新高考数学考前考点冲刺精练卷28《平面向量的概念及线性运算》（2份，原卷版+教师版）

这是一份新高考数学考前考点冲刺精练卷28《平面向量的概念及线性运算》（2份，原卷版+教师版），文件包含新高考数学考前考点冲刺精练卷28《平面向量的概念及线性运算》教师版doc、新高考数学考前考点冲刺精练卷28《平面向量的概念及线性运算》教师版pdf、新高考数学考前考点冲刺精练卷28《平面向量的概念及线性运算》原卷版doc、新高考数学考前考点冲刺精练卷28《平面向量的概念及线性运算》原卷版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一、选择题
点G为△ABC的重心，设eq \(BG,\s\up6(→))＝a，eq \(GC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A.b﹣2a B.eq \f(3,2)a﹣eq \f(1,2)b C.eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b D.2a＋b
【答案解析】答案为：A
解析：如图所示，由题意可知eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(GC,\s\up6(→))，故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))﹣2eq \(BG,\s\up6(→))＝b﹣2a.
若a，b为非零向量，则“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共线”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：B
解析：eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)分别表示与a，b同方向的单位向量，eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，则有a，b共线，而a，b共线，则eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)是相等向量或相反向量，所以“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共线”的充分不必要条件.
设a＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是( )
A.a∥b B.a＋b＝a C.a＋b＝b D.|a＋b|＝|a|＋|b|
【答案解析】答案为：B
解析：由题意得，a＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，
所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确.
下列命题中正确的是( )
A.若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb
B.若a∥b，b∥c，则a∥c
C.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D.|a|﹣|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
【答案解析】答案为：D
解析：若a∥b，且b＝0，则可有无数个实数λ使得a＝λb，故A错误；
若a∥b，b∥c(b≠0)，则a∥c，若b＝0，则a，c不一定平行，故B错误；
若a·b＝0，也可以为a⊥b，故C错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a|﹣|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立，故D正确.
在平行四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))交于点O，E是线段OD的中点.若eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，则eq \(AE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
【答案解析】答案为：C
解析：如图所示，
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))﹣eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b﹣eq \f(1,4)b＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b.
下列说法正确的是( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
D.向量的模是一个正实数
【答案解析】答案为：A
解析：A项，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等，方向相反，正确；
B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C项，向量a与b平行时，若a或b为零向量，不满足条件，故错误；
D项，向量的模是一个非负实数，故错误.
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，则x等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
【答案解析】答案为：C
解析：连接AE(图略)，因为F为DE的中点，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))，而eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，又eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(1,2).
若a，b是两个不共线的向量，已知eq \(MN,\s\up6(→))＝a﹣2b，eq \(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq \(PQ,\s\up6(→))＝3a﹣b，若M，N，Q三点共线，则k等于( )
A.﹣1 B.1 C.eq \f(3,2) D.2
【答案解析】答案为：B
解析：由题意知，eq \(NQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))﹣eq \(PN,\s\up6(→))＝a﹣(k＋1)b，因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得eq \(MN,\s\up6(→))＝λeq \(NQ,\s\up6(→))，即a﹣2b＝λ[a﹣(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
已知P为△ABC所在平面内一点，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，则△ABC的面积为( )
A.eq \r(3) B.2eq \r(3) C.3eq \r(3) D.4eq \r(3)
【答案解析】答案为：B
解析：设BC的中点为D，AC的中点为M，连接PD，MD，BM，如图所示，
则有eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→)).由eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，得eq \(AB,\s\up6(→))＝﹣2eq \(PD,\s\up6(→))，又D为BC的中点，M为AC的中点，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝﹣2eq \(DM,\s\up6(→))，则eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \(DM,\s\up6(→))，则P，D，M三点共线且D为PM的中点，又D为BC的中点，所以四边形CPBM为平行四边形.又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，所以|eq \(MC,\s\up6(→))|＝|eq \(BP,\s\up6(→))|＝2，则|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4，且|eq \(BM,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，所以△AMB为等边三角形，∠BAC＝60°，则S△ABC＝eq \f(1,2)×2×4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3).
如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1，＋∞) C.(1，eq \r(2)] D.(﹣1,0)
【答案解析】答案为：B
解析：因为线段CO与线段AB交于点D，所以O，C，D三点共线，所以eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OD,\s\up6(→))共线，设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OD,\s\up6(→))，则m>1，因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，所以meq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，可得eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(λ,m)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(μ,m)eq \(OB,\s\up6(→))，因为A，B，D三点共线，所以eq \f(λ,m)＋eq \f(μ,m)＝1，可得λ＋μ＝m>1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞).
二、多选题
(多选)给出下列命题，不正确的有( )
A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B.若A，B，C，D是不共线的四点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为平行四边形
C.a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
【答案解析】答案为：ACD
解析：A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线.
(多选)下列命题正确的是( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.零向量的长度等于0
C.若a，b都为非零向量，则使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线
D.若a＝b，b＝c，则a＝c
【答案解析】答案为：BCD
解析：A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C项，因为eq \f(a,|a|)与eq \f(b,|b|)都是单位向量，所以只有当eq \f(a,|a|)与eq \f(b,|b|)是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；
D项，由向量相等的定义知D正确.
(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，F是AE的中点，则下列关系式正确的是( )
A.eq \(BC,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(BF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))﹣eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
【答案解析】答案为：ABD
解析：因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝﹣eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，所以选项A正确；
因为eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→)))，而eq \(BC,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，代入可得eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以选项B正确；
因为eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))﹣eq \(AB,\s\up6(→))，而eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，代入得eq \(BF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，所以选项C不正确；
因为eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))﹣eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))，而eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，代入得eq \(CF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))﹣eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以选项D正确.
(多选)点P是△ABC所在平面内一点，且满足|eq \(PB,\s\up6(→))﹣eq \(PC,\s\up6(→))|﹣|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))﹣2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，则△ABC不可能是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【答案解析】答案为：AD
解析：因为点P是△ABC所在平面内一点，且|eq \(PB,\s\up6(→))﹣eq \(PC,\s\up6(→))|﹣|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))﹣2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，所以|eq \(CB,\s\up6(→))|﹣|(eq \(PB,\s\up6(→))﹣eq \(PA,\s\up6(→)))＋(eq \(PC,\s\up6(→))﹣eq \(PA,\s\up6(→)))|＝0，即|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|，所以|eq \(AB,\s\up6(→))﹣eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|，等式两边平方并化简得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∠BAC＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形.
三、填空题
已知不共线向量a，b，eq \(AB,\s\up6(→))＝ta﹣b(t∈R)，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数t＝__________.
【答案解析】答案为：﹣eq \f(2,3).
解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(AC,\s\up6(→))，所以ta﹣b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，即(t﹣2k)a＝(3k＋1)b.因为a，b不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－2k＝0，,3k＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,3)，,t＝－\f(2,3).))
若正六边形ABCDEF的边长为2，中心为O，则|eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))|＝________.
【答案解析】答案为：2eq \r(3).
解析：正六边形ABCDEF中，eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))，在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，∴|eq \(EA,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋22－2×2×2×cs 120°)＝2eq \r(3)，即|eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
在平行四边形ABCD中，点M为BC边的中点，eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.
【答案解析】答案为：eq \f(5,3).
解析：eq \(AC,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)))＋μ(eq \(AD,\s\up6(→))﹣eq \(AB,\s\up6(→)))＝(λ﹣μ)eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \f(1,2)λ＋μ)eq \(AD,\s\up6(→))，又因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3).
在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋λeq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则λ＝________，AD的长为________.
【答案解析】答案为：eq \f(3,4),3eq \r(3).
解析：∵B，D，C三点共线，∴eq \f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq \f(3,4).如图，过D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，∴四边形AMDN是菱形，∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，∴AD＝3eq \r(3).
四、解答题
如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq \(AB,\s\up6(→))=a，eq \(AC,\s\up6(→))=b，试用a，b表示向量eq \(AO,\s\up6(→)).
【答案解析】解：由D，O，C三点共线，可设
eq \(DO,\s\up6(→))=k1eq \(DC,\s\up6(→))=k1(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))=k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)a))=－eq \f(1,2)k1a＋k1b(k1为实数)，
同理，可设eq \(BO,\s\up6(→))=k2eq \(BF,\s\up6(→))=k2(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))=k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－a))=－k2a＋eq \f(1,2)k2b(k2为实数)，①
又eq \(BO,\s\up6(→))=eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))=－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)k1a＋k1b))=－eq \f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，②
所以由①②，得－k2a＋eq \f(1,2)k2b=－eq \f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，
即eq \f(1,2)(1＋k1－2k2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)k2－k1))b=0.
又a，b不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)1＋k1－2k2＝0，,\f(1,2)k2－k1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＝\f(1,3)，,k2＝\f(2,3).))
所以eq \(BO,\s\up6(→))=－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)B.所以eq \(AO,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))=a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b))=eq \f(1,3)(a＋b).
如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq \(AE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→))，eq \(AB,\s\up15(→))=a，eq \(AC,\s\up15(→))=b.
(1)用a，b表示向量eq \(AD,\s\up15(→))，eq \(AE,\s\up15(→))，eq \(AF,\s\up15(→))，eq \(BE,\s\up15(→))，eq \(BF,\s\up15(→))；
(2)求证：B，E，F三点共线.
【答案解析】解：(1)延长AD到G，使eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up15(→))，
连接BG，CG，得到▱ABGC，如图，
所以eq \(AG,\s\up15(→))=eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))=a＋b，
eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up15(→))=eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(AE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,3)(a＋b)，eq \(AF,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up15(→))=eq \f(1,2)b，
eq \(BE,\s\up15(→))=eq \(AE,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→))=eq \f(1,3)(a＋b)－a=eq \f(1,3)(b－2a)，
eq \(BF,\s\up15(→))=eq \(AF,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→))=eq \f(1,2)b－a=eq \f(1,2)(b－2a).
(2)证明：由(1)可知eq \(BE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(BF,\s\up15(→))，
又因为eq \(BE,\s\up15(→))，eq \(BF,\s\up15(→))有公共点B，所以B，E，F三点共线.
设两个非零向量e1和e2不共线.
(1)如果eq \(AB,\s\up6(→))=e1－e2，eq \(BC,\s\up6(→))=3e1＋2e2，eq \(CD,\s\up6(→))=－8e1－2e2，
求证：A，C，D三点共线；
(2)如果eq \(AB,\s\up6(→))=e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))=2e1－3e2，eq \(CD,\s\up6(→))=2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值.
【答案解析】 (1)证明：∵eq \(AB,\s\up6(→))=e1－e2，eq \(BC,\s\up6(→))=3e1＋2e2，eq \(CD,\s\up6(→))=－8e1－2e2，
∴eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))=4e1＋e2=－eq \f(1,2)(－8e1－2e2)=－eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线.
又∵eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))有公共点C，∴A，C，D三点共线.
(2)eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))=(e1＋e2)＋(2e1－3e2)=3e1－2e2.
∵A，C，D三点共线，
∴eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，从而存在实数λ使得eq \(AC,\s\up6(→))=λeq \(CD,\s\up6(→))，
即3e1－2e2=λ(2e1－ke2)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ=eq \f(3,2)，k=eq \f(4,3).
设两向量a与b不共线.
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a﹣b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
【答案解析】 (1)证明：∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a﹣b).
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a﹣b)＝2a＋8b＋3a﹣3b＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.
(2)解：∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k﹣λ)a＝(λk﹣1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k﹣λ＝λk﹣1＝0，
∴k2﹣1＝0，
∴k＝±1.