高考数学一轮复习：4三角函数-专题1练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：4三角函数-专题1练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题01任意角和弧度制三角函数的概念原卷版docx、专题01任意角和弧度制三角函数的概念解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc141037590" 题型一： 象限角及终边相同的角 PAGEREF _Tc141037590 \h 2
\l "_Tc141037591" 题型二： 扇形的弧长及面积公式 PAGEREF _Tc141037591 \h 7
\l "_Tc141037592" 题型三： 根据定义求三角函数值 PAGEREF _Tc141037592 \h 11
\l "_Tc141037593" 题型四： 三角函数的符号 PAGEREF _Tc141037593 \h 12
知识点总结
角的概念
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．任意角包括正角、负角和零角．
(2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角)．
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度和弧度的换算
eq \x(\a\al(180°＝,π rad))→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1°＝\f (π,180) rad≈0.017 45 rad,1 rad＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (180,π)))°≈57.30°))
(3)半径为r的圆中，圆心角为α rad的角所对的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq \f (1,2)lr＝eq \f (1,2)|α|·r2.
三角函数的概念
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f (y,x)(x≠0)，正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
例题精讲
象限角及终边相同的角
【要点讲解】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
2.确定nα,αn(n∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出nα或αn的范围,然后根据n的可能取值讨论确定nα或αn的终边所在位置.
（2023秋•绥化期末）已知集合，，则角的终边落在阴影处（包括边界）的区域是
A．B．
C．D．
【解答】解：集合，，表示第一象限的角，
故选：．
（2022秋•南京期末）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ， ．
【解答】解：分别与角，终边相同的角为，．
因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是，．
故答案为：，．
（2023春•浦北县校级月考）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是 ， ．
【解答】解：分别与角，终边相同的角为，．
因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是，．
故答案为：，．
（2022秋•荔湾区期末）已知是第二象限角，则可以是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【解答】解：因为是第二象限角，即，；
所以，；
当为偶数时，是第一象限角；
当为奇数时，是第三象限角．
故选：．
（2022秋•建华区校级期末）已知是锐角，则
A．是小于的正角B．是第三象限角
C．只是锐角D．是第一或第二象限角
【解答】解：因为已知是锐角，所以．故选项符合题意，选项不符合题意；
所以，即是第三象限角，故选项符合题意．
所以，即只是锐角．故选项符合题意．
故选：．
（2022秋•瑶海区校级月考）若是第四象限的角，则是
A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角
【解答】解：由是第四象限的角，可得是第一象限角，
是第四象限角．
故选：．
（2021秋•宁武县校级期末）设是第四象限的角．
（1）试讨论是哪个象限的角；
（2）写出的范围；
（3）写出的范围．
【解答】解：（1）角是第四象限角，即：，．
，．
当取偶数时，是第四象限角，当取奇数时，是第二象限角，
故是第二象限角或第四象限角．
（2），，
，，即的范围为，，．
（3），，
，，即的范围为，．
（2022秋•荔湾区校级期末）若角与角的终边关于轴对称，则必有
A．B．
C．D．
【解答】解：角与角的终边关于轴对称，
，，
即，，
故选：．
（2023•石城县校级开学）已知角与的终边关于轴对称，则与的关系为
A．B．
C．D．
【解答】解：角与的终边关于轴对称，
，，
即，，
故选：．
（2022春•浦东新区校级月考）的终边与的终边关于直线对称，则 ．
【解答】解：
故答案为：．
（2021春•延庆区期中）直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于 轴 对称；角的终边与的终边关于 对称．
【解答】解：以原点为顶点，以轴正半轴为始边，
角的终边与的和为，故角的终边与的终边关于轴对称；
角的终边与的和等于，角的终边与的终边关于直线对称，
故答案为：轴；直线．
扇形的弧长及面积公式
【要点讲解】1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题;
2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
（2023春•顺庆区校级期中）在直径为的圆中，的圆心角所对的弧长是
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以的圆心角所对的弧长为．
故选：．
（2023春•湖北期中）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为
A．1B．2C．D．
【解答】解：根据题意：作出如下图形，
，
则为等边三角形，故，
则这条弦所对的圆心角为．
故选：．
（2023春•钦南区校级期中）已知扇形的周长为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，则，
解得，．
故选：．
（2023春•葫芦岛月考）已知扇形的周长为9，半径为3，则扇形圆心角的弧度数为
A．3B．1C．D．
【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为，扇形弧长为，周长为，圆的半径为，
由题意可得：，，
可得：，
则由，可得：．
故选：．
（2023春•辽宁月考）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为
A．B．C．D．
【解答】解：设扇形的圆心角为，
由扇形面积公式可知，所以，
如图，取的中点，连接，交于点，
则．易知，则，
所以，，，
所以扇形弧长的近似值为．
故选：．
（2023春•浙江期中）如图从半径为定值的圆形纸片上，以为圆心截取一个扇形卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为
A．B．C．D．
【解答】解：设扇形的半径为，圆心角为，，则扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径为，高为，则，
则，
因为，
则圆锥体积，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
（2023春•振兴区校级期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，
如图所示，
过点作，垂足为，
可得，，
可得扇形的面积为，的面积为，
所以此弧田的面积为．
故选：．
（2023春•海陵区校级月考）如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：设，矩形面积为，
扇形的半径为，圆心角为，
所以，，，
所以．
化简得：，，
当，即时，
取最大值．
故选：．
根据定义求三角函数值
【要点讲解】(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.
（2023春•辽宁月考）已知角的终边经过点，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，得．
故选：．
（2022秋•汕尾期末）已知角的终边经过点，且，则
A．8B．C．4D．
【解答】解：角的终边经过点，且，
，解得．
故选：．
（2022秋•揭东区期末）已知角的终边点为，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：角的终边点为，
．
故选：．
（2023•开封三模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：由三角函数定义可知：，
又是第二象限角，
故，
所以．
故选：．
三角函数的符号
【要点讲解】已知一角的三角函数值(sin α,cs α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
（2023春•深圳校级月考）已知满足：，则
A．B．C．D．
【解答】解：由可得．
故选：．
（2023春•红花岗区期中）若，，则是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【解答】解：由，，
得，，是第一象限角．
故选：．
（2023春•皇姑区校级期中）点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：，
，
所以点位于第三象限．
故选：．
（2023•广西模拟）的值所在的范围是
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
且，所以，
所以，
所以的值所在的范围是，．
故选：．
（2023春•天河区校级期中）已知是第二象限角，则点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：是第二象限角，
，，
，
点在第三象限．
故选：．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•徐汇区校级期末）以下命题正确的是
A．终边重合的两个角相等B．小于的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角D．锐角是第一象限的角
【解答】解：，当，时，与终边重合，但两个角不相等，错误，
，，但它不是锐角，错误，
，是第二象限角，但不是钝角，错误，
，锐角一定是第一象限角，正确，
故选：．
2．（2023春•浦东新区期末）下列命题中正确的是
A．终边重合的两个角相等B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角D．小于的角都是锐角
【解答】解：对于，终边相同的角可表示为，故错误；
对于，锐角的取值范围为，故正确；
对于，第二象限角的取值范围为，故错误；
对于，锐角的取值范围为，其，则，但不是锐角，故错误．
故选：．
3．（2023春•丰城市校级期中）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位密位等于圆周角的，即密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为
A．B．C．D．
【解答】解：因为1密位等于圆周角的，
所以密位的圆心角为，
又圆的半径为1，
所以弧长．
故选：．
4．（2022秋•襄城区校级期末）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：设，由，得，即，
所以
．
故选：．
5．（2023春•和平区校级期中）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积的最大值为
A．10B．15C．20D．25
【解答】解：设扇形的弧长为，半径为，
则，即，
扇形的面积，，
当且仅当时，该扇形的面积取到最大值25．
故选：．
6．（2022秋•苏州期末）毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为
A．B．C．D．
【解答】解：因为昆仑站距离地球南极点约，地球每自转，
所以由弧长公式得：．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2022秋•聊城期末）下列说法正确的是
A．在范围内，与角终边相同的角是
B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是
C．不等式的解集为
D．函数的定义域是
【解答】解：：与角终边相同的角为，，
令，则，故正确；
：由已知可得圆的半径为，所以弧长为，故正确；
：解不等式可得：，故错误；
：令，解得，，故正确，
故选：．
8．下列命题中正确的是
A．若角的终边上有一点，则角不是象限角
B．和均是第一象限角
C．若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是
D．若，且角与角的终边相同，则的值是或
【解答】解：对于，因为点在轴上，所以角的终边在轴负半轴上，所以角不是象限角，故正确；
对于，，因为为第一象限角，所以为第一象限角，由于，因为不是第一象限角，所以不是第一象限角，故错误；
对于，可得，解得，或，所以圆心角的弧度数为，或5，故错误；
对于，因为角与角的终边相同，所以，，所以，，所以，，所以，2，所以，或，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023春•新余期末）如图所示，已知扇形的圆心角为，半径长为6，则阴影部分的面积是 ．
【解答】解：由图像知，记阴影部分面积为，扇形面积为，则，
由题意得，，
所以，
所以阴影部分的面积为．
故答案为：．
10．（2022秋•荔湾区校级期末）已知扇形的面积为，则该扇形的周长的最小值为 8 ．
【解答】解：设半径为，弧长为，则，
，
扇形周长为，
当且仅当，即，时，扇形周长的最小值为．
故答案为：8．
11．（2023•柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心在线段上，若，，则扇形的面积为 ．
【解答】解：如图，过点作，设所在圆的半径为，
则，在中，，，
所以，，
所以，．
在中，有，
，
整理可得，，
因为，所以，
所以，扇形的面积为．
故答案为：．
12．（2023春•西湖区校级月考）已知扇形的圆心角为，周长为12，则扇形的面积为 8 ．
【解答】解：设扇形的半径为，
由题意得，即，
所以扇形的面积．
故答案为：8．
四．解答题（共3小题）
13．（2020秋•唐山月考）如图，某游乐园的平面图呈圆心角为的扇形，其两个出入口设置在点及点处，且园内有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了8分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．
（1）求的面积；
（2）求该扇形的半径的长．
【解答】解：（1）由题意（米，（米，，
可得的面积（平方米），
所以的面积为平方米．
（2）设扇形的半径为，连结，
由题意，
在中，，
即，
解得（米，
则该扇形半径的长为370米．
14．（2023春•静安区校级期中）如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点，在弧上，且线段平行于线段；
（1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
（2）设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？
【解答】解：（1）如图，作于点，交线段于点，连接、，
，
，，，
，
，
；
（2）因为，
则，，，
，
，
，
即时，，此时在弧的四等分点处．
15．（2014春•泗县校级月考）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）内的角．
【解答】解：
和终边相同
其余的终边相同的角度可以写成
（1）当时是最小的正角，；
（2）当时是最大的负角，；
（3）当，，0，1时，、、、符合条件．三角函数
定义域(弧度制下)
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cs α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ
＋eq \f (π,2)，k∈Z}
＋
－
＋
－