高考数学一轮复习：6数列-专题1练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc150412937" 题型一： 数列的通项 PAGEREF _Tc150412937 \h 3
\l "_Tc150412938" 题型二： 已知Sn＝f(n)求通项公式 PAGEREF _Tc150412938 \h 3
\l "_Tc150412939" 题型三： 数列的单调性 PAGEREF _Tc150412939 \h 5
\l "_Tc150412940" 题型四： 数列的最值 PAGEREF _Tc150412940 \h 6
\l "_Tc150412941" 题型五： 数列的周期性 PAGEREF _Tc150412941 \h 8
知识点总结
1．数列的概念
2.数列的分类
3.数列的表示法
4.an与Sn的关系
数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
5．数列最值：若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an＋1，,an≥an－1))(n≥2)，则an最大；若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an＋1，,an≤an－1))(n≥2)，则an最小．
例题精讲
数列的通项
【要点讲解】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1,0,1,0，…的通项公式可写成an＝eq \f(1＋－1n＋1,2)或an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(nπ,2)))，甚至分段形式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n是奇数，,0，n是偶数))等．
数列2，5，11，20，，47，中的值为
A．28B．32C．33D．27
数列，7，，13，的一个通项公式为
A．B．
C．D．
数列的一个通项公式可以是
A．B．C．D．
已知Sn＝f(n)求通项公式
【要点讲解】Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
值得注意的是：最后要么确定首项a1，要么就是验证a1是否满足n≥2时得到的通项，满足的话，可以“合并统一”，不满足只能写成分段形式．
已知数列的前项和，则
A．2B．3C．4D．5
若数列的前项和，则
A．7B．8C．9D．17
设数列的前项和，则的值为
A．15B．17C．49D．64
设数列前项和为，，求数列的通项公式．
已知数列的前项和为．
（1）求出的通项公式；
（2）求的最小值及取最小值时的值．
数列的单调性
【要点讲解】数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组来求，在根据函数的单调性判断时，要时刻注意n∈N*取值的离散性.
下列通项公式中，对应数列是递增数列的是
A．B．
C．D．
已知数列的前项的积为，且，2，3，，则数列
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
已知数列中，，则数列的最小项是
A．第1项B．第3项、第4项C．第4项D．第2项、第3项
写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： ．
①，，；
②单调递增．
已知数列的通项公式为，，且为单调递增数列，则实数的取值范围是 ．
设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是 ．
已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是 ．
若数列的通项公式是，且恒成立，则 ．
已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是 ．
数列的最值
【要点讲解】数列的最值一般包括“项的最值”和“和的最值”．解决“项的最值”问题，一般有两种角度：(1)通过不等式组研究，如求最大项，则需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1，))
通过解不等式组得到n的范围，再结合n∈N*，确定具体项；(2)从项的“函数性”出发，以函数的视角从单调性出发得到最值．
解决“和的最值”问题，一般有两种角度：(1)从“通项”着手，研究通项的函数单调性和“变号”情况，从而确定“和的最值”；(2)从“和”的函数单调性出发，直接根据单调性得到最值．
在数列中，，则数列中的最大项是第 项．
在数列中，，则的最大值是
A．B．C．D．
若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是
A．第12项B．第13项C．第14项D．第15项
若，则数列的最大项是第 项．
已知数列的通项公式为，设数列的最大项和最小项分别为，，则 ．
记为数列的前项和．若，2，，则
A．有最大项，有最大项B．有最大项，有最小项
C．有最小项，有最大项D．有最小项，有最小项
已知数列的前项和．
（1）求的最大值；
（2）求数列的通项公式．
已知等差数列中满足，，
（1）求通项公式；
（2）试求数列中的最大项与最小项．
数列的周期性
【要点讲解】(1)解决数列周期性问题，一般先写出前几项从而确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如an＋1＝eq \f(an－1,an＋1)，即f(x＋1)＝eq \f(fx－1,fx＋1)，由函数周期性相关结论可知该数列的一个周期为4.
(2)通项中函数和三角函数的数列的周期性问题的突破点往往从三角函数出发，根据正弦、余弦函数的最小正周期公式T＝eq \f(2π,|ω|)得出三角函数的周期，研究该周期对数列通项的周期性变化的影响，通过“周期性并项”发现规律，从而解决问题．
数列中，，，，那么
A．B．C．D．
在数列中，已知，，则 ．
在数列中，已知，，记为数列的前项和，则
A．1B．1010C．1D．2019
已知各项都为正数的等比数列，若，则 ；
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．若数列的前项和，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
2．已知函数，设数列的通项公式为，则下列选项错误的是
A．的值域是B．的最小值为
C．D．数列是单调递增数列
3．已知数列中，，则数列的最小项是
A．第1项B．第3项、第4项C．第4项D．第2项、第3项
4．记为数列的前项和．若，2，，则
A．有最大项，有最大项B．有最大项，有最小项
C．有最小项，有最大项D．有最小项，有最小项
5．若数列为，，，，，则是这个数列的
A．不在此数列中B．第25项C．第26项D．第27项
6．已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是
A．B．C．D．
二．多选题（共2小题）
7．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是
A．是递减数列B．
C．当时，D．当或4时，取得最大值
8．已知数列的通项公式为，则
A．数列为递增数列B．
C．为最小项D．为最大项
三．填空题（共4小题）
9．已知数列的前8项1，1，2，3，5，10，13，21，令，则的最小值点 ．
10．已知数列为递增数列，．则的取值范围是 ．
11．已知数列的前项和，则数列的通项公式为 ．
12．，，，，，的一个通项公式是 ．
四．解答题（共4小题）
13．已知数列的通项公式为．
（1）数列中有多少项是负数？
（2）为何值时，有最小值？并求出最小值．
14．用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列．
（1）写出这个数列的第8项；
（2）这个数列共有多少项？
（3）若，求．
15．已知数列是公差不为0的等差数列，，且是，的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求使成立的所有的值．
16．已知数列满足．
（1）数列是递增数列还是递减数列？为什么？
（2）证明：对一切正整数恒成立．
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数称为数列
数列
的项
数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项
通项
公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n
项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn
分类标准
类型
含义
按项数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的
变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1