高考数学一轮复习：4三角函数-重难点突破1练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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同理，在区间内没有零点
2.在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3. 在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4. 已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5.已知单调区间，则.
一．选择题（共20小题）
1．（2023•鹰潭一模）设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：函数在区间恰有3个极值点，2个零点，
即函数在区间恰有3个极值点，且方程有2个解．
，，，求得．
故选：．
2．（2023•镇安县校级模拟）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：根据在区间上单调递减，
得，
可得，
又由，
必有，
可得，
即正数的取值范围为，．
故选：．
3．（2023•全国一模）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．，C．，D．
【解答】解：由题意有，可得，
又由，
必有，
可得，即实数的取值范围为，．
故选：．
4．（2023•河北模拟）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是
A．B．，C．D．
【解答】解：由，得，，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：，
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是．
故选：．
5．（2023•河南模拟）已知函数在，上恰有3个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，
因为，，所以，
则，解得．
故选：．
6．（2023•麒麟区校级二模）已知函数，的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：函数的图象在区间内至多存在3条对称轴，
，，，．
故选：．
7．（2023•安阳模拟）已知函数在，上有且仅有2个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：
，
当，时，，
在，内有且仅有2个零点，
，，
的取值范围是．
故选：．
8．（2023•玉树州模拟）已知函数，则关于说法错误的是
A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为
B．的图象与的图象关于轴对称
C．的单调递减区间为
D．在，上有3个零点，则实数的取值范围是
【解答】解：．
对于选项，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，选项正确；
对于选项，，
与图象关于轴对称，选项正确；
对于，由，，得，，
即的单调递减区间为，选项正确；
对于，如图为的图象，
由图可知，在，上有3个零点，则，解得，
选项错误．
故选：．
9．（2023•金华模拟）已知函数在，上有且仅有2个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：，
因为在，上仅有2个零点，
当，时，，
所以，解得．
故选：．
10．（2023•武功县校级模拟）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：因为向右平移个单位，得到函数，
所以，
令，则在，，上单调递增，
因为在上为增函数，故由，，得，即，
所以在上为增函数，故，，
当时，，
所以由得，故，
所以，即．
故选：．
11．（2023•武功县校级模拟）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为
A．B．C．D．，
【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度得到，
由于是偶函数，所以，
由于，所以，
所以，
由于，所以，，所以．
故选：．
12．（2023•北海一模）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在，上恰有5个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：因为，令，由题意在，上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．
故选：．
13．（2023•雁塔区校级三模）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是
A．，B．C．D．
【解答】解：，
函数在区间内单调递增，
，
，
，
，
若在区间上单调递增，
则，
解得，
当时，，
当时，，
当取其它值时不满足，
的取值范围为，
故选：．
14．（2023•秦淮区一模）已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为，，，且是锐角三角形，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：作出函数和的图象，
如图所示：
由图可知，取的中点，连接，则，
因为是锐角三角形，
所以，
则，即，
由，得，，
即，，
则，即点的纵坐标为，
故，
因为，
所以，
所以．
故选：．
15．（2023•涪城区校级模拟）已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是
A．B．C．，D．
【解答】解：，，，
，，，
在区间内单调递减，，，，
，
故实数的取值范围是，，
故选：．
16．（2023•成都模拟）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可知，，
，
．
又在上有且仅有3个极值点，
，
解得，
的取值范围为：．
故选：．
17．（2023•绵阳模拟）将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：将的图象横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象．
，
由，，
得，
的增区间为，
若在上单调递增，则，
且，且，
又，当时，，即的取值范围是．
故选：．
18．（2023•鲤城区校级模拟）已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围
A．B．C．D．
【解答】解：，其中（取为锐角），
，其中（取为锐角），
设，由，可得．
在区间内没有零点，但有极值点时，，可得．
所以．
因为，，所以．
所以，
所以在上的最大值在取得，故．
又
，
，
所以的取值范围是．
故选：．
19．（2023•成都模拟）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：，，
时，，
要想在区间内无零点，
则要满足，解得，
要想不等式组有解，则要，解得，故或0，
当时，，解得，
当时，，解得，
则的取值范围是．
故选：．
20．（2023•湖滨区三模）已知函数，其中，若函数满足以下条件：
①函数在区间上是单调函数；
②对任意恒成立；
③经过点的任意直线与函数恒有交点，则的取值范围是
A．，，B．
C．D．
【解答】解：，且，
，
①若函数在区间上是单调函数，
则，由，可得，
当，可得；
当时，可得，
，，；
②若对任意恒成立；则，
，
③若经过点的任意直线与函数恒有交点，
则，，，
，，，
，，
①当时，则，
②当时，则，
的取值范围是，，．
故选：．
二．多选题（共5小题）
21．（2023•怀仁市校级三模）已知函数，若函数的图象在区间，上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是
A．在，上有且仅有5个零点
B．在，上有且仅有3个极大值点
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【解答】解：，
由，，
则，
函数的图象在区间，上的最高点和最低点共有6个，
，
解得，
的取值范围是，，
函数的图象在区间，上的最高点和最低点共有6个，
在，上有5个零点或6个零点，只有3个极大值．
故选：．
22．（2022•海淀区校级模拟）设函数，，下列说法正确的是
A．当时，的图象关于直线对称
B．当时，在，上是增函数
C．若在，上的最小值为，则的取值范围为
D．若在，上恰有2个零点，则的取值范围为
【解答】解：对于函数，，
当时，令，求得，为最大值，
故的图象关于直线对称，故正确；
当时，，，在，上不单调，故错误；
若在，上的最小值为，
且，，
故有，则，故正确；
若在，上恰有2个零点，且，，
则有，则的取值范围为，，故错误，
故选：．
23．（2022•韶关模拟）已知函数，则下列结论中正确的是
A．若，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若，且的最小值为，则
C．若在，上单调递增，则的取值范围为，
D．若在，有且仅有3个零点，则的取值范围是
【解答】解：函数，，
若，则，把的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象关于原点对称，故正确；
若，且的最小值为，则，故正确；
若在，上单调递增，，，，
求得，则的取值范围为，，故错误；
若在，有且仅有3个零点，，，，
，故错误，
故选：．
24．（2023•东莞市模拟）已知，函数，下列选项正确的有
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
【解答】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，故正确；
当时，可得，
将函数的图象向右平移个单位长度后得，故错误；
若在区间上单调递增，则，
解得，
又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，故正确；
若在区间上只有一个零点，则，解得，故正确．
故选：．
25．（2023•镇江三模）已知函数，则
A．若在区间，上为增函数，则实数的取值范围是
B．若在区间，上有两个零点，则实数的取值范围是
C．若在区间，上有且仅有一个极大值，则实数的取值范围是
D．若在区间，上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是
【解答】解：选项，当，时，，若此时为增函数，
则有，解得，故正确；
选项，当，时，，若在此区间上由两个零点，
则有，解得，故错误；
选项，当，时，，若在此区间上有且仅有一个极大值，
则有，解得，故正确；
选项，当，时，，若在此区间上有且仅有一个最大值，
则有，解得，故错误．
故选：．
三．填空题（共5小题）
26．（2023•河南模拟）先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是 ．
【解答】解：先将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，
所得图象与函数的图象关于轴对称，
故．
函数在上恰有两个零点，故，解得．
求函数的单调递增区间，
需满足，
整理得．
因为函数在上单调递增，
所以，
所以，解得，
故的取值范围是．
故答案为：．
27．（2023•新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是 ， ．
【解答】解：，，函数的周期为，，可得，
函数在区间，有且仅有3个零点，
可得，
所以．
故答案为：，．
28．（2023•佛山一模）已知函数（其中，．为的最小正周期，且满足．若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是 ．
【解答】解：由题意可得：的最小正周期，
，且，则为的一条对称轴，
，解得，
又，则，
故，
，则，
若函数在区间上恰有2个极值点，则，解得，
故的取值范围是．
故答案为：．
29．（2023•重庆模拟）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则 ，实数的取值范围是 ．
【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的函数的图象关于点对称，
，即，
因为，则，
若，则，
在区间上单调递增，，
当，，
，且，
即，且，；
若，则，
在区间上单调递增，
，
当，，
，且，
即且，故；
综上可得，，．
故答案为：；．
30．（2023•闵行区校级一模）已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足（a）（b），则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为，所以，
因为在上恰有两个不相等的实数、满足（a）（b），且，
所以，函数在上恰有两个最大值点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
四．解答题（共5小题）
31．（2023•亭湖区校级三模）已知函数的值域为，．
（1）求的单调递增区间；
（2）若在上恰有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：
，
令，则，，
又，在，上单调递增，
故由题意有：，解得，
，
当，时，单调递增，
解得，，
即的单调递增区间为，；
（2）由（1）知，，
，当，时，，，
结合正弦函数的图象可知：
当，即时，
函数在区间，上恰有一个零点，
故的取值范围是，．
32．（2023•洪山区校级模拟）已知函数，点是图像上的一个最高点，、为图像的两个对称中心，面积的最小值为．
（1）求的值；
（2）在区间，上有20个极值点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的最小正周期为，
，
又面积的最小值为，
，解得．
（2）由（1）知，，
当，时，，
在区间，上有20个极值点，
，解得，
实数的取值范围是，．
33．（2023•全国二模）已知函数的部分图像如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由图知：，所以，所以，
所以，
由，且，
所以，
所以；
（2）令得：，
对于，，
则，
由的图像和性质可得：在区间上的值域为，
所以函数在区间上存在零点，有．
34．（2023•香坊区校级三模）已知函数，其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，_____，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称且；
②函数的图像的一个对称中心为且．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，
故，即，即，得，
则．
若选①，函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称且，
则，
此时函数关于轴对称，则，，
得，，
，当时，，当时，．
，，则，
则成立，不成立，舍去．
则．
若选②，函数的图像的一个对称中心为且．
则，，
得，，
，当时，，
当时，．
，，
当时，不成立，
故成立，则．
（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
则，
，，，，，
函数在区间上恰有3个零点，
，得，
得，
即实数的取值范围是，．
35．（2023•桃城区校级一模）已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；
②的图象可以由的图象平移得到；
③相邻两条对称轴之间的距离为；
④最大值为2．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间，上，求的取值范围．
【解答】解：（1）对于条件②，，
若函数的图象可以由的图象平移得到，
则，
由条件③相邻两条对称轴之间的距离为，可得的最小正周期为，
可得，与②矛盾；
对于条件④最大值为2，可得与②矛盾，
故只能舍弃条件②，
所以这三个条件为①③④．
（2）由（1）可得，
由条件①，可得，又，
所以，所以，
令，，可得，，
时，，
时，，
时，，
又曲线的对称轴只有一条落在区间，上，
所以，
即的取值范围是，．