人教A版数学高二选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（解析版）

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第三章 圆锥曲线的方程 单元测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.椭圆上一点到两个焦点的距离之和为（    ）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】由椭圆的定义可知椭圆上任一点到两焦点的距离和等于，再由椭圆的方程求出即可得结果.【详解】由椭圆的定义可知椭圆上任一点到两焦点的距离和等于，由得，∴.故选：C【点睛】此题考查椭圆的定义，属于基础题.2.已知点在抛物线上，则抛物线的焦点到准线的距离为（    ）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】将点代入抛物线方程计算可得，直接可得结果.【详解】由题可知：，由，所以故抛物线的焦点到准线的距离为1故选：A3.双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出，，由此可求其渐近线方程.【详解】由双曲线得，所以渐近线方程为，故选：B4.过椭圆的焦点垂直于轴的弦长为，则双曲线的离心率的值是A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意先求出椭圆的通经，进而得到的关系，即可求解【详解】设过焦点的弦的端点分别为，令，则，，则，故，，则，所以．故选：D5.已知F是双曲线C：的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若，则双曲线C的离心率为（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】设的左焦点为，连接，过作于，根据已知及双曲线性质有为线段的中垂线，结合双曲线定义及关系得到关系，即可得离心率.【详解】设的左焦点为，连接，过作于，易知，所以为的中位线，又图中双曲线的渐近线方程为则，，则为线段的中点，所以为等腰三角形，即又，即，，得.故选：B.6.已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（    ）A． B．4 C．2 D．【答案】A【解析】设抛物线焦点为，由题意，利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.【详解】抛物线的焦点，准线，连接，，由抛物线定义，，当且仅当三点共线时，取“＝”号，∴的最小值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据题中条件，由抛物线的定义，得到，进而可得出结果.7.若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件结合双曲线的定义可得，然后可得，然后可求出的范围即可.【详解】由双曲线的定义可得，结合可得当点不为双曲线的顶点时，可得，即当点为双曲线的顶点时，可得，即所以，所以，所以所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是故选：B8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，由正弦定理得，解得，则故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知椭圆的焦距为2，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】就、分类讨论后可求的值.【详解】由椭圆的焦距，知，又，故当时，，当时，，故选：BC10.已知曲线，（    ）A．若，则表示椭圆B．若，则表示椭圆C．若，则表示双曲线D．若且，则的焦距为【答案】BCD【分析】通过的范围，判断曲线的形状，判断选项即可．【详解】解：，则表示的轨迹不存在，所以A不正确；若，则表示焦点坐标的轴上的椭圆，所以B正确；若，则表示焦点坐标在轴上的双曲线，所以C正确；若且，则的焦距为4，正确，所以D正确；故选：BCD．11.设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（    ）A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为B．若，则的面积为C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是D．若恒成立，则C的离心率的范围是【答案】BD【分析】A. 设，，所以该选项错误；B. 求出的面积为所以该选项正确；C. 求出，所以该选项错误；D. 若恒成立，所以，所以该选项正确.【详解】解：A. 设，所以，因为，所以.所以，所以该选项错误；B. 若，则所以则的面积为所以该选项正确；C. 若C上存在四个点P使得，即C上存在四个点P使得的面积为，所以，所以该选项错误；D. 若恒成立，所以，所以，所以该选项正确.故选：BD12.设双曲线的焦距为，离心率为e，且a，c，成等比数列，A是E的一个顶点，F是与A不在y轴同侧的焦点，B是E的虚轴的一个端点，PQ为E的任意一条不过原点且斜率为的弦，M为PQ中点，O为坐标原点，则（    ）A．E的一条渐近线的斜率为B．C．（，分别为直线OM，PQ的斜率）D．若，则恒成立【答案】ABC【分析】由a，c，成等比数列，得且可求得离心率为e，求渐近线的斜率验证选项A；求和的斜率，验证选项B；利用点差法求验证选项C，通过联立方程组计算和的值，验证选项D.【详解】因为a，c，成等比数列，所以，所以且，解得（负根舍），又，所以，所以，即E的一条渐近线的斜率为，故A正确；不妨设F为左焦点，B为虚轴的上端点，则A为右顶点，则BF的斜率，AB的斜率，所以，所以，故B正确；设，，，则，作差后整理得，即，所以，故C正确；设直线，则直线，将代入双曲线方程，得，则，，将k换成得，则与b的值有关，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C分别交于M，N两点，则的周长为 ．【答案】20【分析】由椭圆定义可知，的周长为．【详解】由，得，由椭圆定义可知，的周长为．故答案为：20.14.已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF1＝2PF2，则△PF1F2的面积为 ．【答案】8【分析】由题意可得a，b，c的值，由定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4，再由题意可得|PF1|，|PF2|的值，即可求出△PF1F2的面积．【详解】由题意：a2＝4，b2＝8，c2＝a2+b2＝12，因为|PF1|＝2|PF2|，而|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4，所以|PF2|＝4，|PF1|＝8，而|F1F2|＝2c＝4，因为|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2，所以∠PF2F1，所以S|F1F2|•|PF2|4＝8．故答案为：8．15.过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为 .【答案】【详解】试题分析：设P ，Q ，则，过抛物线y2=4x的焦点（1，0），倾斜角为的直线为x-y-1=0，即x=1+y，代入y2=4x得：，即，∴，∴∴考点：直线与圆锥曲线的关系16.为双曲线右支上一点，、为左、右焦点，若，则 ．【答案】18【分析】根据给定条件，利用双曲线定义求出，，，再求出数量积作答.【详解】双曲线的实半轴长a=1，半焦距c=2，则，由双曲线定义得：，而，解得，，显然为等腰三角形，则，所以.故答案为：18解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；(2)经过点P，Q.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意得到半焦距，然后利用椭圆的定义求出，再根据的关系即可求解；(2)已知椭圆过两点，设其方程为，将点代入解方程组即可求解.【详解】（1）由题意知：椭圆的焦点在纵轴上，且.由椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离之和等于.，，所以故椭圆方程为.（2）根据题意，设椭圆的方程为，，又由椭圆经过和，则有，解可得，；则要求的椭圆方程为，即其标准方程为.18.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，求出的值，从而可得椭圆的方程，（2）由题意得直线的方程为，设，再将直线方程与椭圆方程联立，消去，整理后利用根与系数的关系，再利用弦长公式可求得结果【详解】（1）由题意设椭圆方程为，则，得，所以椭圆C的标准方程为（2）由题意得直线的方程为，设，由，得，化简得，所以，所以19.已知动点到的距离与点到直线：的距离相等.(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点且倾斜角为60°的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程；（2）可知直线AB的方程为，设点，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值（1）由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，所以，则，所以动点M的轨迹方程是（2）由已知可得直线的方程是即，设，由得，，所以，则，故20.已知，分别是双曲线的左､右焦点，P为双曲线右支上除右顶点之外的一点.（1）若，求的面积（2）若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆的圆心轨迹方程.【答案】（1）面积为；（2）.【分析】（1）设，，由双曲线定义得，再由余弦定理得的关系式，两者结合可求得，从而可得三角形面积；（2）设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M，，与内切圆的切点分别为A，B，根据双曲线的定义可求得，再由椭圆的焦点坐标及双曲线过点求得，即可得轨迹方程．【详解】解：（1）设，，由双曲线的定义可得，由余弦定理得，，所以，的面积为.（2）如图所示，，，设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M，，与内切圆的切点分别为A，B，由双曲线的定义可得，即，又，，，所以，即.设点M的横坐标为x，则点H的横坐标为x，所以，即.因为双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，所以，，所以，，故内切圆的圆心轨迹方程为.【点睛】结论点睛：本题考查双曲线的定义的应用，若为双曲线的右支上任一点，是双曲线的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的内切圆圆心是，则轴，若在左支，则轴．21.椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设斜率不为的直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，为原点，求面积的最大值.【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）由四个顶点构成的四边形面积为，得到，再结合离心率 求解.（2）设直线，与椭圆方程联立，消去x得，然后由面积为求解.【详解】（1）依题意， 解得 ，即椭圆.（2）设直线，则，即，则，所以，令，则，当且仅当，即时取等号，所以面积为，即面积的最大值为.【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)涉及到弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采“整体代入”、“点差法”等方法求解．22.已知抛物线：，是坐标原点，是的焦点，是上一点，，．（1）求的标准方程；（2）设点在上，过作两条互相垂直的直线，，分别交于，两点（异于点）．证明：直线恒过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由题可知,代入抛物线，,求出p的值,即可得到抛物线方程；（2）设直线的方程为，，，利用化简可得或，代入直线方程即可得证.【详解】（1）由，，可得，代入：．解得或（舍），从而：．（2）由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，由，得，从而，且，．又，，∵∴，故，整理得．即，从而或，即或．若，则，过定点，与点重合，不符合：若，则，过定点．综上，直线过异于点的定点．