高考数学一轮复习：8平面解析几何-跟踪训练1（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．已知直线恒过点，已知，动点在直线上，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：由化简得，
所以，
如下图所示：
由图形可知，点、在直线的同侧，
且直线的斜率为1，
设点关于直线的对称点为点，
则，解得，，即点，
由对称性可知．
故选：．
2．已知直线经过点，且被两条平行直线和截得的线段长为5，则直线的方程为
A．B．C．D．
【解答】解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时与直线，的交点分别为，，
截得的线段长，符合题意，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且设直线与直线和的交点分别为，，
解方程组，解得，
解方程组，解得，
，
，解得，
故所求直线的方程为，
综上所述，所求直线的方程为或．
故选：．
3．在直角坐标平面中，已知两点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是
A．16B．C．8D．
【解答】解：设直线的方程为，则，
所以，
当，即时，，化简可得，
所以，如图，
则正方形上及外部的点均在直线上；
当，即时，，化简可得，
设直线的方程为上任意一点，，则，
由可知，，
又，则，
所以，与圆相切的直线所扫过的点均在直线上；
综上，平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是．
故选：．
4．已知直线过点，且分别交两直线，于轴上方的，两点，点为坐标原点，则面积的最小值为
A．8B．9C．D．20
【解答】解：由题意知直线的斜率一定存在，斜率设为，则直线的方程为，
分别与，联立可得，两点的横坐标：，
故，，两点都在轴的上方，
故，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最小值为8，
故选：．
5．经过点并且与直线垂直的直线方程是
A．B．C．D．
【解答】解：与直线垂直的直线方程为，
由于直线经过点，
故，解得．
故直线的方程为．
故选：．
6．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解答】解：设点，由于，
所以，
整理得，
利用圆心到直线的距离，解得，
即实数的取值范围为．
故选：．
7．直线的倾斜角是
A．B．C．D．
【解答】解：由于直线的斜率关系式满足，
由于，，
故．
故选：．
8．“”是直线与互相垂直的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当时，直线与互相垂直，
当两直线垂直时，，解得：或1，
故“”是直线与互相垂直的充分不必要条件．
故选：．
9．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：令，解得，故；
令，解得，故．
故选：．
10．若直线与平行，则两直线之间的距离为
A．B．1C．D．2
【解答】解：因为直线与平行，所以，解得，
直线与，即平行，
所以该两条平行直线的距离为．
故选：．
11．已知，，，是直线为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是
A．无论，，如何，总是无解
B．无论，，如何，总有唯一解
C．存在，，，使是方程组的一组解
D．存在，，，使之有无穷多解
【解答】解：由题意得，
则，
（直线的斜率存在，，
故与相交，
方程组总有唯一解．，错误，正确；
若是方程组的一组解，则，
则点，，，在直线，
即上，
但已知这两个点在直线上，
这两条直线不是同一条直线，
不可能是方程组的一组解，错误．
故选：．
12．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，直线经过，，
则直线的斜率，
又由，则，
则有，
又由，
则；
故选：．
13．已知直线过定点，2，，向量，0，为其一个方向向量，则点，3，到直线的距离为
A．B．C．3D．
【解答】解：定点，2，，，3，，
故，所以；
故：，
所以，
所以点，3，到直线的距离．
故选：．
14．直线，，若两条直线平行，则
A．B．1C．3D．或3
【解答】解：直线，平行，
故，整理得，
解得或；
当时，两直线重合，
故．
故选：．
15．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
又是两条直线的交点，，．
设，则，，
由且，可得，
，
，，，，
，，
，，
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．下列四个命题中正确的是
A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
B．过点且与圆相切的直线方程为或
C．若直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为或
D．若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为，
【解答】解：对于，过点在轴和轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为，错误：
对于，圆的圆心，半径，过点斜率不存在的直线与圆相切，
当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此切线方程为，
所以过点且与圆相切的直线方程为或，正确；
对于，直线恒过定点，直线，的斜率分别为，，
依题意，或，即为或，正确；
对于，当直线，平行时，，当直线，平行时，，
显然直线，交于点，当点在直线时，，
所以三条直线，，不能构成三角形，实数的取值集合为，1，，错误．
故选：．
17．下列说法正确的有
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程一定为
【解答】解：对于，直线经过第一、二、四象限，
则，，
故在第二象限，故正确，
对于，直线，
则，斜率为，
故，
设直线的倾斜角为，
当时，
则，
当时，
则，
故直线的倾斜角的取值范围是，故正确，
对于，直线与直线互相垂直，
则，解得或，
故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故错误，
对于，当直线在轴和轴上截距为0时，
直线方程为，
当直线在轴和轴上截距不为0时，
可设直线方程为，
直线过点，
则，解得，
故直线方程为，
综上所述，直线方程为或，故错误．
故选：．
18．已知直线，，则
A．当变化时，的倾斜角不变
B．当变化时，过定点
C．与可能平行
D．与不可能垂直
【解答】解：对于，直线，
，斜率，与无关，故正确，
对于，直线，
直线过定点，故正确，
对于，直线，，
则，，
，，
与不可能平行，故错误，
对于，若，
则，即，，，故错误．
故选：．
19．下列说法中不正确的是
A．直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大
B．若两直线平行，则两直线的斜率相等
C．若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直
D．过点且斜率为1的直线方程可表示为：
【解答】解：直线倾斜角的范围是：，
当时，倾斜角增大时，斜率也增大；
当时，斜率不存在；
当时，倾斜角增大时，斜率也增大；故错误；
若两直线平行，则两直线的斜率可能不存在，故错误；
若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直，故正确；
过点且斜率为1的直线方程为，而中，故错误．
故选：．
20．下面说法中错误的是
A．经过定点，的直线都可以用方程表示
B．经过定点，的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
E．经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示
【解答】解：当直线的斜率不存在时，经过定点，的直线方程为，不能写成的形式，故错误．
当直线的斜率等于零时，经过定点，的直线方程为，不能写成 的形式，故错误．
当直线的斜率不存在时，经过定点的直线都方程为，不能用方程表示，故错误．
不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为的形式，故错误．
经过任意两个不同的点，，，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，
能用方程表示；
当直线的斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示，故正确，
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到原点．若光线经过的重心，则长为 ．
【解答】解：以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，直线的方程为，
的重心，
设，分别是点关于直线和轴的对称点，，则，，由光的反射原理可知，，，，四点共线，
所以，即，解得，
所以．
22．已知、分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 ．
【解答】解：由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图所示：
则直线的方程为：，
将沿着直线往上平移个单位到点，有，
连接交直线于点，过作于，连接，有，，
故四边形为平行四边形，
则，即有，显然是直线上的点与点，距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，而，
故的最小值为．
故答案为：．
23．已知线段的端点，，直线与线段相交，则的取值范围是 ．
【解答】解：由于线段的端点，，直线与线段相交，
直线整理得，故直线恒过点，
由于直线与线段相交，
故直线的斜率满足．
即的取值范围满足：．
故答案为：．
24．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线方程为，则直线的方程为 ．
【解答】解：由题意可知，点在上，可设点的坐标是，
则的中点在直线上，
所以，解得，所以，
设关于直线的对称点为，，则有，解得，即，
则由在直线上，得直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故答案为：
25．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ．
【解答】解：设点关于直线的对称点为，，
则，
解得：，
由于反射光线所在直线经过点和，
所以反射光线所在直线的方程为，即．
解方程组，解得反射点，．
所以入射光线所在直线的方程为：．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
26．已知点，．
（Ⅰ）求线段的垂直平分线方程；
（Ⅱ）若直线过，且、到直线距离相等，求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ），，
．线段的中点为，直线的斜率，
线段的垂直平分线方程为，即；
（Ⅱ）由于直线过，且、到直线距离相等，
直线和直线平行或经过线段的中点．
当直线和直线平行时，的方程为，即；
当直线经过线段的中点时，的方程为，即；
直线的方程为：或．
27．已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．
（1）求直线和的交点坐标；
（2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
【解答】解：（1）直线的方程为，故它的斜率为，
若直线在轴上的截距为，且，则直线的斜率为1，
故直线在的方程为．
由，求得，可得直线和的交点坐标为．
（2）由题意，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
它与两坐标轴的交点为、，，
且，．
根据直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，
求得或，
可得直线的方程为．或，
即直线的方程为或．
28．已知直线经过点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
【解答】解：（1）根据题意可设直线的方程为，
将点代入计算可得，
可得直线的方程为．
（2）若在两坐标轴上的截距为0，则可得直线方程为，即；
若在两坐标轴上的截距不为0，设为，
则直线的方程为，代入点可得，
可得直线的方程为；
综上可知，直线的方程为或．