模块复习课(三) 圆锥曲线的方程-【优化指导】新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）（课件+练习）

单元素养强化(三)　圆锥曲线的方程

[对应学生用书P132]

1．已知定点A(2，0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为(　　)

A．y2＝2(x－1)　　　　　　 B．y2＝4(x－1)

C．y2＝x－1     D．y2＝(x－1)

D　[设P(x0，y0)，M(x，y)，则

所以由于y＝x0，所以4y2＝2x－2，

即y2＝(x－1).]

2．椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为(　　)

A．28　　　　B．24　　　　C．22　　　　D．20

B　[|PF1|＋|PF2|＝14，(|PF1|＋|PF2|)2＝196，

|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100，相减得2|PF1|·|PF2|＝96.

S＝|PF1|·|PF2|＝24.]

3．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点，若|PQ|＝|OF|，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x    B．y＝±x

C．y＝±x    D．y＝±x

D　[如图，以OF为直径的圆的方程为x2＋y2－cx＝0.

又圆O的方程为x2＋y2＝a2，

∴PQ所在直线方程为x＝.

把x＝代入x2＋y2＝a2，得y＝±，

则|PQ|＝.

再由|PQ|＝|OF|，得＝c，即2ab＝a2＋b2，

∴a＝b，解得双曲线的渐近线方程为y＝±x. ]

4．(多选题)(2020·湖北潜江高二期末)已知双曲线的方程为－y2＝1，则双曲线的(　　)

A．离心率为

B．渐近线方程为y＝±x

C．焦距为2

D．焦点在曲线x2－|x|＋ty2＝0(t∈R)上

ACD　[由双曲线的方程为－y2＝1，可得a＝2，b＝1，且c＝＝，

所以双曲线的离心率为e＝＝，焦距为2c＝2，故A、C正确；

双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，所以B不正确；

由双曲线的方程为－y2＝1的焦点为F(±，0)，代入曲线x2－＋ty2＝0，满足方程，所以D正确．故选A、C、D.]

5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋＝1     B．＋＝1

C．＋＝1     D．＋＝1

D　[因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b.所以y＝±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.]

6．(多选题)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个选项中正确的是(　　)

A．若C为椭圆，则1＜t＜3

B．若C是双曲线，则其离心率e满足1<e<

C．若C为双曲线，则t＞3或t＜1

D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2

BC　[若t＝2，方程＋＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，故A错．

若C为双曲线，则(3－t)(t－1)＜0，即t＜1或t＞3.故C正确．

当t＜1时，方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线，离心率e＝ ＝ ＝<，1<e<；

当t＞3时，方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线，离心率e＝＝＝ <，1<e<.故B正确．

对于D，若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则t－1＞3－t＞0，得2＜t＜3.故D错．]

7．(多选题)过抛物线C：y2＝8x的焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于P，Q两点(P在第一象限)，以PF，QF为直径的圆分别与y轴相切于A，B两点，则下列结论正确的是(　　)

A．焦点F的坐标为(2，0)

B．|PQ|＝

C．M为抛物线C上的动点，N(2，1)，则(|MF|＋|MN|)min＝6

D．|AB|＝

ABD　[A，由题意可得抛物线的焦点F(2，0)，所以A正确；

B，由题意设直线PQ的方程为：

y＝(x－2)，

与抛物线联立整理可得3x2－20x＋12＝0，解得，x＝或6，

代入直线PQ方程可得y分别为－，4，

由题意可得P(6，4)，Q(，－)，

所以|PQ|＝6＋＋4＝，所以B正确；

C，如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|＝|ME|，

所以|MF|＋|MN|＝|ME|＋|MN|≥|NE|＝2＋2＝4，当N，M，E三点共线时，|MF|＋|MN|最小，且最小值为4，所以C不正确；

D，因为P(6，4)，Q(，－)，

所以PF，QF的中点坐标分别为(4，2)，(，－)，

所以由题意可得A(0，2)，B(0，－)，

所以|AB|＝2＋＝，所以D正确．故选A、B、D.]

8．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________．

　[a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝.不妨设P在x轴上方，则由F1(－，0)，可设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝.根据椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝.]

9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为_________________________．

x2＋y2＝1　[不妨设点A在第一象限．

∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2，0<b<1，c>0).

又|AF1|＝3|F1B|，得

B，代入x2＋＝1，得＋＝1.

又c2＝1－b2，∴b2＝.故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.]

10．已知F(2，0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，过点F且垂直于x轴的弦长为6.若A(－2，)，点M为椭圆上任一点，则|MF|＋|MA|的最大值为________.

8＋　[设椭圆的左焦点为F′.由椭圆的右焦点为F(2，0)，得c＝2.

又过点F且垂直于x轴的弦长为6，

即＝6，则＝＝3，解得a＝4，

所以|MF|＋|MA|＝8－|MF′|＋|MA|＝8＋|MA|－|MF′|，

当M，A，F′三点共线时，|MA|－|MF′|取得最大值，(|MA|－|MF′|)max＝|AF′|＝，

所以|MF|＋|MA|的最大值为8＋.]

11．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且此抛物线上一点A(4，m)到焦点的距离为6.

(1)求此抛物线的方程；

(2)若此抛物线与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．

解　(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，p≠0，则其准线方程为x＝－.

∵A(4，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离，

∴4＋＝6，∴p＝4，∴此抛物线的方程为y2＝8x.

(2)由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.

∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，

∴解得k＞－1且k≠0.由x1＋x2＝＝4，解得k＝2或k＝－1(舍去)，∴所求k的值为2.

12．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．

(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．

解　(1)易知a＝2，b＝1，c＝，所以F1(－，0)，F2(，0).

设P(x，y)，则＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－－3＝(3x2－8).

因为x∈[－2，2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值－2；

当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.

(2)显然直线x＝0不满足题设条件，可设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2).

由消去y，

整理得x2＋4kx＋3＝0.

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

由Δ＝(4k)2－4×3＝4k2－3＞0，

得k＞或k＜－.①

由0°＜∠AOB＜90°，得cos ∠AOB＞0，从而得·＞0.

所以·＝x1x2＋y1y2＞0.

又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，所以＋＞0，即k2＜4，

所以－2＜k＜2.②

故由①②得直线l的斜率k的取值范围为(－2，－)∪(，2).