2024-2025学年高中数学人教A版必修二第8章《立体几何初步》章末总结与练习（学生版+教师版）

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《第八章 立体几何初步 》章末综合 教学设计一、知识网络构建二、核心知识归纳1.空间几何体的结构特征及其表面积和体积2.平面的基本性质(1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.(2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.3.常用定理及结论线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b线面垂直的判定定理：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n⊂α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))⇒l⊥α线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β线面垂直的性质：①a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；②a⊥α，b∥α⇒a⊥b平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β线面垂直的性质：a⊥α，a⊥β⇒α∥β平行平面的传递性：α∥γ，β∥γ⇒α∥β4.空间角(1)异面直线所成的角①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围：0°<α≤90°.(2)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°.②范围：0°≤θ≤90°.(3)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：若有(ⅰ)O∈l；(ⅱ)OA⊂α，OB⊂β；(ⅲ)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.③范围：0°≤∠AOB≤180°.三、典型例题1.空间几何体的表面积、体积【例1】如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转一周．（1）求阴影部分形成的几何体的表面积．（2）求阴影部分形成的几何体的体积．【解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，，，．故所求几何体的表面积为．（2），，　所求几何体体积为．【类题通法】求空间几何体的表面积、体积的常见方法：(1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解.(2)割补法：割补法的思想是通过分割或补形，将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积.(3)等体积变换法：等积变换法的思想是从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理来求原几何体的体积.【巩固训练1】　已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱的体积.【解】如图所示，设圆柱OO1为等边圆柱，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1是圆柱OO1的内接正四棱柱.设等边圆柱的底面半径为r，则高h＝2r.∵S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2，∴r＝eq \r(\f(S,6π)).又正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底边AB＝2rsin 45°＝eq \r(2)r，∴正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V＝S底·h＝(eq \r(2)r)2·2r＝4r3＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(S,6π))))eq \s\up12(3)＝eq \f(S\r(6πS),9π2).故该圆柱的内接正四棱柱的体积为eq \f(S\r(6πS),9π2).2.　空间平行关系【例2】如图：在正方体中，E为的中点.（1）求证：平面；（2）若F为的中点，求证：平面平面.【证明】（1）连结交于O，连结.∵因为为正方体，底面为正方形，对角线､交于O点，所以O为的中点，又因为E为的中点，在中∴是的中位线∴；又因为平面，平面，所以平面.（2）证明：因为F为的中点，E为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以∥平面；由（1）知平面，又因为，所以平面平面.【类题通法】空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律.如下图所示是平行关系相互转化的示意图.【巩固训练2】　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.【解】若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，MN＝BF＝1.而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝eq \f(1,2)EC＝1，故MN是△ACE的中位线.所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.3.空间垂直关系【例3】如图，在三棱柱中，侧棱⊥底面，，分别为棱的中点．求证：平面；求证：；（3）若求三棱锥的体积．【解析】（1）证明：因为侧棱⊥底面，平面，所以，因为为中点，，故，而，故平面，（2）证明：由（1）知平面，而平面，故.（3）解：取的中点为，连接.因为，故，故，因为，故，且，故，因为三棱柱中，侧棱⊥底面，故三棱柱为直棱柱，故⊥底面，因为底面，故，而，故平面，而，故.　【类题通法】1.空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法有：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②由线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)；③面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交形成的二面角的平面角为90°.(2)判定线面垂直的方法有：①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).(3)面面垂直的判定方法有：①根据定义(作两平面构成的二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).2.垂直关系的转化是：【巩固训练3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点.求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【证明】　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，PA在平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形.所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.因为BE∩EF＝E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，所以CD⊥平面BEF.因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.4.空间角的求法【例4】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【解析】(1)解：由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝eq \r(AD2＋PD2)＝eq \r(5)，故cos∠DAP＝eq \f(AD,AP)＝eq \f(\r(5),5).所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为eq \f(\r(5),5).(2)证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以PD⊥平面PBC.(3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝eq \r(CD2＋CF2)＝2eq \r(5).在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝eq \f(PD,DF)＝eq \f(\r(5),5).所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为eq \f(\r(5),5).【类题通法】1.空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题.空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视.2.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).3.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).4.常用的三种二面角的平面角的作法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法.总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算.【巩固练习4】　如图，在棱长为的正方体中，点是中点． （1）求证:平面平面；（2）求二面角的正切值．【解析】（1）证明：∵在正方体中， 点是中点 ，又 ， ，∴ .平面平面，平面，又∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知：平面平面，半平面 半平面所以是二面角的平面角， 则在正方体中， ∴在中， ，故二面角的正切值为 ．5.探索性问题的求法例5. 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由.【解析】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，平面∩平面，∴；（2）证明：取的中点，连接，，∵是 的中点，∴，，又由（1）可得，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（3）解：取中点，连接，，∵，分别为，的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，又由（2）可得平面，，∴ 平面平面，∵是上的动点，MN⊂平面，∴平面，∴ 线段上存在点，使平面.【类题通法】　解决探索性问题一般用分析法，常从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，然后结合已知条件求解.【巩固练习5】如图1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，点E是线段AM的中点.(1)求四棱锥D－ABCM的体积；(2)求证：平面BDE⊥平面ABCM；(3)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由.【解析】(1)解：由已知DA＝DM，E是AM的中点，∴DE⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴DE⊥平面ABCM.四棱锥P－ABCM的体积V＝eq \f(1,3)SABCM·DE＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×3－\f(1,2)×1×1))×eq \f(1,2)×eq \r(2)＝eq \f(5\r(2),12).(2)证明：由(1)可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB，∴平面DEB⊥平面ABCM.(3)解：过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由：在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，∴l⊥平面ADM，∴l⊥AD.四、操作演练 素养提升1.如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　)A.eq \f(\r(2),2) 　　　 B.1C.eq \r(2) 　　　 D.2eq \r(2)【解析】∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，∴Rt△O′A′B′的直角边长是eq \r(2)，∴Rt△O′A′B′的面积是eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝1，∴原平面图形的面积是1×2eq \r(2)＝2eq \r(2).故选D.【答案】D2.底面半径为eq \r(3)，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　)A.6π B.12π C.8π D.16π【解析】由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O＝R－1，由勾股定理可得R2＝(R－1)2＋(eq \r(3))2，∴R＝2，∴球O的表面积为4πR2＝16π.故选D.【答案】D3.如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.【证明】延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.4.如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD面积为2eq \r(7)，求四棱锥P－ABCD的体积.【解析】(1)证明：∵底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.(2)解：取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝eq \f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊂平面PAD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝eq \r(2)x，PM＝eq \r(3)x，PC＝PD＝2x.取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝eq \f(\r(14),2)x.因为△PCD的面积为2eq \r(7)，所以eq \f(1,2)×eq \r(2)x×eq \f(\r(14),2)x＝2eq \r(7)，解得x＝－2(舍去)，x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq \r(3).所以四棱锥P－ABCD的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(2（2＋4）,2)×2eq \r(3)＝4eq \r(3).五、课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 六、作业布置完成教材：第169页 复习参考题8 第1，2，3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18题 七、课堂记录 八、教学反思 名称形成图形表面积体积多面体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体围成它的各个面的面积的和V棱柱＝Sh S为柱体的底面积，h为柱体的高棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体围成它的各个面的面积的和V棱锥＝eq \f(1,3)Sh，S为底面积，h为高棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分围成它的各个面的面积的和V棱台＝eq \f(1,3)(S＋S′＋eq \r(SS′))·h，S′，S分别为上、下底面面积，h为高旋转体圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S圆柱＝2πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体S圆锥＝πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h(r是底面半径，h是高)圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长)V圆台＝eq \f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体S球＝4πR2，R为球的半径V＝eq \f(4,3)πR3，R为球的半径