高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第4讲两条直线的位置关系(知识点串讲)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第4讲两条直线的位置关系(知识点串讲)特训（学生版+解析），共7页。试卷主要包含了两条直线平行与垂直的判定，两直线垂直的充要条件，两条直线的交点的求法，三种距离，直线系方程等内容，欢迎下载使用。

1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．
2．两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2≠A2C1.重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2＝A2C．
3．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0．
例1．(P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝____________．
练习．(2019·山东滨州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2B．－3
C．2或－3D．－2或－3
4．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
例2．(2019·山东济宁月考)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____________．
练习．当0A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．三种距离
例3．(2019·山东蒙阴月考)已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为eq \r(5)，则直线l1的方程为________________．
[变式探究] 将题2改为“已知直线l过点P(3，－4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________.”
练习. (P110 B组T2改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A．eq \r(2) B．2－eq \r(2)
C．eq \r(2)－1D．eq \r(2)＋1
6．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
例4．求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为____________________.
7.对称问题
在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
例5. (2019·福建厦门月考)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．
练习. (2019·山东德州月考)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0
练习. (2019·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2, 4)B．(－2，－4)
C．(2, 4)D．(2，－4)
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|
d＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
第四讲 两条直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．
2．两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2≠A2C1.重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2＝A2C．
3．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0．
例1．(P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝____________．
【答案】1 [由题意知eq \f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.]
练习．(2019·山东滨州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2B．－3
C．2或－3D．－2或－3
【答案】C [直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)，故m＝2或－3. ]
4．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
例2．(2019·山东济宁月考)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____________．
【答案】－9 [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x,x＋y＝3))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2))，即交点坐标为(1,2)．又三线共点，∴m＋2×2＋5＝0，m＝－9.]
练习．当0A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1).))
又∵00，
故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．]
5．三种距离
例3．(2019·山东蒙阴月考)已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为eq \r(5)，则直线l1的方程为________________．
【答案】2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0 [∵l1∥l2，∴eq \f(m,2)＝eq \f(8,m)≠eq \f(n,－1)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n≠2.))
(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
∴eq \f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq \r(5)，解得n＝－22或18．
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0．
(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
l2的方程为4x－8y－2＝0，
∴eq \f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq \r(5)，解得n＝－18或22．
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.]
[变式探究] 将题2改为“已知直线l过点P(3，－4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________.”
【答案】2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0 [显然直线l斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得eq \f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq \f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，
∴k＝2或k＝－eq \f(2,3)．
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.]
练习. (P110 B组T2改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A．eq \r(2) B．2－eq \r(2)
C．eq \r(2)－1D．eq \r(2)＋1
【答案】C [由题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1. 解得a＝－1＋eq \r(2)或a＝－1－eq \r(2).∵a>0，∴a＝－1＋eq \r(2).]
6．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
例4．求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为____________________.
【答案】x＋2y－7＝0 [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))
∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．
设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7．
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.]
7.对称问题
在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
例5. (2019·福建厦门月考)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．
【答案】x＋4y－4＝0 [设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.]
练习. (2019·山东德州月考)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0
A [设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.]
练习. (2019·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2, 4)B．(－2，－4)
C．(2, 4)D．(2，－4)
C [设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))
∴BC所在直线方程为y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2,4)．]P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|
d＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))