新高考数学考前考点冲刺精练卷25《函数y＝Asin(ωx＋φ)》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
函数f(x)＝﹣2cs(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4))的振幅、初相分别是( )
A.﹣2，eq \f(π,4) B.﹣2，﹣eq \f(π,4) C.2，eq \f(π,4) D.2，﹣eq \f(π,4)
【答案解析】答案为：C
解析：振幅为2，当x＝0时，φ＝eq \f(π,4)，即初相为eq \f(π,4).
将函数f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,4))的图象，向右平移eq \f(π,4)个单位长度后得到函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝sin 2x B.g(x)＝sin(2x＋eq \f(3π,4))
C.g(x)＝sin(2x﹣eq \f(π,4)) D.g(x)＝sin(2x＋eq \f(π,4))
【答案解析】答案为：C
解析：向右平移eq \f(π,4)个单位长度后得，g(x)＝sin(2x﹣eq \f(π,4)).
若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的最小正周期为π，且其图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后所得图象对应的函数g(x)为偶函数，则f(x)的图象( )
A.关于直线x＝eq \f(π,3)对称 B.关于点(eq \f(π,6)，0)对称
C.关于直线x＝﹣eq \f(π,6)对称 D.关于点(eq \f(5π,12)，0)对称
【答案解析】答案为：D
解析：依题意可得ω＝eq \f(2π,π)＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，所以f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,3)＋φ)，又函数g(x)为偶函数，所以eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得φ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，又|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,6)，所以f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))，由2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以f(x)图象的对称轴为x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，排除A，C，由2x＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，得x＝﹣eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，则f(x)图象的对称中心为(﹣eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，0)，k∈Z，排除B，当k＝1时，﹣eq \f(π,12)＋eq \f(π,2)＝eq \f(5π,12)，故D正确.
设函数f(x)＝cs(ωx＋eq \f(π,6))在[﹣π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝cs(﹣eq \f(3,2)x＋eq \f(π,6)) B.f(x)＝cs(eq \f(3,2)x＋eq \f(π,6))
C.f(x)＝cs(eq \f(3,4)x﹣eq \f(π,6)) D.f(x)＝cs(eq \f(3,4)x＋eq \f(π,6))
【答案解析】答案为：B
解析：由图象知π＜T＜2π，即π＜eq \f(2π,|ω|)＜2π，所以1＜|ω|＜2.因为图象过点(﹣eq \f(4π,9)，0)，所以cs(﹣eq \f(4π,9)ω＋eq \f(π,6))＝0，所以﹣eq \f(4π,9)ω＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以ω＝﹣eq \f(9,4)k﹣eq \f(3,4)，k∈Z.因为1＜|ω|＜2，故k＝﹣1，得ω＝eq \f(3,2)，所以f(x)＝cs(eq \f(3,2)x＋eq \f(π,6)).
把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq \f(π,4)个单位长度，得到函数g(x)的图象，已知函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则f(x)等于( )
A.sin(4x＋eq \f(π,3)) B.sin(4x＋eq \f(π,6)) C.sin(x＋eq \f(π,6)) D.sin(x＋eq \f(π,3))
【答案解析】答案为：D
解析：先根据函数图象求函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，由振幅可得A＝1，显然eq \f(T,4)＝eq \f(π,3)﹣eq \f(π,12)＝eq \f(π,4)，所以T＝π，所以eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，所以g(x)＝sin(2x＋φ)，再由g(eq \f(π,12))＝sin(eq \f(π,6)＋φ)＝0，由|φ|＜eq \f(π,2)可得φ＝﹣eq \f(π,6)，所以g(x)＝sin(2x﹣eq \f(π,6))，反向移动先向左平移eq \f(π,4)个单位长度可得sin[2(x＋eq \f(π,4))﹣eq \f(π,6)]＝sin(2x＋eq \f(π,3))，再将横坐标伸长到原来的2倍可得f(x)＝sin(x＋eq \f(π,3)).
已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )
A.[﹣eq \f(3π,2)＋3kπ，3kπ](k∈Z) B.[3kπ,3kπ＋eq \f(3π,2)](k∈Z)
C.[﹣eq \f(7π,4)＋3kπ，﹣eq \f(π,4)＋3kπ](k∈Z) D.[﹣eq \f(π,4)＋3kπ，eq \f(5π,4)＋3kπ](k∈Z)
【答案解析】答案为：C
解析：依题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋b＝1，,－A＋b＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝2，,b＝－1，))故f(x)＝2cs(ωx＋φ)﹣1，而f(eq \f(π,12))＝1，f(eq \f(π,3))＝﹣1，∴eq \f(T,4)＝eq \f(π,3)﹣eq \f(π,12)＝eq \f(π,4)，故T＝π＝eq \f(2π,ω)，则ω＝2；∴2cs(eq \f(π,6)＋φ)﹣1＝1，故eq \f(π,6)＋φ＝2kπ(k∈Z)，又|φ|＜eq \f(π,2)，故φ＝﹣eq \f(π,6)，∴f(x)＝2cs(2x﹣eq \f(π,6))﹣1；将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y＝2cs(eq \f(2,3)x﹣eq \f(π,6))﹣1，再向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到g(x)＝2cs(eq \f(2,3)x＋eq \f(π,3)﹣eq \f(π,6))﹣1＝2cs(2x＋eq \f(π,6))﹣1，令﹣π＋2kπ≤eq \f(2,3)x＋eq \f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，故﹣eq \f(7π,4)＋3kπ≤x≤﹣eq \f(π,4)＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间为[﹣eq \f(7π,4)＋3kπ，﹣eq \f(π,4)＋3kπ](k∈Z).
设ω＞0，将函数y＝sin(ωx＋eq \f(π,6))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【答案解析】答案为：D
解析：将函数y＝sin(ωx＋eq \f(π,6))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，所得图象与原图象重合，故eq \f(π,6)为函数y＝sin(ωx＋eq \f(π,6))的周期，即eq \f(2kπ,ω)＝eq \f(π,6)(k∈N*)，则ω＝12k(k∈N*)，故当k＝1时，ω取得最小值12.
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的最小正周期为π，将其图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后对应的函数为偶函数，则f(eq \f(π,6))等于( )
A.﹣eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.1 D.eq \f(1,2)
【答案解析】答案为：D
解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝eq \f(2π,π)＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后所得函数为y＝sin(2x＋eq \f(2π,3)＋φ)，因为y＝sin(2x＋eq \f(2π,3)＋φ)是偶函数，所以eq \f(2π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，所以φ＝﹣eq \f(π,6)＋kπ(k∈Z)，因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以k＝0，φ＝﹣eq \f(π,6)，所以f(x)＝sin(2x﹣eq \f(π,6))，所以f(eq \f(π,6))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2).
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示，将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x轴向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个单调递增区间为( )
A.[﹣eq \f(5π,3)，eq \f(π,3)] B.[eq \f(π,3)，eq \f(7π,3)] C.[eq \f(π,4)，eq \f(3π,8)] D.[eq \f(3π,8)，eq \f(π,2)]
【答案解析】答案为：A
解析：根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象，可得A＝1，
eq \f(1,2)·eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,3)﹣eq \f(π,6)，∴ω＝2.结合“五点法”作图可得2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6)，f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,6)).将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，可得y＝sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6))的图象.再把所得的图象沿x轴向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数g(x)＝sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＋eq \f(π,6))＝sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3))的图象.令2kπ﹣eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得4kπ﹣eq \f(5π,3)≤x≤4kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，可得函数g(x)的单调递增区间为[4kπ﹣eq \f(5π,3)，4kπ＋eq \f(π,3)]，k∈Z，
令k＝0，可得一个单调递增区间为[﹣eq \f(5π,3)，eq \f(π,3)].
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为( )
A.f(x)＝eq \f(1,2)sin 2πx＋1，S＝2 023 B.f(x)＝eq \f(1,2)sin 2πx＋1，S＝2 023eq \f(1,2)
C.f(x)＝eq \f(1,2)sin eq \f(π,2)x＋1，S＝2 024eq \f(1,2) D.f(x)＝eq \f(1,2)sin eq \f(π,2)x＋1，S＝2 024
【答案解析】答案为：D
解析：由图象知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋b＝\f(3,2)，,－A＋b＝\f(1,2)，))又T＝4，∴ω＝eq \f(π,2)，b＝1，A＝eq \f(1,2)，
∴f(x)＝eq \f(1,2)sin(eq \f(π,2)x＋φ)＋1.
由f(x)的图象过点(1，eq \f(3,2))得eq \f(1,2)sin(eq \f(π,2)＋φ)＋1＝eq \f(3,2)，∴cs φ＝1.
∴φ＝2kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0.∴f(x)＝eq \f(1,2)sineq \f(π,2)x＋1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝(eq \f(1,2)sin0＋1)＋(eq \f(1,2)sineq \f(π,2)＋1)＋(eq \f(1,2)sinπ＋1)＋(eq \f(1,2)sineq \f(3π,2)＋1)＝4.
又2 024＝4×506，∴S＝4×506＝2 024.
二、多选题
(多选)已知函数f(x)＝sin(x＋eq \f(π,3)).下列结论正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(eq \f(π,2))是f(x)的最大值
C.把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移eq \f(π,3)个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象
D.把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)＝sin(3x＋eq \f(π,3))的图象
【答案解析】答案为：AC
解析：T＝eq \f(2π,1)＝2π，故A正确.
当x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即x＝eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，故B错误.
y＝sin x的图象eq \(―――――――――――――――――――――――――――――→,\s\up10(向左平移\f(π,3)个单位长度))y＝sin(x＋eq \f(π,3))的图象，故C正确.
f(x)＝sin(x＋eq \f(π,3))图象上所有点的eq \(――――――――――――――――――――――――――――――――――→,\s\up11(横坐标伸长到原来的3倍),\s\d4(纵坐标不变))g(x)＝sin(eq \f(1,3)x＋eq \f(π,3))的图象，故D错误.
(多选)已知函数f(x)＝cs 2xcs φ﹣sin 2xsin φ(0＜φ＜eq \f(π,2))的图象的一个对称中心为(eq \f(π,6)，0)，则下列说法正确的是( )
A.直线x＝eq \f(5,12)π是函数f(x)的图象的一条对称轴
B.函数f(x)在[0，eq \f(π,6)]上单调递减
C.函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度可得到y＝cs 2x的图象
D.函数f(x)在[0，eq \f(π,2)]上的最小值为﹣1
【答案解析】答案为：ABD
解析：∵f(x)＝cs 2xcs φ﹣sin 2xsin φ＝cs(2x＋φ)的图象的一个对称中心为(eq \f(π,6)，0)，∴2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴φ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z.
∵0＜φ＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).则f(x)＝cs(2x＋eq \f(π,6)).∵f(eq \f(5π,12))＝cs π＝﹣1，
∴直线x＝eq \f(5,12)π是函数f(x)的图象的一条对称轴，故A正确；
当x∈[0，eq \f(π,6)]时，2x＋eq \f(π,6)∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,2)]，∴函数f(x)在[0，eq \f(π,6)]上单调递减，故B正确；
函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝cs(2x﹣eq \f(π,6))的图象，故C错误；
当x∈[0，eq \f(π,2)]时，2x＋eq \f(π,6)∈[eq \f(π,6)，eq \f(7π,6)]，∴函数f(x)在[0，eq \f(π,2)]上的最小值为cs π＝﹣1，故D正确.
(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是( )
A.f(x)＝sin x＋cs x B.f(x)＝eq \r(2)(sin x＋cs x)
C.f(x)＝sin x D.f(x)＝eq \r(2)sin x＋eq \r(2)
【答案解析】答案为：AD
解析：f(x)＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))与f(x)＝eq \r(2)sin x＋eq \r(2)经过平移后能够重合.
(多选)关于函数f(x)＝2cs2x﹣cs(2x＋eq \f(π,2))﹣1的描述正确的是( )
A.其图象可由y＝eq \r(2)sin 2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度得到
B.f(x)在(0，eq \f(π,2))上单调递增
C.f(x)在[0，π]上有3个零点
D.f(x)在[﹣eq \f(π,2)，0]上的最小值为﹣eq \r(2)
【答案解析】答案为：AD
解析：f(x)＝2cs2x﹣cs(2x＋eq \f(π,2))﹣1＝sin 2x＋cs 2x＝eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))，
对于A，由y＝eq \r(2)sin 2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度，
得到y＝eq \r(2)sin[2(x＋eq \f(π,8))]＝eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))，故选项A正确；
对于B，令2kπ﹣eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得kπ﹣eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ﹣eq \f(3π,8)，kπ＋eq \f(π,8)]，k∈Z，
所以f(x)在(0，eq \f(π,8))上单调递增，在(eq \f(π,8)，eq \f(π,2))上单调递减，故选项B不正确；
对于C，令f(x)＝0，得2x＋eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,2)﹣eq \f(π,8)，k∈Z，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))，所以k＝1，x＝eq \f(3,8)π；k＝2，x＝eq \f(7,8)π，所以f(x)在[0，π]上有2个零点，故选项C不正确；
对于D，因为x∈[﹣eq \f(π,2),0]，所以2x＋eq \f(π,4)∈[﹣eq \f(3π,4)，eq \f(π,4)]，所以sin(2x＋eq \f(π,4))∈[﹣1，eq \f(\r(2),2)]，
所以f(x)∈[﹣eq \r(2)，1]，所以f(x)在[﹣eq \f(π,2),0]上的最小值为﹣eq \r(2)，故选项D正确.
三、填空题
将函数y＝3sin(2x＋eq \f(π,4))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________.
【答案解析】答案为：x＝﹣eq \f(5π,24).
解析：将函数y＝3sin(2x＋eq \f(π,4))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝3sin[(2(x﹣eq \f(π,6))＋eq \f(π,4))]＝3sin(2x﹣eq \f(π,12)).令2x﹣eq \f(π,12)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得对称轴的方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(7π,24)，k∈Z，分析知当k＝﹣1时，对称轴为直线x＝﹣eq \f(5π,24)，与y轴最近.
已知函数f(x)＝2cs (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(eq \f(π,2))＝______.
【答案解析】答案为：﹣eq \r(3)
解析：由题意可得，eq \f(3,4)T＝eq \f(13π,12)﹣eq \f(π,3)＝eq \f(3π,4)，∴T＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝2，当x＝eq \f(13π,12)时，ωx＋φ＝2×eq \f(13π,12)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ﹣eq \f(13,6)π(k∈Z).令k＝1可得φ＝﹣eq \f(π,6)，据此有f(x)＝2cs(2x﹣eq \f(π,6))，f(eq \f(π,2))＝2cseq \f(5π,6)＝﹣eq \r(3).
已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.
【答案解析】答案为：﹣eq \r(3).
解析：由题意得，A＝eq \r(3)，T＝4＝eq \f(2π,ω)，ω＝eq \f(π,2).又因为f(x)＝Acs(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，由0＜φ＜π，取k＝0，则φ＝eq \f(π,2)，所以f(x)＝eq \r(3)cs(eq \f(π,2)x＋eq \f(π,2))，所以f(1)＝﹣eq \r(3).
已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sin(2x＋eq \f(2π,3))，则为了得到曲线C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移______个单位长度.(本题所填数字要求为正数)
【答案解析】答案为：2,eq \f(π,6).
解析：∵曲线C1：y＝cs x＝sin(x＋eq \f(π,2))＝sin(2×eq \f(1,2)x＋eq \f(2π,3)﹣eq \f(π,6))，∴先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线y＝sin(2×eq \f(1,2)x＋eq \f(2π,3))向右至少平移eq \f(π,6)个单位长度.
已知关于x的方程2sin2x﹣eq \r(3)sin 2x＋m﹣1＝0在(eq \f(π,2)，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________.
【答案解析】答案为：(﹣2，﹣1)
解析：方程2sin2x﹣eq \r(3)sin 2x＋m﹣1＝0可转化为m＝1﹣2sin2x＋eq \r(3)sin 2x＝cs 2x＋eq \r(3)sin 2x＝2sin(2x＋eq \f(π,6))，x∈(eq \f(π,2)，π).设2x＋eq \f(π,6)＝t，则t∈(eq \f(7π,6)，eq \f(13π,6))，∴题目条件可转化为eq \f(m,2)＝sin t，t∈(eq \f(7π,6)，eq \f(13π,6))有两个不同的实数根.∴y＝eq \f(m,2)和y＝sin t，t∈(eq \f(7π,6)，eq \f(13π,6))的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，eq \f(m,2)的取值范围是(﹣1，﹣eq \f(1,2))，故m的取值范围是(﹣2，﹣1).
定义运算＝a1a4﹣a2a3，将函数f(x)＝(ω＞0)的图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值是________.
【答案解析】答案为：eq \f(1,2).
解析：f(x)＝eq \r(3)cs ωx﹣sin ωx＝﹣2sin(ωx﹣eq \f(π,3))，图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度得，g(x)＝﹣2sin(ωx＋eq \f(2πω,3)﹣eq \f(π,3))，g(x)为奇函数，则eq \f(2πω,3)﹣eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，解得ω＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)k，k∈Z，所以ω的最小值为eq \f(1,2).
四、解答题
已知向量m＝(sinx，﹣eq \f(1,2))，n＝(eq \r(3)cs x，cs 2x)，函数f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的最大值及最小正周期；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，eq \f(π,2)]上的值域.
【答案解析】解：(1) f(x)＝m·n＝eq \r(3)sin xcs x﹣eq \f(1,2)cs 2x ＝eq \f(\r(3),2)sin 2x﹣eq \f(1,2)cs 2x＝sin(2x﹣eq \f(π,6)).
所以函数的最大值为1，最小正周期为T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x﹣eq \f(π,6)).
将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得到y＝sin(2x＋eq \f(π,6))的图象.
因此g(x)＝sin(2x＋eq \f(π,6))，又x∈[0，eq \f(π,2)]，
所以2x＋eq \f(π,6)∈[eq \f(π,6)，eq \f(7π,6)]，sin(2x＋eq \f(π,6))∈[﹣eq \f(1,2)，1].
故g(x)在[0，eq \f(π,2)]上的值域为[﹣eq \f(1,2)，1].
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为eq \f(π,4)，且在x＝eq \f(π,3)处取到最小值﹣2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈[0，)上有两个不同的实根，求实数m的取值范围.
【答案解析】解：(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π，
由题知函数f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)＝eq \f(2π,ω)，解得ω＝4，
又函数f(x)在x＝eq \f(π,3)处取到最小值﹣2，则A＝2，且f(eq \f(π,3))＝﹣2，
即eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，令k＝0可得φ＝eq \f(π,6)，∴f(x)＝2sin(4x＋eq \f(π,6)).
(2)函数f(x)＝2sin(4x＋eq \f(π,6))图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝2sin(2x＋eq \f(π,6))，再向左平移eq \f(π,6)个单位长度可得g(x)＝2sin[2(x＋eq \f(π,6))+eq \f(π,6)]＝2cs 2x，
令﹣π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得﹣eq \f(π,2)＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为[﹣eq \f(π,2)＋kπ，kπ](k∈Z).
(3)∵方程g(x)＝m＋2在x∈[0，)上有两个不同的实根，
作出函数g(x)＝2cs 2x，x∈[0，)的图象，
由图可知﹣2＜m＋2≤eq \r(2)或m＋2＝2，解得﹣4＜m≤eq \r(2)﹣2或m＝0.
∴m的取值范围为﹣4＜m≤eq \r(2)﹣2或m＝0.