高考数学一轮复习：6数列-重难点突破1练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．（2023•北京模拟）2023年是我国规划的收官之年，2022年11月23日全国22个省份的832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．利用电商平台，开启数字化科技优势，带动消费扶贫起到了重要作用．阿里研究院数据显示，2013年全国淘宝村仅为20个，通过各地政府精准扶贫，与电商平台不断合作创新，2014年、2015年、2016年全国淘宝村分别为212个、779个、1311个，从2017年起比上一年约增加1000个淘宝村，请你估计收官之年全国淘宝村的数量可能为
A．4212个B．4311个C．4779个D．8311个
【解答】解：根据题意，从2017年起比上一年约增加1000个淘宝村，2016年有淘宝村1311个，
可以看成首项为1311，公差为1000的等差数列，
求2023年淘宝村的数量，
．
故选：．
2．（2023•全国一模）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为
A．172B．183C．191D．211
【解答】解：高阶等差数列，2，4，7，11，16，22，，
令，则数列，2，3，4，5，6，，
则数列为等差数列，首项，公差，，则，
则．
故选：．
3．（2023•雅安模拟）小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天月1日为第1天）的储蓄总额为
A．19903元B．19913元C．20103元D．20113元
【解答】解：4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，
则小方存钱203天月1日为第1天）的储蓄总额为元．
故选：．
4．（2023•甘肃模拟）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，解开九连环最少需要移动341次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为
A．54B．90C．170D．256
【解答】解：由题意，，，，
；；
；；
；；，所以，
则解下8个圆环最少需要移动的次数为．
故选：．
5．（2023•池州模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨部所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．角垛”的最上层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球设各层球数构成数列．该数列从第二项起每一项与前一项的差构成等差数列，则该“三角垛”中第8层小球个数为
A．21B．28C．36D．45
【解答】解：根据题意，设第层有个小球，
则，，，
从第二项起每一项与前一项的差构成等差数列，
而，，则，，，
故，即该“三角垛”中第8层小球个数为36．
故选：．
6．（2023•浉河区校级模拟）三潭印月被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为△，设△的边长为，取△每边的中点构成△，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，若的前6项和为，则△的边长
A．62B．61C．31D．30
【解答】解：根据题意可知是公比为的等比数列，
的前6项和为，
解得．
故选：．
7．（2023•海淀区二模）芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正方形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为
A．B．C．D．
【解答】解：依题意将这块原材料如下切割得到第5代芯片，其中12块无坏点，4块有坏点，
故第5代芯片的产品良率为．
故选：．
8．（2023•四川三模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有深刻的科学方法论意义，由此可见分形的重要性．美国物理学大师曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人．雪花曲线是一种典型的分形曲线，它的制作步骤如下：
第一步：任意画一个正三角形，记为，并把的每一条边三等分；
第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，记所得图形为；
第三步：把的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为；
同样的制作步骤重复下去，可以得到，，，直到无穷，所画出的曲线叫做雪花曲线．
若下图中的边长为1，则图形的周长为
A．6B．C．D．
【解答】解：根据题意，记第个图形为，其中三角形边长为，边数为，
分析可得：，，
则图形的边数为，边长，则第个图形为的周长为，
故当时，周长为，
故选：．
9．（2023•榆林三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第，2，，匹马的日行路程是第匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取
A．7750里B．7752里C．7754里D．7756里
【解答】解：根据题意，第，2，，匹马的日行路程是第匹马日行路程的1.05倍，
且第16匹马的日行路程为315里，所以第17匹马的日行路程为里，
则这17匹马的日行路程之和为里，
故选：．
10．（2023•门头沟区一模）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰．书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布
A．尺B．尺C．尺D．尺
【解答】解：设每日织布尺数构成的数列为，
则是公比为2的等比数列，
由题知，解得，
该女子第二天织布数为．
故选：．
11．（2023•安康一模）南京市地铁号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有
A．18B．19C．21D．22
【解答】解：由题意设前两站的距离为千米，
第二站与第三站之间的距离为千米，，
第站与第站之间的距离为千米，
则是等差数列，首项是，公差，
则，解得，
则站点数一共有19个．
故选：．
12．（2023•南京二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中●表示太极，表示阳仪，表示阴仪）．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即为天一对应的经历过的两仪数量总和0，为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，，按此规律，则为
A．84B．98C．112D．128
【解答】解：根据题意，设该数列为，则，
故．
故选：．
13．（2023•李沧区校级一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为
A．8B．10C．12D．16
【解答】解：从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，
则是以2为公比的等比数列，
，，解得，
所以，
．
故选：．
14．（2023•海淀区校级三模）已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：对于①：若，
可得，
由，
可得，
取即可，
此时 为“回旋数列”，故①正确；
对于②：已知为等比数列，且公比为有理数，
当时，，，
由，
可得，
所以当时，明显不成立，
故不是“回旋数列”，故②错误；
对于③：因为 是等差数列，
所以，，
因为数列是“回旋数列”，
所以，
整理得，
因为为非负整数，
所以要保证 恒为整数，
故为所有非负整数的公约数，且，所以，故③正确；
对于④：由①可得当时，为“回旋数列”，
可得，，
显然不存在，使得，故④错误．
综上得结论正确的有①③．
故选：．
15．（2023•南通模拟）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为 吨．麦子大约20000粒，
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得，格子的麦粒数构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
，
麦子大约20000粒，吨麦子大约为粒，
，
，
故选：．
16．（2023•上饶模拟）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为
A．12B．26C．42D．50
【解答】解：根据题意，把各排座位数看作等差数列，
设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则，
所以，解得，
所以．
故选：．
17．（2023•湖北模拟）为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为
A．325万元B．581万元C．721万元D．980万元
【解答】解：根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为81，公比为的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是（万元），
由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10的等差数列，
所以这五年的旅游总收入是（万元），
所以这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（万元）．
故选：．
18．（2023•金凤区校级一模）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”．它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天．由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应：设数列满足，，，，其中均为正整数：，，，，，，，那么第级修正是“平均一年闰个月”．已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是
A．第6级修正B．第5级修正C．第4级修正D．第3级修正
【解答】解：，，，，，，，
，，，
，
，
则我国农历为19年共闰7个月为第5级修正，
故选：．
19．（2023•湖滨区三模）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距．对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距．设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；；顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次的讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即．现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”， 与相差不到1元，则最小值为
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：依题意可知，
，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
由，
得，
，其中，
经检验可知，的最小值为6．
故选：．
20．（2023•万州区校级模拟）如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形各边的三等分点，，，，，，作第2个正六边形，然后再取正六边形各边的三等分点，、、，，，作第3个正六边形，依此方法，如果这个作图过程可以一直继续下去，由△，△，构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则该螺旋线型图案的面积与正六边形的面积的比值趋近于
A．B．C．D．
【解答】解：由外至内设每个六边形的边长构成数列，每个阴影三角形的面积构成数列
设，则，，．
依此类推，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
又，
所以，，．
依此类推，，
则数列的前项和
，
如果这个作图过程可以一直继续下去，则，此时，
正六边形的面积为，
故该螺旋线型图案的面积与正六边形的面积的比值趋近于．
故选：．
21．（2023•思明区校级模拟）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为
A．4B．7C．16D．31
【解答】解：由题意得，，，
由解下第4个圆环可得，
又，
则，
故选：．
22．（2023•南关区校级模拟）如图，阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设图中直角面积为，直角面积为，后续各直角三角形面积依次为，，，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：设第个正方形的边长为，由已知可推得，
则，，
由已知可得，，，，
所以，即，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，，，
所以，．
故选：．
23．（2023•黄石模拟）中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究，如图是某武成王顶部的剖面直观图，其中，，，2，3，，数列，2，3，是等差数列且，若以为坐标原点，以，，分别为，轴正方向建立平面直角坐标系，则直线的斜率是
A．0.4B．0.45C．0.5D．0.55
【解答】解：由题意可知：，令，，因为，2，3，，
所以，2，3，，
因为数列，2，3，是第二项为的等差数列，
设公差为，则，因为，所以，
同理
则直线的斜率，
故选：．
24．（2023•十堰模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，．该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则
A．B．2024C．D．1
【解答】解：因为，
当时，所以．
又，所以是首项为1，公比为的等比数列，
则，
故．
故选：．
25．（2023•闵行区二模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，，则称数列为数列的“数列”．已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是
A．存在等差数列，使得是的“数列”
B．存在等比数列，使得是的“数列”
C．存在等差数列，使得是的“数列”
D．存在等比数列，使得是的“数列”
【解答】解：对于，例如，则是等差数列，，都是严格增数列，
可得，
则，
取，则，，即，成立，
所以是的“数列”，所以为真命题，所以正确；
对于，例如，则是等比数列，，都是严格增数列，
可得，则，
取，则，，即，成立，
所以是的“数列”，所以为真命题，所以正确；
对于，存在等差数列，使得是的“数列”，
设等差数列的公差为，因为，都是严格增数列，
所以，，所以，取，满足，
可知必存在，使得成立，
当时，对任意正整数，则有；
对任意正整数，则有；故不存在正整数使得，
所以为假命题；
对于；例如，则是等比数列，，都是严格增数列，
可得，则，
取，则，，即，成立，
所以是的“数列”，所以为真命题，所以正确；
故选：．
二．填空题（共5小题）
26．（2023•桃城区校级一模）分形几何学是法国数学家曼德尔勃罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图，正三角形的边长为4，取各边的中点，，作第2个三角形，然后再取各边的中点，，作第3个三角形，以此方法一直进行下去．已知为第1个三角形，设前个三角形的面积之和为，若，则的最小值为 3 ．
【解答】解：根据题意，设第个三角形的面积为，
分析可得：第个三角形的边长为第个三角形边长的一半，则，
而第一个三角形的面积，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则前个三角形的面积之和为，
若，解可得，故的最小值为3；
故答案为：3．
27．（2023•固镇县三模）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为 ．
【解答】解：第1关收税金：；第2关收税金：；第3关收税金：；
，可得第8关收税金：，即．
故答案为：．
28．（2023•保定二模）我们知道地球和火星差不多在同一轨道平面上运动，火星轨道在地球轨道之外．当地球和火星与太阳在同一条直线上，这一天文现象称为“冲日”，简称“冲”．假设地球和火星都做近似匀速圆周运动，火星绕太阳一周约需687天，地球绕太阳一周约需365.25天，则相邻两次“冲日”之间间隔约为 780 天．（结果精确到个位）
【解答】解：由题意知，地球一天绕太阳转，火星一天绕太阳转，
设相邻两次“冲日”间隔天，由于，
则，
所以．
故答案为：780．
29．（2022•南通模拟）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去．经过次操作后，共删去个 小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过，则至少需要操作 次．
【解答】解：由题可知，每次删掉的正方形数构成公比为4，首项为5的等比数列，
所以经过次操作后，共删去的正方形个数；
易知，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，
所以，保留下来的所有小正方形面积之和为，
由，解得，
所以，至少需要9次操作才能使保留下来的所有小正方形面积之和不超过．
故答案为：．
30．（2023•河南三模）为激发大家学习数学的兴趣，在一次数学活动课上．老师设计了有序实数组，，，，，，0，，2，3，，，（A）表示把中每个都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，0，，则（A），0，，1，0，．定义，，2，3，．若，则中有 个1．
【解答】解：因为，依题意（A），0，，1，0，．定义，，2，3，，
所以，0，0，，，0，，1，，1，0，，
显然，中有2项，其中1项为，1项为1，
中有4项，其中1项为1，1项为，2项为0，
中有8项，其中3项为1，3项为，2项为0，
由此可得总共有项，其中1和的项数相同．
设中有项为1，项为0，所以，
因为（A）表示把中每个都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，
则，
所以，
可得，即，
则，
所以，解得，
所以中有个1．
三．解答题（共5小题）
31．（2023•海淀区校级三模）若数列满足，2，3，，，则称数列为数列．记．
（1）写出一个满足，且的数列；
（2）若，，证明：数列是递增数列的充要条件是；
（3）对任意给定的整数，是否存在首项为1的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由．
【解答】解：（1）1，0，1，2，1．（答案不唯一1，2，1，0，1．
（2）证明：必要性：
因为数列是递增数列，
所以，2，3，，．
所以数列是以24为首项，公差为1的等差数列．
所以．
充分性：
因为，
所以，
所以，，，，
所以，即，
因为，，
所以，
所以，2，3，，，
即数列是递增数列．
综上，结论得证；
（3）令，2，3，，，则．
所以，，，，
所以
，
因为，
所以为偶数，2，3，，，
所以为偶数，
所以要使，即，
必须使为偶数，
即4整除，
因为，
所以或．
当时，数列的项满足，，，，，2，3，，时，
有，；
当时，数列的项满足，，，，，2，3，，时，
有，；
当或时，不能被4整除，此时不存在数列，使得，．
32．（2023•佛山一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑．在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应．坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米．坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构．底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高．
（1）请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；
（2）佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米．根据你得到的等差数列，连续取用该数列前项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、、表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知：，注意到，，
取等差数列的公差，则，
令，解得，即24为第5项；
令，解得，即19.2为第7项；
故符合题意；
（2）可以，理由如下：
由（1）可知：，，，，，，，，
设数列的前项和为，
，
故新堆叠坊塔的高度可以超过310米．
33．（2023•昆明一模）
雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的．上图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：
将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；
将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；
按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线．
现将图①、图②、图③、中的图形依次记为、、、、．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设，并作了如下探究：
根据小明的假设与思路，解答下列问题．
（1）填写表格最后一列，并写出与，的关系式；
（2）根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；
（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．
参考数据
【解答】解：（1）表格最后一列从上到下依次为：；，；，，
，；
（2）由与，的递推关系可得：
，，，，
所有等式等号左右两边分别相加可得，，
，；
（3）由题可得，，即，
即，，
又，，
代入得，
．
从第7个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．
34．（2023•重庆模拟）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁查理卡特兰命名．历史上，清代数学家明安图年年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为．
（1）证明是卡特兰数；
（2）求的通项公式．
【解答】解：（1）证明：在一个无穷网格上，最开始在上，
每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，
在任意一个时刻，往右走的次数都不能少于往上走的次数，记合法路径的总数为．
若先走到则合法路径，
若先走到且不走到，
相当于走到后向右走到再走到，
合法路径，若先走到且不走到，，
相当于走到后再从走到，
合法路径，于是，即为卡特兰数；
（2）记直线，则所有不合法路线都会与直线有交点，
记第一个交点为，
将之后的路径都沿着对称，那么这条不合法路径的终点成为了，
总路线为，不合法路线为，合法路径为，即．
35．（2023•海淀区校级模拟）若无穷数列的各项均为整数．且对于，，，都存在，使得，则称数列满足性质．
（1）判断下列数列是否满足性质，并说明理由．
①，，2，3，；
②，，2，3，．
（2）若数列满足性质，且，求证：集合为无限集；
（3）若周期数列满足性质，求数列的通项公式．
【解答】解：（1）对①，，2，3，；
可令，对，，则，，可得，
显然不存在，，使得，故数列不满足性质；
对②，，2，3，
对于、，，则，，
故，
因为，，，，则，且，
所以存在，，使得，故数列满足性质．
（2）证明：若数列满足性质，且，则有：
取，，，均存在，，使得，
取，，，均存在，，
使得，
取，，均存在，，
使得．
故数列中存在，使得，
即．
运用反证法证明：假设为有限集，其元素由小到大依次为，，，，
取，，均存在，，使得，
取，，均存在，，使得，
取，，均存在，，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集．
（3）设周期数列的周期为，，则对，均有，
设周期数列的最大值为，，，最小项为，，
即对，均有，
若数列满足性质
运用反证法证明．假设，取，，则，，使得
，则，
即，
这对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
运用反证法证明．假设时，取，，则，，使得
，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有．
综上所述，对，均有；
运用反证法证明．假设为数列中的项，由（2）可得，3为数列中的项，
因为，即为数列中的项，这与对，均有相矛盾，即对，均有．同理可证，
因为，则，2，．
当时，即数列为常数列时，设，故对，，，都存在，使得，解得或3，即或3，符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当0，2为数列中的项，则，即为数列中的项，但，2，，不成立；
②当0，3为数列中的项，则，即为数列中的项，但，2，，不成立；
③当2，3为数列中的项，则，即1为数列中的项，但，2，，不成立；
综上所述，或．
大衍图
边数
3
12
48
192
从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数
3
12
48
从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积