得，，即，
所以，当且仅当点，，共线，且点在线段上时取等号，
所以．
故选：．
11．如图，已知直线与圆相离，点在直线上运动且位于第一象限，过作圆的两条切线，切点分别是，，直线与轴、轴分别交于，两点，且面积的最小值为，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，设，，，，，，，
则，
直线与圆相离，则且，，
以为圆心，半径为的圆的方程为，
整理得，
由两式相减得直线的方程为，
分别令和，则，
又，
所以的面积，
当且仅当时取等号，则．
故选：．
12．已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：圆的圆心为，半径为4，
圆的圆心为，半径为1，
如图所示：
则，，
所以，
故求的最小值可转化为求的最小值，
设关于直线的对称点为，
设坐标为，
则，
解得，
故，
因为，
可得，
当，，三点共线时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
13．过点引直线与圆相交于，两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为
A．B．C．D．
【解答】解：当面积取最大值时， ，圆与直线相交于，两点，
为坐标原点，圆心，半径，，，
圆心到直线直线的距离为1，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
圆心到直线的距离，解得．
故选：．
14．过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短为
A．5B．2C．D．4
【解答】解：将代入，得到，
所以点在圆内，
再根据可得圆心坐标，
可知当与垂直时，弦长最小，
因为，
即最短弦长为的一半为，
所以最短弦长为．
故选：．
15．已知圆与圆外切，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：由化为标准方程为，
即圆心，半径为，
由知其圆心为，半径为2，
而两圆外切则有：．
因为圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为．
如图所示：此时、两点重合．
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．已知点在圆上，点在圆上，则
A．两圆外离
B．的最大值为9
C．的最小值为1
D．两个圆的一条公切线方程为
【解答】解：圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径，
所以圆心距，
因为，所以两圆外离．故正确；
因为在圆上，在圆上，所以，，故、正确；
因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故错误．
故选：．
17．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的值可以是
A．3B．C．D．2
【解答】解：直线化成，可得它必定经过点，
而曲线，可变形整理为，
该曲线是以为圆心，半径为1的圆位于直线右侧的部分，
设直线在圆下方与圆相切时的斜率为，直线过点与圆有两个交点时的斜率为．
可得当直线与曲线有两个不同的交点时，斜率满足．
由点到直线的距离，解得，
而，由此可得，
的取值范围为，．
故选：．
18．直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是
A．B．C．4D．5
【解答】解：如图：曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，解得，
当点在直线上时，，
所以由图可知实数的取值范围为，
故选：．
19．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是
A．直线与圆相交
B．的最小值是1
C．若到直线的距离为2，则点有2个
D．从点向圆引切线，则切线段的最小值是3
【解答】解：由圆，得圆的标准方程为，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故错误；
圆心到直线的距离，所以的最小值为，
若点到直线的距离为2，则点有2个，故正确，正确；
根据图形知，点到圆心的最小值为圆心到直线的距离，
由勾股定理得切线长的最小值为，故正确．
故选：．
20．已知圆和圆相交于，两点，则下列说法正确的是
A．
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．到直线的距离与到直线的距离之比为
【解答】解：对于项，因为两个圆相交，所以圆心，所在直线垂直平分两圆的公共弦，故正确；
对于项，因为圆和圆相交于，两点，所以两圆方程相减得到，即，故正确；
对于项，圆化为标准方程是，
圆心到直线的距离为，
所以，故正确；
对于项，因为圆化为标准方程是，
圆心到直线的距离为，
所以到直线的距离与到直线的距离之比为，故错误．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．已知直线与直线相交于点，动点，在圆上，且，则的取值范围是 ．
【解答】解：由直线与直线，
可得，所以直线与直线垂直，直线过定点，过定点，
所以点的轨迹是以为直径的圆，
由的中点坐标为，，
所以圆心为，半径，
所以点的轨迹方程是，
所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
取的中点，连接，则，
所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，
所以，
而，且，即圆与点的轨迹外离；
因为，即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
22．已知，为圆上的任意一点，当时，的值与，无关，下列结论正确的是 ①② ．
（1）当时，点的轨迹是一条直线；
（2）当时，有的最大值为1；
（3）当，时，的取值范围．
【解答】解：，为圆上的任意一点，
当时，的值与，无关，
为圆上的点到两条平行线距离和的倍，
可知圆在两条平行线与之间，表示两条平行线之间距离的倍．
当时，点的轨迹是一条直线，与以及等距离的直线，所以①正确．
当时，有的最大值为1，正确．
当，时，可得，解得或，所以③不正确．
故答案为：①②．
23．已知圆与交于，两点．若存在，使得，则的取值范围为 ．
【解答】解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
若两圆相交，则，所以，即，
又两圆相交弦所在直线方程为：即，
所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，
则弦长，所以，
则且，所以，
若存在，使得，则，即，所以的取值范围为．
故答案为：．
24．已知圆与圆，直线交圆于，两点，交圆于，两点，，分别为，的中点，则 ．
【解答】解：圆的圆心为，半径为2，
圆的圆心为，半径为2，
连接，，，则，．
，
则四边形为直角梯形，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
所以，．
所以．
又，
所以．
故答案为：．
25．若曲线上恰有两个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：由圆，可得圆的圆心，半径为，
若曲线上恰有两个点到直线的距离为1，
当直线不过圆心时，则到直线的距离满足：，
，
解得或，
当直线过圆心时：圆心为，半径为1，
，解得．
故答案为：，．
四．解答题（共3小题）
26．求圆与圆的公共弦的长．
【解答】解：把与圆的方程相减可得公共弦的 方程，，
圆圆的圆心到直线的距离，圆的半径，
根据直线与圆相交的性质可得，．
27．已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于
两点，在的上方），且．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点任作一条直线与圆相交于，两点．求证：为定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）过向轴作垂线，垂足为，则，，
圆的半径为，故，
圆的标准方程为：．
（2）证明：由（1）可知，，
设，则，
，，
故为定值．
28．已知圆，直线．
（1）证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程．
【解答】解：（1）证明：直线化为，
则，解得，
所以直线恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆内，
所以不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）当直线所过的定点为弦的中点，即时，直线被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线的斜率为2，
即，解得，
所以直线的方程为．