高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图同步测试题

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1．空间几何体的直观图
(1)直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全
在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法及其步骤
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其
步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'
轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度
为原来的一半.
(3)旋转体及其相关概念
斜二测画法画空间几何体的直观图的规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有
以下规则.
①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原
来的一半.
③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
(1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积
.
(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为，由斜二测画法得到的直观图的面积为，则有=.
【题型1 斜二测画法】
【方法点拨】
根据斜二测画法画直观图的规则和步骤，进行求解即可.
【例1】（2023·高一课时练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022秋·陕西渭南·高一期末）如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=32，那么△ABC是一个（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定
【变式1-2】（2022春·山西吕梁·高一期中）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（ ）
A．6B．46C．42D．210
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中O'C'=O'A'=2O'B'，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【题型2 画平面图形的直观图】
【方法点拨】
画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上
或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点
一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.
【例2】（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3cm，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.
【变式2-1】（2023·高一课时练习）用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)
【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：
(1)边长为3cm的正三角形；
(2)边长为4cm的正方形；
(3)边长为2cm的正八边形．
【题型3 画空间几何体的直观图】
【方法点拨】
(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球) 的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确
地画出.
(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致.
【例3】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体ABCD−A'B'C'D'的直观图．
【变式3-1】（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知直三棱柱ABC−A1B1C1，的底面是等腰直角三角形，且AB=AC=4，侧棱AA1=5．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）
【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
【题型4 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】
【方法点拨】
根据斜二测画法中平面图形的面积与其直观图的面积的关系，结合具体条件，进行转化求解即可.
【例4】（2022秋·四川内江·高二期中）如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6cm，C'D'=2cm，则原图形OABC的面积是（ ）
A．242B．122C．12D．24
【变式4-1】（2022秋·四川·高二期中）如图，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'=2，则这个平面图形的面积是（ ）
A．1B．2C．22D．42
【变式4-2】（2022秋·安徽六安·高三阶段练习）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A．2B．42C．8D．82
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，则原图形是（ ）
A．面积为62的矩形B．面积为324的矩形
C．面积为62的菱形D．面积为324的菱形