新高考数学考前考点冲刺精练卷16《导数与函数的极值、最值》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
函数f(x)＝(x2﹣1)2＋2的极值点是( )
A.x＝1 B.x＝﹣1 C.x＝1或﹣1或0 D.x＝0
【答案解析】答案为：C.
解析：∵f(x)＝x4﹣2x2＋3，∴由f′(x)＝4x3﹣4x＝4x(x＋1)(x﹣1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝﹣1，又当x＜﹣1时，f′(x)＜0，当﹣1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，∴x＝0，1，﹣1都是f(x)的极值点.
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x﹣1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.函数f(x)有极大值f(﹣3)和f(3)
B.函数f(x)有极小值f(﹣3)和f(3)
C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(﹣3)
D.函数f(x)有极小值f(﹣3)和极大值f(3)
【答案解析】答案为：D.
解析：由题图知，当x∈(﹣∞，﹣3)时，y＞0，x﹣1＜0⇒f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(﹣3，1)时，y＜0，x﹣1＜0⇒f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(1，3)时，y＞0，x﹣1＞0⇒f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(3，＋∞)时，y＜0，x﹣1＞0⇒f′(x)＜0，f(x)单调递减.
所以函数有极小值f(﹣3)和极大值f(3).
函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于( )
A.﹣7 B.0 C.﹣7或0 D.﹣15或6
【答案解析】答案为：A
解析：由题意知，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f(x)在x＝1处取得极值10，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝3＋2a＋b＝0，,f1＝1＋a＋b＋a2＝10，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－11，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝3，))检验知，当a＝﹣3，b＝3时，
可得f′(x)＝3x2﹣6x＋3＝3(x﹣1)2≥0，此时函数f(x)单调递增，函数无极值点，不符合题意；
当a＝4，b＝﹣11时，可得f′(x)＝3x2＋8x﹣11＝(3x＋11)(x﹣1)，
当x＜﹣eq \f(11,3)或x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当﹣eq \f(11,3)＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x＝1时，函数f(x)取得极小值，符合题意.所以a＋b＝﹣7.
设函数f(x)＝xcs x的一个极值点为m，则tan(m+eq \f(π,4))等于( )
A.eq \f(m－1,m＋1) B.eq \f(m＋1,m－1) C.eq \f(1－m,m＋1) D.eq \f(m＋1,1－m)
【答案解析】答案为：B
解析：由f′(x)＝cs x﹣xsin x＝0，得tan x＝eq \f(1,x)，所以tan m＝eq \f(1,m)，
故tan(m+eq \f(π,4))＝eq \f(1＋tan m,1－tan m)＝eq \f(m＋1,m－1).
若函数f(x)＝eq \f(x2＋2x,ex)的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b等于( )
A.﹣4 B.eq \r(2) C.0 D.2
【答案解析】答案为：C
解析：f′(x)＝eq \f(2－x2,ex)，当﹣eq \r(2)＜x＜eq \r(2)时，f′(x)＞0；当x＜﹣eq \r(2)或x＞eq \r(2)时，f′(x)＜0.故f(x)＝eq \f(x2＋2x,ex)的极大值点与极小值点分别为eq \r(2)，﹣eq \r(2)，则a＝eq \r(2)，b＝﹣eq \r(2)，所以a＋b＝0.
已知函数f(x)＝2ln x＋ax2﹣3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( )
A.2 B.﹣eq \f(5,2) C.3＋ln 2 D.﹣2＋2ln 2
【答案解析】答案为：B
解析：由题意得，f′(x)＝eq \f(2,x)＋2ax﹣3，
∵f(x)在x＝2处取得极小值，∴f′(2)＝4a﹣2＝0，解得a＝eq \f(1,2)，
∴f(x)＝2ln x＋eq \f(1,2)x2﹣3x，f′(x)＝eq \f(2,x)＋x﹣3＝eq \f(x－1x－2,x)，
∴f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
∴f(x)的极大值为f(1)＝eq \f(1,2)﹣3＝﹣eq \f(5,2).
函数f(x)＝x＋2cs x在[0，π]上的最大值为( )
A.π﹣2 B.eq \f(π,6) C.2 D.eq \f(π,6)＋eq \r(3)
【答案解析】答案为：D
解析：由题意得，f′(x)＝1﹣2sin x，∴当0≤sin x≤eq \f(1,2)，即x在[0，eq \f(π,6)]和[eq \f(5π,6)，π]上时，
f′(x)≥0，f(x)单调递增；当eq \f(1,2)＜sin x≤1，即x在(eq \f(π,6)，eq \f(5π,6))上时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，∴f(x)有极大值f(eq \f(π,6))＝eq \f(π,6)＋eq \r(3)，有极小值f(eq \f(5π,6))＝eq \f(5π,6)﹣eq \r(3)，而端点值f(0)＝2，f(π)＝π﹣2，则f(eq \f(π,6))＞f(0)＞f(π)＞f(eq \f(5π,6))，∴f(x)在[0，π]上的最大值为eq \f(π,6)＋eq \r(3).
如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是( )
A.f(x)在[﹣2，﹣1]上单调递增
B.当x＝3时，f(x)取得最小值
C.当x＝﹣1时，f(x)取得极大值
D.f(x)在[﹣1，2]上单调递增，在[2，4]上单调递减
【答案解析】答案为：D
解析：根据题图知，当x∈(﹣2，﹣1)，x∈(2，4)时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；
当x∈(﹣1，2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增.
所以y＝f(x)在[﹣2，﹣1]上单调递减，在(﹣1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当x＝﹣1时，f(x)取得极小值，选项C不正确；当x＝3时，f(x)不是取得最小值，选项B不正确.
函数f(x)＝ax3﹣6ax2＋b在区间[﹣1，2]上的最大值为3，最小值为﹣29(a＞0)，则a，b的值为( )
A.a＝2，b＝﹣29 B.a＝3，b＝2 C.a＝2，b＝3 D.以上都不对
【答案解析】答案为：C
解析：函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2﹣12ax＝3ax(x﹣4)，因为a＞0，所以由f′(x)＜0，计算得出0＜x＜4，此时函数单调递减，由f′(x)＞0，计算得出x＞4或x＜0，此时函数单调递增，即函数在[﹣1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3﹣6ax2＋3，f(﹣1)＝﹣7a＋3，f(2)＝﹣16a＋3，则f(﹣1)＞f(2)，即函数的最小值为f(2)＝﹣16a＋3＝﹣29，计算得出a＝2，b＝3.
函数y＝(x﹣2)ex＋m在[0,2]上的最小值是2﹣e，则最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案解析】答案为：B
解析：y′＝ex＋(x﹣2)ex＝(x﹣1)ex，
因为x∈[0,2]，所以当x∈[0,1)时，y′0，
所以函数在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，
所以函数在x＝1处取得最小值，根据题意有﹣e＋m＝2﹣e，所以m＝2，
当x＝0时，y＝﹣2＋2＝0，当x＝2时，y＝0＋2＝2，
所以其最大值是2.
已知函数f(x)＝x3﹣(3a＋eq \f(3,2))x2＋6ax，若f(x)在(﹣1，＋∞)上既有极大值，又有最小值，且最小值为3a﹣eq \f(1,2)，则a的取值范围为( )
A.(﹣eq \f(1,6),eq \f(1,2)) B.(﹣eq \f(1,2),﹣eq \f(1,6)) C.(﹣eq \f(1,2),﹣eq \f(1,6)] D.(﹣eq \f(1,2),eq \f(1,2))
【答案解析】答案为：C
解析：因为f′(x)＝3x2﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6a＋3))x＋6a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－6a))(x﹣1)的零点为2a和1，
又f(1)＝3a﹣eq \f(1,2)，所以1是函数的极小值点也是最小值点，则2a是函数的极大值点，
所以﹣1