人教版数学八年级上册 第十四章 整式的乘除与因式分解章节复习（复习课件）

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章节复习第十四章 整式的乘除与因式分解知识结构知 识 点本章考点考点专练学习目标1.梳理本章的知识，并会归纳总结;2.熟练地运用法则进行整式的乘除运算;3.熟练地运用平方差公式和完全平方公式;4.会对一个多项式进行因式分解.一、幂的乘法运算同底数幂乘法法则：am•an=______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____.条件：结果：am+n 不变相加①底数不变①乘法②同底数幂 ②指数相加一、幂的乘法运算幂的乘方法则：(am)n=______.(m，n都是正整数) 即：幂的乘方，底数_____，指数_____.amn 不变相乘拓展：[(am)n]p = amnp （m，n，p都是正整数）幂的乘方法则的逆用： amn = (am)n= (an)m一、幂的乘法运算积的乘方法则：(ab)n=______.(n为正整数) 即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.anbn 拓展：(abc)n=anbncn.积的乘方公式的逆用：anbn=(ab)n二、整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【三步走】（1）系数相乘；（2）相同字母的幂相乘；（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.二、整式的乘法单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.注：积的项数与多项式的项数相同.单项式与多项式相乘单项式与单项式相乘二、整式的乘法多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.多乘多顺口溜：多乘多，来计算，多项式各项都见面，乘后结果要相加，化简、排列才算完.三、整式的除法同底数幂的除法法则：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)即 同底数幂相除，底数_____，指数_____.不变相减规定：a0=1(a≠0) 这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.三、整式的除法单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.四、乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.公式变形:1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b22.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2四、乘法公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式.(简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)四、乘法公式1.添括号与去括号是互逆的，符号的变化是一致的. 添括号是否正确可用去括号检验.2.不论怎样添括号，原式的值都不能改变，添括号法则在利用乘法公式的计算中应用较多.五、因式分解我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即因式分解整式乘法五、因式分解正确找出多项式的公因式的步骤：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式是p.五、因式分解如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.五、因式分解例1.计算：(1)(a+b)2·(a+b)3 (2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6 (3)(x-y)2·(y-x)5解:(1)(a+b)2·(a+b)3 =(a+b)2+3 =(a+b)5(2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6 =(m-n)3+2+6 =(m-n)11(3)(x-y)2·(y-x)5 =(y-x)2·(y-x)5 =(y-x)2+5 =(y-x)7例2. (1)若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值； (2)已知23x＋2＝32，求x的值.(2)∵ 23x＋2＝32＝25， ∴3x＋2＝5， ∴x＝1.解：(1) 2xa＋b＋c＝2xa·xb·xc＝120；【点睛】(1)关键是逆用同底数幂的乘法公式，将所求代数式转化为几个已知因式的乘积的形式，然后再求值.(2)关键是将等式两边转化为底数相同的形式，然后根据指数相等列方程解答.【1-1】计算:(1) x4·x6=____;(2) a·a4=_____;(3)5×54×53=______;(4) x2n+1·x3n-1=______.【1-2】若am=3，an=5，则am+n等于( )A.243 B.125 C.8 D.15x10a558x5nD【1-3】计算下列各题：(4)－a3·(－a)2·(－a)3. (2)(a-b)3·(b-a)4;(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3;(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3;解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4； (2)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)7；(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3=36；(4)－a3·(－a)2·(－a)3=a8.例3.计算：(1) (x4)3·x6;(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18； (2) a2(－a)2(－a2)3＋a10 = －a2·a2·a6＋a10 = －a10＋a10 = 0【点睛】与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．例4.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. (1)103m； (2)102n； (3)103m＋2n． 解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27； (2)102n＝(10n)2＝22＝4； (3)103m＋2n＝103m×102n＝(10m)3× (10n)2 =27×4＝108. 【点睛】此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.例5.比较3500，4400，5300的大小.分析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过观察,发现指数都是100的倍数,故可以考虑逆用幂的乘方法则.解:3500=(35)100=243100,4400=(44)100=256100,5300=(53)100=125100.∵256>243>125,∴4400>3500>5300.【点睛】比较底数大于1的幂的大小的方法有两种：(1)底数相同，指数越大，幂就越大；(2)指数相同，底数越大，幂就越大.故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较. CDA  例6.计算：(1)(-4ab)3； (2)(-3ab2c3)3； (3)(-xmy3n)2.解：(1)(-4ab)3=(-4)3·a3·b3=-64a3b3(2)(-3ab2c3)3=(-3)3·a3·(b2)3·(c3)3=-27a3b6c9(3)(-xmy3n)2=(-1)2·(xm)2·(y3n)2=x2my6n解：(1)0.22022×52022=(0.2×5)2022=12022=1解：(2)【点睛】逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算．【3-1】若(2ambm+n)3=8a9b15成立，则( )m=3，n=2 B. m=n=3 C.m=6,n=2 D.m=3，n=5【3-2】现规定一种新的运算“※”:a※b=ba，如3※2=23=8，则2※(-5)=______，3※(-2x3y4)=__________.A25-8x9y12       【点睛】单项式乘单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可．  解：[xy（x2﹣xy）﹣x2y（x﹣y）]•3xy2＝（x3y﹣x2y2﹣x3y+x2y2）•3xy2＝0．例11.先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.当a＝－1，b＝1时，解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.原式＝－8＋2－15＝－21.例12.已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3＋(－2a＋3b)x2＋(－2b＋3)x－2.∵积不含x2项，也不含x项，【点睛】解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程(组)解答． CBD【4-4】计算:(2x+3y) (x -2y) (2) (-2a+3) (5+a) (3) (-3m+2)2(4) (m+2) (2m2-m-3)解: (1) 原式= 2x2-4xy+3xy-6y2=2x2-xy -6y2(2)原式=-10a-2a2+15+3a=-2a2-7a+15(3)原式= (-3m+2) (-3m+2)= 9m2-6m-6m+4= 9m2-12m+4(4)原式= 2m3-m2-3m+4m2-2m-6= 2m3-m2+4m2-3m-2m-6= 2m3+3m2-5m-6例13.计算：(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.(3)原式＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.解：(1)原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；(2)原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；例14. 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．【点睛】解此题的关键是逆用同底数幂的除法即am－n =am÷an，对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算．解：∵am＝12，an＝2，a＝3， ∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.【5-1】a12 ÷ a5=_____,(ab)3 ÷ (ab)2=_____. (a+b)6÷(a+b)2=______，(a-c)8÷ (c-a)2=______.【5-2】若2m=15，2n=5，则2m-n的值是_____.a7ab(a-c)63【5-3】计算：(1) x7÷x5 (2) m8÷m8 (3) (-a)10÷(-a)7 (4) (xy)5÷(xy)3解：(1) x7÷x5=x7-5=x2(2) m8÷m8=m8-8=m0=1(3) (-a)10÷(-a)7=(-a)10-7=(-a)3=-a3(4) (xy)5÷(xy)3=(xy)5-3=(xy)2=x2y2(a+b)4例15.计算：(12a3-6a2+3a)÷3a ； (2) (6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3.解：(1)原式=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a=4a2-2a+1；(2)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3=3x2yz－2xz＋1.例16.先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x=2022，y=2021.解：原式＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y原式＝x－y＝2022－2021＝1.＝x－y.把x＝2022，y＝2021代入上式，得【6-1】(16x3-8x2+____ ) ÷ (-2x)=-8x2+4x-2【6-2】若某长方形的面积为4a2-6ab+2a,它的长为2a，则它的宽是_________.4x2a-3b+1解：(1)原式=6ab÷a+5a÷a=6b+5;(2)原式=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy=3x-2y;(3)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.【6-3】计算：(6ab+5a)÷a ; (2)(15x2y-10xy2)÷5xy; (3)(72x3y4-36x2y3＋9xy2)÷(-9xy2)．   例18.运用乘法公式计算：(1) (x+2y-3)(x-2y+3) (2) (a+b+c)2解：(1) (x+2y-3)(x-2y+3)=[(x+(2y-3)][(x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9(2) (a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc【点睛】第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.        BBA  【7-5】运用乘法公式计算:(1) (x-3y+1)2 (2) (3a+b-c) (3a-b+c) (3) 29×31×(302+1)(3)原式=(30-1) × (30+1) × (302+1)= (302-1) × (302+1)= (302)2-12=9002-1=810000-1=809999    A【点睛】因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．  D【点睛】本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例23.把下列各式分解因式:(1) (x2+y2)2-4x2y2 (2)4x2(x-1)-16(1-x)2 (3)16x4-72x2+81解: (1) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2(2)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2=4(x-1)[x2-4(x-1)]=4(x-1)(x2-4x+4)=4(x-1)(x-2)2(3)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92= (4x2-9)2=[(2x+3)(2x-3)]2=(2x+3)2(2x-3)2  B   C D A2018【8-5】已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．解：△ABC是等边三角形．理由如下：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．课程结束