人教A版高中数学必修第二册第8章8-5-3平面与平面平行学案

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8.5.3　平面与平面平行如图，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的．知识点1　平面与平面平行的判定定理 如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？[提示]　不一定．如图，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．知识点2　平面与平面平行的性质定理思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α∥平面β，α∩γ＝a，平面 β∩平面γ＝b⇒a∥b． (　　)(2)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β⇒a∥b． (　　)[答案]　(1)√　(2)× 类型1　平面与平面平行的判定【例1】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB．[证明]　(1)连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1．而BD∥B1D1，∴BD∥EF．∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB．∴MN∥平面EFDB．连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1．∴MF∥AD且MF＝AD．∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF．又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE．又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB．　平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β．(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．[跟进训练]1．如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG．[证明]∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面PAB∥平面EFG． 类型2　平面与平面平行的性质【例2】　如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．[解]　(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．又α∥β，∴AC∥BD．(2)由(1)得AC∥BD，则PAAB＝PCCD．又PA＝4，AB＝5，PC＝3．∴45＝3CD，∴CD＝154，故PD＝PC＋CD＝274．[母题探究]若点P在平面α与β之间，其他条件不变．(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．[解]　(1)证明：如图，∵PB∩PD＝P，∴PB，PC确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD．又α∥β，∴AC∥BD，(2)由(1)得AC∥BD，∴△PAC∽△PBD，∴PAPB＝PCPD，即PAAB-PA＝PCPD．又PA＝4，AB＝5，PC＝3．∴45-4＝3PD，则PD＝34．　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[跟进训练]2．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G．求证：ABBC＝EFFG．[证明]　连接AG交β于H，连接BH，FH，AE，CG．因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以ABBC＝AHHG＝EFFG，所以ABBC＝EFFG． 类型3　平行关系的综合应用【例3】　如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D．[证明]　因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D．又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D，又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D．　常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：[跟进训练]3．如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．[证明]　由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH．∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD．又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD．又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．1．下列命题正确的是(　　)A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B　[如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行．]2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　)A．两两相互平行B．两两相交于同一点C．两两相交但不一定交于同一点D．两两相互平行或交于同一点A　[可以想象四棱柱，由面面平行的性质定理可得．]3．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是(　　)A．平行　 B．相交C．异面 D．不确定A　[∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1．同理，A1D1∥平面BCF1E1．又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1．]4．已知α∥β，AC⊂α，BD⊂β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．6　[如图，∵AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面，∵α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD，又AB∥CD，∴四边形ABDC为平行四边形，∴AB＝CD＝6．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．线线平行、线面平行、面面平行之间关系如何转化？[提示]　三者之间的相互转化关系如图所示．2．证明直线与直线平行的方法有哪些？[提示]　(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质等．(2)基本事实4．(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．3．证明直线与平面平行的方法有哪些？[提示]　(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．课时分层作业(三十一)　平面与平面平行一、选择题1．(多选)下列说法正确的是(　　)A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行B．一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行C．平行于同一个平面的两平面平行D．夹在两个平行平面间的平行线段相等BCD　[A中，直线还可以在平面内，A错误；B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；C，D显然正确．]2．已知直线l与平面α相交，过l作平面β，使β∥α，这样的β(　　)A．恰能作一个 B．至多作一个C．至少作一个 D．不存在D　[若存在过直线l的平面β，使得β∥α，则直线l与平面α无公共点，与直线l与平面α相交矛盾，不合题意，所以这样的平面β不存在．]3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是(　　)A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDPC　[由题意，取B1C1的中点E，连接EM，NE，B1D1，BD，如图．M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，所以BB1∥NE，B1D1∥EM，EM∩NE＝E，BB1∩B1D1＝B1，所以平面EMN∥平面BB1D1D，那么MN∥平面BB1D1D．]4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为(　　)A．1　　　B．1.5　　　C．2　　　D．3A　[平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1＝A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1＝BE，∴A1F∥BE，又A1E∥FB，∴四边形A1FBE为平行四边形，∴FB＝A1E＝3－1＝2，∴AF＝1．]5．(多选)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αCD　[对于选项A，若存在一条直线a, a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要不充分条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要不充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD．]二、填空题6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．平行四边形　[∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．]7．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________．5　[因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以点N是BC的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5．]8．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．425　[∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A'B'C'S△ABC＝A'B'AB2＝PA'PA2＝425．]三、解答题9．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM．[证明]　因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM．10．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C(　　)A．不共面B．当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动都共面D　[因为平面α∥平面β，所以线段AB的中点到平面α和平面β的距离相等，从而动点C构成的图形是到平面α和平面β的距离相等的一个平面．根据平行平面的性质，不论A，B如何运动，动点C均在过点C且与平面α，β都平行的平面上．故选D．]11．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为(　　)A．2　　　B．4　　　C．92　　　D．5C　[如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求MN＝2，CD1＝22，MD1＝NC＝5，所以此截面的面积S＝12×(2＋22)×52-22-222＝92．]12．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有(　　)A．AG∥CDB．DE∥平面ABFGC．平面BDE∥平面AFHD．BE∥平面DGCBC　[还原为原正方体如图所示，由图可知，AG与CD异面，故A错误；因为DE∥AF，AF⊂平面ABFG，所以DE∥平面ABFG，故B正确；因为DE∥AF，AF⊂平面AFH，所以DE∥平面AFH，因为DB∥FH，FH⊂平面AFH，所以DB∥平面AFH，而DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面AFH，故C正确；因为BE∥AH，AH与平面DGC相交，所以BE与平面DGC相交，故D错误．故选BC．]13．已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34.若点S在平面α，β之间，则SC＝________．16　[如图所示，因为AB∩CD＝S，所以AB，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．因为α∥β，所以AC∥BD．于是SASB＝SCSD，即SAAB＝SCCD．所以SC＝SA·CDAB＝8×349+8＝16．]14．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD．[证明]　过点E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，如图，则B1EB1A＝B1GB1B．∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1，又B1C1∥BC，∴FG∥BC，又FG⊄平面ABCD, BC⊂平面ABCD，∴FG∥平面ABCD，又EG∥AB且EG⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EG∥平面ABCD，∵FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD．∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD．15．如图所示，矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，点M，N分别位于AE，DB上(点M异于点A，点N异于点D)，且AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．(1)求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF；(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行．”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立．[解]　(1)证明：在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G(图略)．∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，且AD＝AF，∴AD∥BE且AD＝BE，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE＝BD．又AM＝DN，∴MN∥AD．翻折之后，如图所示．∵MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，∴平面GNM∥平面ADF.又MN⊂平面GNM，∴MN∥平面ADF.∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF．(2)这个结论不对．要使上述结论成立，M，N应分别为AE，BD的中点．翻折后连接FB(图略)．在△BDF中，∵M，N分别为BF，BD的中点，∴MN∥FD．学习任务借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明．(直观想象、数学抽象、逻辑推理)文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言