人教A版 (2019)2.2 基本不等式综合训练题

这是一份人教A版 (2019)2.2 基本不等式综合训练题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

养成好习惯：
一、单选题
1．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．若，且，则的最小值是( )
A．4B．C．5D．
4．已知，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为6
C．的最小值为D．的最小值为7
5．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（ ）
A．20mB．50mC．mD．100m
6．已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
7．已知为正实数，以下不等式成立的有（ ）
①； ②； ③； ④
A．②④B．②③C．②③④D．①④
二、多选题
8．若，，且，则的可能取值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
10．下列结论中正确的是（ ）
A．当时，的最小值是2
B．当时，
C．当时，的最大值是1
D．若，则的最小值为
三、填空题
11．已知一次函数图象与轴、轴分别交于点、，点在线段上，轴于点，轴于点，则矩形面积的最大值是 ；
12．已知正数满足，则的最小值为 ．
13．已知，且，则的最小值为 .
14．（1）已知，则的最小值为 ;
（2）已知，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知、、，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）．
16．国内某博物馆正式开幕．为方便顾客，在休息区的矩形区域内布置了如图所示的休闲区域（阴影部分），已知下方是两个相同的矩形．在休闲区域四周各留下1m宽的小路，若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为1：2．问如何设计休息区域，可使总休闲区域面积最大?
17．（1）若x>2，求函数y＝的最大值．
（2）设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：x＋y＋≥2，并指出取得等号的条件．
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P44-48
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
基本不等式a+b2≥ab前提：a>0, b>0；
请将1-10题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
2.2基本不等式
1．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
1．D
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】由，为正实数，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：D.
2．若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．D
【分析】利用基本不等式和“1”的巧用进行求解.
【详解】因为，
所以，
（当且仅当且，即时取等号）,
即的最小值为4.
故选：D.
3．若，且，则的最小值是
A．4B．C．5D．
3．C
【解析】由条件可得，可得，展开后，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值.
【详解】正数，满足，即为，
可得
，
当且仅当，可得最小值为5.
故选：C
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．已知，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为6
C．的最小值为D．的最小值为7
4．D
【解析】利用公式，将等式转化为不等式，求的范围；由条件转化为，代入后，利用基本不等式求最小值.
【详解】，，，，
，即，设，即，解得：或（舍），即，，所以的最小值是，无最大值，故AB不正确；

，当时，即时等号成立，所以的最小值是7，故D正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的等条件.
5．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（ ）
A．20mB．50mC．mD．100m
5．B
【分析】设，则，则，展开后再利用基本不等式，即可得出答案.
【详解】设，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当BC的长度为50m时，整个项目占地面积最小．
故选：B．
6．已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
6．C
【解析】由得，利用基本不等式求出的最小值，再将不等式恒成立转化为最值，解不等式可得结果.
【详解】由得，所以，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以恒成立，可化为，即，
解得.
故选：C
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
7．已知为正实数，以下不等式成立的有（ ）
①；②；③；④
A．②④B．②③C．②③④D．①④
7．C
【分析】对于①③做差因式分解与零比大小；对于②基本不等式验证；对于④数形结合验证.
【详解】，只有时①成立；
（当且仅当时等号成立），②恒成立；
，当且仅当，时等号成立.
故在a，b均为正实数时恒成立，③恒成立；
令，则可以看成当时，函数的函数值恒大于
由函数图象可知④恒成立.
故选:C.
8．若，，且，则的可能取值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．CD
【分析】将展开利用基本不等式求得最小值，再结合选项即可得正确选项.
【详解】,
当且仅当即时等号成立，所以，
由选项可知的可能取值为，不可能为，
故选：CD.
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
9．ACD
【分析】根据基本不等式 “一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.
【详解】易知C正确；
对A，因为，所以，则，当且仅当时取“=”，正确；
对B，若，则，错误；
对D，因为，，所以，则，当且仅当时取“=”，正确.
故选：ACD.
10．下列结论中正确的是（ ）
A．当时，的最小值是2
B．当时，
C．当时，的最大值是1
D．若，则的最小值为
10．BC
【解析】逐个判断各个选项的正误，在解答过程中注意等号成立的条件和符号．
【详解】解：对于A， ，当且仅当时等号成立，所以当时，，故A错误；
对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，当时，，由，所以，当且仅当等号成立，
所以，即的最大值是1，当且仅当等号成立，故C正确；
对于D，因为a为变量，所以不是定值，实际上，故D错误，
故选BC
【点睛】本题考查基本不等式的应用，使用基本不等式的前提条件的判断是本题的易错点.
11．已知一次函数图象与轴、轴分别交于点、，点在线段上，轴于点，轴于点，则矩形面积的最大值是 ；
11．
【分析】设出P点坐标，P点在直线上即和为定值，积有最大值．
【详解】设点，由题意，且，即，
则矩形面积，当即时，取“=”．
【点睛】和为定值，积有最大值．注意：“一正二定三相等”缺一不可．
12．已知正数满足，则的最小值为 ．
12．4
【分析】用基本不等式来解决.
【详解】因为，所议，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为4.
故答案为：4．
13．已知，且，则的最小值为 .
13．.
【解析】由，得到，化简得，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，且，则，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．（1）已知，则的最小值为 ;
（2）已知，则的最大值为 .
14．（1）（2）
【分析】（1）先构造出乘积的定值，再用基本不等式求和的最小值；
（2）先构造出和的定值，再用基本不等式求积的最大值.
【详解】（1）时，，根据基本不等式可得：，当，即时取得等号，故时，最小值是；
（2），故，根据基本不等式可得：，当，即时取得等号，故时，的最大值是
15．已知、、，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）．
15．（1）详见解析；
（2）详见解析；
（3）.
【分析】（1）对不等式分别使用基本不等式即可证明出；
（2）对不等式分别使用基本不等式即可证明出
；
（3）根据（1）（2）不等式的结构特征直接写出一般推广结论.
【详解】（1）（当且仅当=1时取等号）；
（2）（当且仅当时取等号）；
（3）推广：已知，，…，则（当且仅当时取等号）；
【点睛】本题考查了基本不等式的应用与推广，考查了类比推理的能力.
16．国内某博物馆正式开幕．为方便顾客，在休息区的矩形区域内布置了如图所示的休闲区域（阴影部分），已知下方是两个相同的矩形．在休闲区域四周各留下1m宽的小路，若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为1：2．问如何设计休息区域，可使总休闲区域面积最大?
16．休息区域高度为15，宽度是时，休闲区域面积最大．
【分析】如下图，设，则，由表示出总休闲区域面积，由基本不等式得最大值．
【详解】如下图，设（单位是，以下均省略），则，
由题意，，
，，
则休闲区面积为．当且仅当，即时等号成立．
所以休息区域高度为15，宽度是时，休闲区域面积最大．
17．（1）若x>2，求函数y＝的最大值．
（2）设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：x＋y＋≥2，并指出取得等号的条件．
17．(1) (2)证明见解析，成立的条件
【分析】(1)将分母化简为含有分子的表达式,再上下同时除以,再对分母利用基本不等式求解即可.
(2)由可得,再代入中,利用基本不等式证明即可.
【详解】解：（1）∵x>2,∴x－2>0,
∴y＝＝＝,
根据基本不等式得(x－2)＋≥2＝2 ,∴≤＝,
当且仅当x－2＝,即x＝2＋时取得等号,
故y＝ (x>2)的最大值为.
（2）∵xyz＝1,∴z＝
∵x,y,z均为正实数,∴x＋y＋＝x＋y＋＝＋y
≥2＋y＝＋y≥2＝2
取得等号的条件是即
【点睛】本题主要考查了基本不等式的综合运用,需要熟悉“一正二定三相等”的方法,属于中等题型
评卷人
得分
二、多选题
.