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人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式综合训练题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式综合训练题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
养成好习惯：
一、单选题
1．设，均为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．25
C．11D．
2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．1
3．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．6D．8
4．如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物.墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直，矩形木板的两边长分别为（米），则围成的空间体积最大值为（立方米）
A．B．C．D．
5．已知两个正实数x，y满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．6D．9
6．已知两正数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．8
7．已知实数，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．10
C．D．16
二、多选题
8．下列函数最小值为2的是（ ）
A．B．C．D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，则的最小值为5
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最小值为
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．当，不等式的最小值为 .
12．若，对于任意正数x、y恒成立，则实数k的最小值是
13．已知，，则的最大值是 ．
14．已知，，且，则xy的最大值是 ．
四、解答题
15．（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值．
16．已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
17．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P44-48
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
基本不等式a+b2≥ab前提：a>0, b>0；
请将1-10题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
2.2基本不等式
1．设，均为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．25
C．11D．
1．C
【分析】由可得，再利用基本不等式可求解.
【详解】，则，，
，
因为，，所以，即，
当且仅当，时取等.
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．1
2．C
【分析】由，再由基本不等式即可求出答案.
【详解】因为，则
则，
当且仅当即时等号成立.
所以的最小值为.
故选:C．
3．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．6D．8
3．A
【分析】根据正数满足，利用“1”的代换，将转化为，利用基本不等式求解.
【详解】因为正数满足，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为9
故选：A
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
4．如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物.墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直，矩形木板的两边长分别为（米），则围成的空间体积最大值为（立方米）
A．B．C．D．
4．B
【解析】设米,米,所围成的直三棱柱空间的体积为立方米,
由体积公式可得,或,结合重要不等式,可得的最大值,进而得到体积的最大值.
【详解】设米,米,所围成的直三棱柱空间的体积为立方米,
当时,,由题意可知,因为,所以,当且仅当,不等式取等号,所以;
当时,,由题意可知,因为,所以,当且仅当,不等式取等号,所以.
故选:B.
【点睛】本题考查重要不等式在最值问题中的应用,难度一般.
5．已知两个正实数x，y满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．6D．9
5．B
【分析】由题意得，再利用基本不等式求解即可
【详解】因为正实数x，y满足，则，
当且仅当时，等号成立.
故选：B
6．已知两正数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．8
6．C
【分析】利用基本不等式可求得，将化为，根据对勾函数单调性可确定最小值.
【详解】，，，，
，
当时，单调递减，.
故选：.
【点睛】本题考查利用基本不等式、对勾函数单调性求解最值的问题，关键是能够配凑出符合对勾函数的形式，易错点是在利用对勾函数单调性求解最值时，忽略自变量的取值范围.
7．已知实数，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．10
C．D．16
7．A
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出
【详解】因为，，且，
所以，即，
则，
，
，
，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值8．
故选：A．
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．
8．下列函数最小值为2的是（ ）
A．B．C．D．
8．BC
【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项：∵，
当时，，
当且仅当时等号成立，
当时，，
当且仅当时等号成立，
∴取值范围为，A错误；
B选项：∵
，
由，
当且仅当时等号成立，
∴最小值为2，B正确；
C选项：∵，
由，
当且仅当时等号成立，
∴最小值为2，C正确；
D选项：∵，
，当且仅当时等号成立，
∴（时等号成立），
最大值为2，D错误.
故选：BC
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，则的最小值为5
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最小值为
9．BD
【解析】A.由，利用对勾函数的性质求解.
B.根据，利用基本不等式，可判断.
C. 由，转化为，利用一元二次不等式的解法求解.
D. 利用“1”的代换，转化为，再利用基本不等式求解.
【详解】A.，，令，，由对勾函数的性质得，故A错误；
B.因为，所以，当且仅当时，即，时，取等号，故B正确；
C. 因为，，所以，即，
解得，所以，故C错误；
D. 因为，，所以，当且仅当，
即时，取等号，故D正确；
故选：BD
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．BD
【分析】根据题意得到，，求得，得到，可判定A错误；由，分和，两种情况得到，判定B正确；
利用基本不等式，可判定C错误，由，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】由，可得，，
由于，所以，所以，
因此且，所以A错误；
由，当时，，
由于，当且仅当时，等号成立，所以；
当时，，所以，所以B正确；
由，
当且仅当，即，时取等号，故，
所以C错误，
由，当且仅当取等号，所以D正确.
故选：BD．
11．当，不等式的最小值为 .
11．6
【分析】由题意可得，将所给的代数式整理变形为关系的形式然后利用均值不等式即可求得其最小值.
【详解】因为，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值是6.
【点睛】本题主要考查均值不等式求最值的方法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．若，对于任意正数x、y恒成立，则实数k的最小值是
12．
【分析】由条件可知,对于任意正数x、y恒成立,只需,利用基本不等式求出的最大值即可.
【详解】解:因为,,所以,
所以,所以.
若,对于任意正数x、y恒成立,
则,所以,
所以的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题,考查了转化思想,属中档题.
13．已知，，则的最大值是 ．
13．8
【分析】将，化为，代入中利用基本不等式可得解．
【详解】解：，，，，
，
当且仅当，即，时取等号，
所以有最大值为：．
故答案为：．
14．已知，，且，则xy的最大值是 ．
14．1
【分析】根据，，有，将，转化为，再利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】因为，，所以，
又因为，
所以，
即 ，
解得
即 ，
当且仅当 时，取等号，
所以xy的最大值是1
故答案为：1
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值．
15．（1）；（2）9
【分析】（1），，变换原式等于，利用均值不等式计算即可.
（2）确定，变换原式等于，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1），，
，
当且仅当，即时取等号，故的最大值为
（2），，
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为
16．已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)利用基本不等式分别对、、求出和的最小值，进而相加即可；
(2)将不等式的左边化为，利用基本不等式对ab求出积的最大值即可.
(1)
∵a，b，c均为正实数，
∴，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
三式相加得，当且仅当时，等号成立，
∴.
(2)
.
∵，，，
∴（当且仅当时，等号成立），即.
所以，即证.
17．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
17．(1)，从第年起开始盈利
(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析
【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；
（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.
【详解】（1）由题意可知，
令，得，解得，
所以从第年起开始盈利；
（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，
当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，
此时该项目共获利（万元）．
若选择方案②，纯利润，
所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．
以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．
养成好习惯：
一、单选题
1．设，均为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．25
C．11D．
2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．1
3．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．6D．8
4．如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物.墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直，矩形木板的两边长分别为（米），则围成的空间体积最大值为（立方米）
A．B．C．D．
5．已知两个正实数x，y满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．6D．9
6．已知两正数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．8
7．已知实数，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．10
C．D．16
二、多选题
8．下列函数最小值为2的是（ ）
A．B．C．D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，则的最小值为5
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最小值为
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．当，不等式的最小值为 .
12．若，对于任意正数x、y恒成立，则实数k的最小值是
13．已知，，则的最大值是 ．
14．已知，，且，则xy的最大值是 ．
四、解答题
15．（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值．
16．已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
17．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P44-48
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
基本不等式a+b2≥ab前提：a>0, b>0；
请将1-10题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
2.2基本不等式
1．设，均为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．25
C．11D．
1．C
【分析】由可得，再利用基本不等式可求解.
【详解】，则，，
，
因为，，所以，即，
当且仅当，时取等.
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．1
2．C
【分析】由，再由基本不等式即可求出答案.
【详解】因为，则
则，
当且仅当即时等号成立.
所以的最小值为.
故选:C．
3．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．6D．8
3．A
【分析】根据正数满足，利用“1”的代换，将转化为，利用基本不等式求解.
【详解】因为正数满足，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为9
故选：A
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
4．如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物.墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直，矩形木板的两边长分别为（米），则围成的空间体积最大值为（立方米）
A．B．C．D．
4．B
【解析】设米,米,所围成的直三棱柱空间的体积为立方米,
由体积公式可得,或,结合重要不等式,可得的最大值,进而得到体积的最大值.
【详解】设米,米,所围成的直三棱柱空间的体积为立方米,
当时,,由题意可知,因为,所以,当且仅当,不等式取等号,所以;
当时,,由题意可知,因为,所以,当且仅当,不等式取等号,所以.
故选:B.
【点睛】本题考查重要不等式在最值问题中的应用,难度一般.
5．已知两个正实数x，y满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．6D．9
5．B
【分析】由题意得，再利用基本不等式求解即可
【详解】因为正实数x，y满足，则，
当且仅当时，等号成立.
故选：B
6．已知两正数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．8
6．C
【分析】利用基本不等式可求得，将化为，根据对勾函数单调性可确定最小值.
【详解】，，，，
，
当时，单调递减，.
故选：.
【点睛】本题考查利用基本不等式、对勾函数单调性求解最值的问题，关键是能够配凑出符合对勾函数的形式，易错点是在利用对勾函数单调性求解最值时，忽略自变量的取值范围.
7．已知实数，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．10
C．D．16
7．A
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出
【详解】因为，，且，
所以，即，
则，
，
，
，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值8．
故选：A．
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．
8．下列函数最小值为2的是（ ）
A．B．C．D．
8．BC
【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项：∵，
当时，，
当且仅当时等号成立，
当时，，
当且仅当时等号成立，
∴取值范围为，A错误；
B选项：∵
，
由，
当且仅当时等号成立，
∴最小值为2，B正确；
C选项：∵，
由，
当且仅当时等号成立，
∴最小值为2，C正确；
D选项：∵，
，当且仅当时等号成立，
∴（时等号成立），
最大值为2，D错误.
故选：BC
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，则的最小值为5
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最小值为
9．BD
【解析】A.由，利用对勾函数的性质求解.
B.根据，利用基本不等式，可判断.
C. 由，转化为，利用一元二次不等式的解法求解.
D. 利用“1”的代换，转化为，再利用基本不等式求解.
【详解】A.，，令，，由对勾函数的性质得，故A错误；
B.因为，所以，当且仅当时，即，时，取等号，故B正确；
C. 因为，，所以，即，
解得，所以，故C错误；
D. 因为，，所以，当且仅当，
即时，取等号，故D正确；
故选：BD
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．BD
【分析】根据题意得到，，求得，得到，可判定A错误；由，分和，两种情况得到，判定B正确；
利用基本不等式，可判定C错误，由，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】由，可得，，
由于，所以，所以，
因此且，所以A错误；
由，当时，，
由于，当且仅当时，等号成立，所以；
当时，，所以，所以B正确；
由，
当且仅当，即，时取等号，故，
所以C错误，
由，当且仅当取等号，所以D正确.
故选：BD．
11．当，不等式的最小值为 .
11．6
【分析】由题意可得，将所给的代数式整理变形为关系的形式然后利用均值不等式即可求得其最小值.
【详解】因为，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值是6.
【点睛】本题主要考查均值不等式求最值的方法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．若，对于任意正数x、y恒成立，则实数k的最小值是
12．
【分析】由条件可知,对于任意正数x、y恒成立,只需,利用基本不等式求出的最大值即可.
【详解】解:因为,,所以,
所以,所以.
若,对于任意正数x、y恒成立,
则,所以,
所以的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题,考查了转化思想,属中档题.
13．已知，，则的最大值是 ．
13．8
【分析】将，化为，代入中利用基本不等式可得解．
【详解】解：，，，，
，
当且仅当，即，时取等号，
所以有最大值为：．
故答案为：．
14．已知，，且，则xy的最大值是 ．
14．1
【分析】根据，，有，将，转化为，再利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】因为，，所以，
又因为，
所以，
即 ，
解得
即 ，
当且仅当 时，取等号，
所以xy的最大值是1
故答案为：1
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值．
15．（1）；（2）9
【分析】（1），，变换原式等于，利用均值不等式计算即可.
（2）确定，变换原式等于，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1），，
，
当且仅当，即时取等号，故的最大值为
（2），，
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为
16．已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)利用基本不等式分别对、、求出和的最小值，进而相加即可；
(2)将不等式的左边化为，利用基本不等式对ab求出积的最大值即可.
(1)
∵a，b，c均为正实数，
∴，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
三式相加得，当且仅当时，等号成立，
∴.
(2)
.
∵，，，
∴（当且仅当时，等号成立），即.
所以，即证.
17．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
17．(1)，从第年起开始盈利
(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析
【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；
（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.
【详解】（1）由题意可知，
令，得，解得，
所以从第年起开始盈利；
（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，
当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，
此时该项目共获利（万元）．
若选择方案②，纯利润，
所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．
以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．
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