高考数学一轮复习：8平面解析几何-专题6练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：8平面解析几何-专题6练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题86抛物线原卷版docx、专题86抛物线解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154053078" 题型一： 抛物线的定义 PAGEREF _Tc154053078 \h 4
\l "_Tc154053079" 题型二： 抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc154053079 \h 5
\l "_Tc154053080" 题型三： 抛物线的焦点弦 PAGEREF _Tc154053080 \h 9
\l "_Tc154053081" 题型四： 最值问题 PAGEREF _Tc154053081 \h 13
\l "_Tc154053082" 题型五： 抛物线与直线方程 PAGEREF _Tc154053082 \h 16
\l "_Tc154053083" 题型六： 弦长、面积问题 PAGEREF _Tc154053083 \h 23
知识点总结
抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
抛物线标准方程和简单几何性质
【常用结论与知识拓展】
1．抛物线焦点弦的性质
直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有：
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p(|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)).
(3)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
(5)若α为弦AB的倾斜角，则|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)；|AB|＝eq \f(2p,sin2α).
(6)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
2．抛物线中的最值
P为抛物线y2＝2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有：|PF|≥eq \f(p,2)；焦点弦AB以通径(2p)为最小值；A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.
3．抛物线的切线
已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，经过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过A，B作抛物线C的两条切线l1，l2，l1∩l2＝P.则有：(1)l1⊥l2；(2)P在定直线x＝－eq \f(p,2)上；(3)PF⊥AB．
4．抛物线中的焦点三角形
如右图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的直线l：y＝kx－eq \f(kp,2)(其中k为直线l的斜率)交抛物线于A，B两点，那么焦点三角形OAB的面积可以表示为S△OAB＝eq \f(p2,2)eq \r(1＋\f(1,k2))(若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，直线l：y＝kx＋eq \f(p,2)，则S△OAB＝eq \f(p2,2)eq \r(1＋k2))．
例题精讲
抛物线的定义
【要点讲解】以抛物线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所满足的“几何条件”，根据抛物线定义即可得出结果．与抛物线上一点有关的距离的最值问题，往往根据抛物线的定义，将到焦点的距离和到准线距离相互转化，再根据“共线”的几何特征进行求解．
若点到点的距离比它到直线的距离大1，则点的轨迹方程为
A．B．C．D．
【解答】解：点到点的距离比它到直线的距离大1，
点到点的距离等于它到直线的距离，
由抛物线的定义可知，点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
焦准距，
点的轨迹方程为．
故选：．
已知点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则 2 ．
【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，
因为点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为3，
所以，得．
故答案为：2．
动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
【解答】解：动点到点的距离比它到直线的距离大1，
将直线向左平移1个单位，得到直线，
可得点到点的距离等于它到直线的距离．
因此点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，
设抛物线的方程为，可得，得，
抛物线的方程为，即为点的轨迹方程．
故选：．
设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，若点恰为线段的中点，则 8 ．
【解答】解：过点，，分别作抛物线准线的垂线，
垂足为，，，据抛物线定义，
得．
故答案为8
已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若曲线上有两个定点、分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点到直线的距离．
【解答】解：（1）曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．
曲线的轨迹是以为焦点的抛物线，且，
曲线的方程为；
（2）由抛物线的定义结合可得，到准线的距离为2，
即的横坐标为1，代入抛物线方程可得，即，
同理可得，故直线的斜率，
故的方程为，即，
由点到直线的距离公式可得：原点到直线的距离为
抛物线的标准方程
【要点讲解】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
准线方程为的抛物线的标准方程是
A．B．C．D．
【解答】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得．
该抛物线的标准方程是．
故选：．
焦点坐标为的抛物线的标准方程是
A．B．C．D．
【解答】解：抛物线的焦点坐标是，
故可设抛物线方程为，
抛物线是焦点在轴负半轴的抛物线，且，得．
抛物线的标准方程为．
故选：．
若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为
A．B．C．D．
【解答】解：到其准线的距离为，
故抛物线方程为．
故选：．
以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为
A．或B．或
C．或D．或
【解答】解：直线与坐标轴的交点为，
当抛物线的焦点为时，其标准方程为；
当抛物线的焦点为时，其标准方程为．
故选：．
中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为
A．B．C．D．12
【解答】解：根据题意，设该抛物线的方程为，
又由当水面离拱顶时，水面宽，即点和在抛物线上，
则有，解可得，
故抛物线的方程为，
若水面下降，即，则有，解可得，
此时水面宽度为，
故选：．
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的标准方程为 ．
【解答】解：抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，
设抛物线，可得，所以，
所以抛物线的标准方程．
故答案为：．
过点，且顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为 ，或 ．
【解答】解：设抛物线方程为，
代入点可得，，
解得，，
则抛物线方程为，
设抛物线方程为，
代入点可得，，
解得，，
则抛物线方程为，
故抛物线方程为，或．
故答案为：，或．
经过点焦点在轴上的抛物线标准方程．
【解答】解：设抛物线的标准方程为，把点代入可得：，
，
故所求的抛物线的标准方程为．
分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程．
【解答】解：（1）设椭圆的长轴长为，焦距为，
由条件可得，，
所以，，
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为．
（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为．
综上所述，所求抛物线的标准方程为或．
（1）求准线为的抛物线标准方程；
（2）求中心在原点，焦点在轴上，渐近线为，且实轴长为2的双曲线标准方程．
【解答】解：（1）准线为的抛物线标准方程为；
（2）设双曲线标准方程为，
由实轴长为2得，即，
由渐近线得，即，
故抛物线标准方程为．
抛物线的焦点弦
【要点讲解】在解决抛物线的焦点弦有关的问题时，要注意利用几何图形(特征“直角梯形”)的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则的值为
A．B．C．1D．2
【解答】解：已知椭圆的右焦点，
若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，
此时，
解得．
故选：．
抛物线的焦点到准线的距离为
A．4B．2C．D．
【解答】解：抛物线可化为，则，
由抛物线的定义得焦点到准线的距离为，
即焦点到准线的距离为4；
故选：．
已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为
A．12B．16C．18D．19
【解答】解析：由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
设，
由抛物线的定义可得，，解得，
故点的横坐标为18．
故选：．
已知为抛物线上的动点，动点满足到点的距离与到点是的焦点）的距离之比为，则的最小值是
A．B．C．D．4
【解答】解：由题意得，等于点到准线的距离，
过点作垂直准线于点，则，
设动点，则，整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
，
所以当，，三点共线时，最小，．
故选：．
设抛物线的准线与轴的交点为，为坐标原点，经过、两点的圆与直线相切，圆与抛物线的另一个交点为，若，则
A．2或B．2或4C．或D．2或
【解答】解：抛物线的准线与轴的交点为，为坐标原点，经过、两点的圆与直线相切，圆与抛物线的另一个交点为，
设圆心，，半径为，已知，，，
在中，由正弦定理得，
，．
又圆与直线相切，
当时，则圆心到直线距离，得；
当时，则圆心到直线距离．
即，，或（舍，
综上或．
故选：．
直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，线段中点的纵坐标为1，为坐标原点，则到直线的距离为
A．B．C．D．
【解答】解：由抛物线得焦点，
设，，，，则，
两式相减得，即，
因为线段中点的纵坐标为1，即，
所以，即，
所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点，
所以到直线的距离．
故选：．
已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：如图，当点在第一象限时，过点，分别向准线作垂线，垂足为，，作，垂足为，
则轴，设，则，，
由抛物线的定义得，，则有，
在中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，
，，，
于是直线的倾斜角为，斜率．
当点在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为．
故选：．
最值问题
抛物线上有一动点，其焦点为，，则的最小值为 15 ．
【解答】解：由题可知，抛物线焦点为，准线为，
过作准线的垂线为交准线为点，
根据抛物线的定义可知，
所以，
因为为抛物线上的动点，所以当为点时，取到最小值为．
故答案为：15．
已知点及抛物线上一动点，，则的最小值为 2 ．
【解答】解：用抛物线的定义：
焦点，准线，设到准线的距离为
（当且仅当、、共线时取等号）
故的最小值是2．
故答案为：2．
已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：由向量投影的运算可得：，
由抛物线的性质可得，
即：，
则：最小值为3．
故选：．
抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为
A．0B．4C．5D．6
【解答】解：抛物线的焦点，
又圆的圆心，半径，
抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为：
．
故选：．
已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线任意一点，当取最小值时，点的坐标为 ．
【解答】解：设点在准线上的射影为，如图，
则根据抛物线的定义可知，，
求的最小值，即求的最小值，
显然当，，三点共线时最小，
此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知．
故答案为：．
已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是
A．2B．C．D．
【解答】解：设抛物线的焦点为，
则，
，当且仅当三点，，共线时取等号，
的最小值是．
故选：．
已知抛物线上一点，，点，则的最小值是
A．10B．8C．5D．4
【解答】解：由抛物线，可得准线方程，焦点，
因为，在抛物线上，可得，
又因为，可得在抛物线的外部，
所以，
可得，
所以，当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号，
所以的最小值为8．
故选：．
抛物线与直线方程
【要点讲解】对于开口向上或向下的抛物线的切线问题，常常借助导数的几何意义写出切线方程，则根据韦达定理等解决问题，常用的解题策略有“变量代换”，“同构法确定直线”等．所谓“同构法确定直线”即若A(x1，y1)，B(x2，y2)分别满足x1－2y1＋2＝0，x2－2y2＋2＝0，则直线AB的方程为x－2y＋2＝0.
已知点，在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点
A．B．，C．D．
【解答】解：当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不符合题意，
所以直线的斜率不为0，设其方程为，因为点，在抛物线上，
所以设，，，，所以，，
解得或．又因为，两点位于轴的两侧，所以．
联立得，△，所以，
即，所以直线的方程为，所以直线一定过点．
故选：．
已知抛物线，过点的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴的交点为点，若，则的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：不妨直线的方程为，
联立，消去并整理得，
易知△，
解得，
不妨设，，，，
由韦达定理得，，
所以，
此时中点为，
因为，
解得或（舍去），
此时垂直平分线方程为，
不妨令，
解得，
所以，
此时，
而点到直线距离，
则．
故选：．
已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为，．若，则直线的斜率为
A．1B．C．D．
【解答】解：因为椭圆的方程，
所以，即，
所以右焦点为，
因为抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点为，，
所以，即，
所以抛物线方程为，
所以直线的方程为，
所以，
过点，分别作准线的垂线，垂足为，，
取的中点，过作准线的垂线，垂足为，
由，
所以，
又为的中点，
所以，
所以，即为的中点，
设，则，，，
所以，
所以，
所以，
所以点的横坐标为，
代入抛物线的方程可知点的纵坐标为，
所以，，
把点坐标代入直线的方程：，
所以，即，
故选：．
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，点是原点，若，则的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，抛物线的焦点，准线方程为，
，
，代入抛物线方程可得，
，
直线的方程为，
联立方程，解得或，
，
，
故选：．
已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于，两点，以为直径的圆与轴交于，两点，且，则直线的方程为
A．B．C．D．
【解答】解：设，的中点为，轴于点，过，作准线的垂线，垂足分别为，，如图：
由抛物线的定义知，
故，
所以，
即，
解得或（舍去），
故的横坐标为，
设直线，，，，，
将代入，
得，
则，
解得，
故直线的方程为．
故选：．
已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于、两点，以为直径的圆与轴交于、两点，且，则直线的方程为
A．B．C．D．
【解答】解：设，由题知，设中点为，作轴于点，过、作准线的垂线，垂足分别为、，由抛物线定义及梯形中位线性质知：，于是，由垂径定理：，即，解得或，又，故，于是横坐标为：，设直线，代入有：，则，解得，故直线方程为：．
故选：．
在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为
A．B．
C．或D．或
【解答】解：如图，
抛物线的准线为，
由准线与圆相切于点，
则，解得．
则抛物线方程为：，
设直线的方程为，
联立方程得，，
由直线与抛物线相切得，
△，解得，即，
所以直线的方程为，即或．
故选：．
弦长、面积问题
【要点讲解】解决直线与抛物线相交的弦长、面积问题，同直线与椭圆、双曲线位置关系问题类似，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算. 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
已知过点的直线与抛物线交于，两点，且当的斜率为1时，恰为中点．
（1）求的值；
（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．
【解答】解：（1）当斜率为1时，
可得直线的方程为，
此时直线恰好经过坐标原点，
不妨设，
则为抛物线上的点，
所以，
解得；
（2）由（1）可知抛物线的焦点，
当直线经过时，
直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，，，
由韦达定理得，，
则的面积．
已知抛物线的顶点为坐标原点，准线方程为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，求弦的长．
【解答】解：（1）依题意可设的方程为，
则，解得．
所以的方程为；
（2）将代入，得，
则△，，，
因为过抛物线的焦点，
所以．
已知抛物线的焦点为，为上一动点，为圆上一动点，的最小值为．
（1）求的方程；
（2）直线交于，两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值．
【解答】解：（1）由题得，
当点，，，四点共线且点，在，中间时，取得最小值，
最小值为，
又，解得，
所以的方程为；
证明：（2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意，
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，，，
联立方程，消去得，
则△，，，
所以，又，
所以，
所以，解得或（舍去），
即，所以，
所以，
又，
所以，
即为定值0．
已知点是抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点（位于对称轴异侧），为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线必过定点．
【解答】（1）解：因为点是抛物线上一点，
所以，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：因为，位于对称轴异侧，所以不与对称轴平行，
设直线的方程为， ，且，
联立，消去可得，
所以△，且，，即，
所以，
由，得，即，解得或，
故直线的方程为，
所以直线必过定点，得证．
已知抛物线上的点到其焦点的距离为2．
（1）求的方程及焦点的坐标．
（2）过点的直线交抛物线于，两点，且的面积为8，求直线的方程．
【解答】解：（1）由抛物线的定义可得：，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）由题意可设直线方程为，，，，，
由，得，
所以△，，，
因为，
所以，得，故直线的方程为：．
抛物线的焦点为，直线过焦点与抛物线交于，两点，当垂直于轴时．
（1）求抛物线的方程；
（2）点，直线，与抛物线的交点分别为，；探究直线是否过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1），
当轴时，，
根据抛物线的定义可得，解得，
抛物线的方程：；
（2）设，，，，
直线方程为：即，
直线过点，
，
同理，直线，即，
直线过点，，同理可得，
，，
直线的方程为：，
，
当时，，
直线恒过定点．
已知点在抛物线上，、为抛物线上的两个动点，不垂直于轴，为焦点，且．
（1）求的值，并证明的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中的定点为，求面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）因为点在抛物线上，
所以，解得，
所以抛物线的方程为，
设直线的方程为，，，，，，
由，得，
△，
，，
因为，所以，，
所以，①
设的中点为，，
所以，，
所以的垂直平分线方程为，②
联立①②，可得，
所以的垂直平分线过定点．
（2），
点到直线的距离为，
所以
，
，
令，则，，
，
解得：（舍去），，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在，单调递减，
所以当时，取最大值为，
所以面积最大值为．
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
图形
开口
向右
向左
向上
向下
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
简单
几何
性质
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
对称
轴
x轴
y轴
顶点
原点O(0,0)
离心率
e＝1