高考数学一轮复习：4三角函数-专题6练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：4三角函数-专题6练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题06函数y＝Asinωx＋φ原卷版docx、专题06函数y＝Asinωx＋φ解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc135930007" 题型二：已知函数图象求解析式 PAGEREF _Tc135930007 \h 5
\l "_Tc135930008" 题型三：三角函数图象变换与性质的综合9
\l "_Tc135930009" 题型四：三角函数模型及其应用 PAGEREF _Tc135930009 \h 16
知识点总结
函数y＝Asin(ωx＋φ)
(1)匀速圆周运动的数学模型
如图，点P从P0(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝rsin(ωt＋φ)＋h.
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
①用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的简图：
列表．先由ωx＋φ＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π分别求出x的值，再由ωx＋φ的值求出y的值，列出下表.
描点．在同一平面直角坐标系中描出各点．
连线．用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
成图．利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图．
②由y＝sin x的图象通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的方法：
三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．
(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
例题精讲
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【要点讲解】(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数;
(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=csα−π2,cs α=sinα+π2将不同名函数转换成同名函数;
(3)无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是自变量x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2023春•樟树市校级期中）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为
A．B．
C．D．，
【解答】解：将的图象向右平移个单位长度后，
得到，即的图象，
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，．
故选：．
（2022秋•上城区校级期末）已知曲线，，则下面结论正确的是
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．
故选：．
（2022秋•上城区校级期末）将函数的图象向左平移个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．已知，则
A．B．
C．D．
【解答】解：函数的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，得到的图象，再将函数的图象向右平移个单位，得到的图象；
故选：．
（2023•昌平区二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
【解答】解：函数，即，将其图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数是，
当时，，
因为余弦函数在上不单调，
因此函数在上不单调，错误；
当时，，
因为余弦函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，错误，正确．
故选：．
已知函数图象求解析式
【要点讲解】 确定y=Asin(ωx+φ)+b(0A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M−m2,b=M+m2;
(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=2πT;
(3)求φ:常用的方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.
（2023春•驻马店月考）已知函数，的部分图象如图所示，则
A．0B．C．D．
【解答】解：由函数的部分图象知，，
解得，所以，
又因为，解得，，
所以，；
由，得，所以，
所以．
故选：．
（2021•宝鸡模拟）已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在区间上是增函数
D．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象
【解答】解：由函数，的部分图象得，
，由五点法画图知，
又，所以，解得，
所以．
对于，，所以的图象不关于直线对称，错误；
对于，，所以的图象不关于点，对称，错误；
对于，，时，，，所以在区间，上是增函数，正确；
对于，把向右平移个单位，得，得不到的图象，错误．
故选：．
（2023春•谯城区校级期中）已知函数，，的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点中心对称，则下列判断正确的是
A．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最大值为
D．函数在上单调递减
【解答】解：由函数的最大值可知，
因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以周期，则，解得：，
又函数关于点对称，则，
解得：，，因为，所以，
所以函数，
对于，向右平移个单位后得到，，所以正确；
对于，当时，，所以不是函数的对称轴，所以不正确；
对于，当时，，所以，
所以，故错误；
对于，若，则，
所以函数在上不具有单调性，故错误．
故选：．
（2023春•南阳期中）已知函数，，的部分图象如图，则
A．B．C．D．
【解答】解：由图象知，即周期，即，得，
则，
，，即，，
，当时，，
则，
，即，
则，
．
故选：．
三角函数图象变换与性质的综合
【要点讲解】(1)将f(x)化为asin x+bcs x的形式;
(2)构造f(x)=a2+b2·aa2+b2·sin x+a2+b2·ba2+b2·cs x;
(3)和角公式逆用,得f(x)=a2+b2sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
(4)利用f(x)=a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的性质.
（2023春•丽水期末）已知函数，．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到的图象，求，的值域．
【解答】解：（1）由题，周期，
令，
得，
所以的单调递增区间是．
（2）由已知可得，．
因为，所以．
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
所以，所以，
所以所求值域为．
（2023春•焦作期末）已知函数的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，且．
（1）求的解析式；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间．
【解答】解：（1）由已知得的最小正周期，所以，
从而，又，，所以，
所以．
（2）由已知得．
故，
令，，得，，
所以函数的单调递减区间为，．
（2023春•成都期末）已知函数，的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1）由函数的部分图象知，
，所以，所以，
又因为，
所以，，解得，，
又因为，所以，
所以，解得，
所以；
（2）因为，，所以，，
所以，，
所以，，
即的取值范围是，．
（2023春•朝阳区校级月考）函数的部分图像如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，，求的取值范围．
【解答】解：（1）由图像可知，即，
解得：，
由图知函数过点，
，即，
，解得，
又，，
所以的解析式为：；
（2），，
利用余弦函数的图像与性质知：，
即，
令，则由题可知恒成立，
令，，对称轴为，开口向上，
①当时，二次函数在上单调递增，
（1），
解得，此时无解；
②当时，二次函数在上单调递减，在上单调递减，
，
解得：；
③当时，二次函数在上单调递减，
，
解得：，此时无解；
综上可知，的取值范围是．
（2023春•河南期中）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间，上交点的个数为
A．9个B．8个C．7个D．5个
【解答】解：由五点对应法得，得，，
即，
由得或，，
得或，，
由或，
得或，
由得，1，2，3共4个，
由得，1，2共3个，合计个．
故选：．
（2023春•河南期中）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间，上交点的个数为
A．9个B．8个C．7个D．5个
【解答】解：由题图得，所以，因为，
所以，，，，
因为，所以，所以，
，，令，
或，，由于，，
则，，，，，，，有7个值，
故的图象与直线在此区间上有7个交点．
故选：．
（2023春•柯桥区期末）已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是
A．B．C．D．
【解答】解：函数，的周期为，
令，可得，，
所以，即，，
又，
所以，，，
又，所以，
所以．
故选：．
（2023•郑州模拟）已知函数（其中，的图象如图所示，且满足，则
A．B．C．D．
【解答】解：设的最小正周期为，根据及函数图象的对称性知，，
所以，得．由，得，即，
因为，结合图知，故．
由，得，即，
由图象易知，得．
故选：．
（2023•鲤城区校级模拟）已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围
A．B．C．D．
【解答】解：，其中（取为锐角），
，其中（取为锐角），
设，由，可得．
在区间内没有零点，但有极值点时，，可得．
所以．
因为，，所以．
所以，
所以在上的最大值在取得，故．
又
，
，
所以的取值范围是．
故选：．
三角函数模型及其应用
【要点讲解】(1)解题关键:准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则,建立三角函数关系式;
(2)建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题;
(3)与角度有关的呈周期性变化的问题常转化为三角函数模型.
（2023春•沂水县期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的
点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：在水面下，为负数）表示为时间（单位：的函数，当时，点到水面的距离为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，得筒车旋转的周期是，
第时，点回到原来的位置，第时点旋转了180度，
由三角函数可求出所在直径与水面的夹角为30度，所以此时距离水面的距离为，
故选：．
（2023春•西城区校级期中）如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意，，，
设，，，，
则，，，
可得，
的初始位置在最低点，时，有，即，
解得，，，
与的函数关系为：．
故选：．
（2023春•肥城市期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒位于点处，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足．
已知筒车的轴心距离水面的高度为2米，设盛水筒到水面的距离为（单位：米）
（盛水筒在水面下时，则为负数）．
（1）将距离表示成旋转时间的函数；
（2）求筒车在，秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间有多长？
【解答】解：（1）由题意知，，，所以，
时，，解得，
又因为，所以，
所以点的纵坐标满足，．
所以距离关于时间的函数为，；
（2），时，令，得，
所以，解得，
所以筒车在，秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间是
（秒．
（2023•香洲区校级模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，，求摩天轮转动一周的解析式；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
【解答】解：（1）（其中，，，
由题意知：，
，
故，
，
，
又，
，
，
故解析式为：，，；
（2）令，则，即，
因为，，则，
所以或，
解得或，
故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023•广东学业考试）要获得，只需要将正弦图像
A．向左移动个单位B．向右移动个单位
C．向左移动个单位D．向右移动个单位
【解答】解：把的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为．
故选：．
2．（2023春•顺德区校级期中），，的一段图象如图，则其解析式为
A．B．
C．D．
【解答】解：，，
根据图象可得函数最大值为2，则，
点，对应五点作图的第三个点，
则，，
则函数的解析式为：．
故选：．
3．（2023春•金安区校级期中）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，，所以，
又，所以，
则，由可得，
所以，，
因为，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为．
故选：．
4．（2023•桃城区校级三模）函数的部分图象如图所示，则
A．B．C．0D．
【解答】解：由图可知，且过点，代入解析式可知，，
即．
因为，所以，
所以，
所以．
故选：．
5．（2023春•河南期中）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间，上交点的个数为
A．9个B．8个C．7个D．5个
【解答】解：由五点对应法得，得，，
即，
由得或，，
得或，，
由或，
得或，
由得，1，2，3共4个，
由得，1，2共3个，合计个．
故选：．
6．（2023春•深圳期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【解答】解：由于函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度即可．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2023•临沂二模）已知函数，，在一个周期内的图象如图，则
A．
B．点是一个对称中心
C．的单调递减区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，可得的图象
【解答】解：由图象可得，且，所以最小正周期，
而，即，可得，所以，
由图知，时，，，又，所以，
所以，所以错误；
中，因为，这时，所以 是函数的一个对称中心，所以正确；
中，，，，是函数的单调增区间，项错误，
理由如下：函数的递增区间满足，，
解得，
所以函数的递增区间为，，，所以错误；
中，的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，
可得，再向左平移，可得，
即与该函数图像一样，所以正确；
故选：．
8．（2023•郴州模拟）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在，上有且只有5个零点，则下列结论正确的是
A．的图象关于点对称
B．在上有且只有5个极值点
C．在上单调递增
D．的取值范围是
【解答】解：由题设，在，上，若，
所以在上有5个零点，则，解得，故正确；
在上，，当，极值点个数为6个，故错误；
且，故不为0，故错误；
在上，则，故递增，即在上递增，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023•汉滨区校级模拟）把函数的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称，若在区间，上单调递减，则的最大值为 ．
【解答】解：函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为，
函数的图象关于轴对称，
，
，
又，，
，
，，，，
在区间，上单调递减，
，解得，
的最大值为．
故答案为：．
10．（2022秋•河北区期末）已知函数的部分图象如图所示，则 ．
【解答】解：令，
，
所以，所以，
结合，得，，
易知时，即为所求．
故答案为：．
11．（2023春•顺庆区校级期中）将函数的图象向左平移个单位得到一个偶函数的图象，则 ．
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度得图象所对应的解析式为，
因为为偶函数，
所以，
即，，
又，
所以．
故答案为：．
12．（2023春•桐柏县校级月考）函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则 ．
【解答】解：，，
因为平移后图象重合，故，因为，故．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
13．（2023•桃城区校级模拟）如图，，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为（单位：弧度秒），为线段的中点，记经过秒后（其中，．
（1）求的函数解析式；
（2）将图像上的各点均向右平移2个单位长度，得到的图像，求函数的单调递减区间．
【解答】解：（1），是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为（单位：弧度秒），
经过秒后（其中，
则．
因为，
所以，
所以，
所以．
即．
（2）依题意可知
由，得，
故函数在，上的单调递减区间为，．
14．（2023春•朝阳区校级期末）某同学用“五点法”画函数，，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
（Ⅰ）函数的解析式为 （直接写出结果即可）；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数在区间，上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ），，
所以，，结合得，故；
（Ⅱ）由，解得，，
故的单调递增区间为，，；
（Ⅲ）由，，得，
故当时，．
15．（2023春•长寿区期末）若函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．
【解答】解：（1），
则函数的周期为；
（2）函数的图象向右平移得：，
因为，所以，故，
当时，，当时，，
，故函数的值域为．ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(－φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
0
0
2
0
0