高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第3章 章末检测试卷(三)(含解析)

章末检测试卷(三)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　)

A.  B．2  C．2  D．4

答案　D

解析　方程化为标准方程为－＝1，

∴a2＝3，b2＝9.

∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.

2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋y2＝1

C.＋y2＝1   D.＋y2＝1

答案　A

解析　因为|BF2|＝|F1F2|＝2，所以a＝2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝.

所以椭圆的方程为＋＝1.

3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案　B

解析　抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.

4．已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为，则椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　D

解析　由椭圆的定义知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，所以a＝4，又e＝＝，所以c＝2，所以b2＝42－(2)2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.

5．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·等于(　　)

A．－12  B．－2  C．0  D．4

答案　C

解析　由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2－y2＝2，

于是两焦点分别是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．不妨取点P(，1)，

则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．

所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)(2－)＋1＝0.

6.如图，已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　因为PF⊥x轴，所以P.

又OP∥AB，所以＝，即b＝c.

于是b2＝c2，

即a2＝2c2.所以e＝＝.

7．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.

由

得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，

Δ＝(4k2－8)2－16k4

＝－64k2＋64>0，

所以0<k<1，

所以x1x2＝4，①

根据抛物线的定义得，

|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2.

因为|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2，②

由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，

所以B(1,2)，代入y＝k(x＋2)得k＝.

8.如图所示，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　)

A．2  B.  C.  D.

答案　C

解析　∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，

∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，

又由双曲线的定义得|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，

∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，

∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.

在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，

又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，

∴c＝，∴e＝.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．已知方程mx2＋ny2＝1(m，n∈R)，则(　　)

A．当mn>0时，方程表示椭圆

B．当mn<0时，方程表示双曲线

C．当m＝0时，方程表示两条直线

D．方程表示的曲线不可能为抛物线

答案　BD

解析　A项，取m＝n＝1，此时表示圆，错误；

B项，当mn<0时，方程表示焦点在x轴或y轴上的双曲线，正确；

C项，当m＝0，n＝0时，方程不成立，错误；

D项，方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确．

10．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)

A．开口向上，准线方程为y＝－

B．开口向上，焦点为

C．开口向右，焦点为(1,0)

D．开口向右，准线方程为y＝－1

答案　AB

解析　抛物线可化为x2＝y，故开口向上，焦点为.准线方程为y＝－.

11．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为(　　)

A．±  B．±  C．±  D．±

答案　BD

解析　由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.

将y＝kx＋1代入x2－＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，

则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，即k2＜5.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，

所以|AB|＝·＝8，

解得k＝±或±.

12．设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　　)

A.＋＝2

B．离心率e＝

C．△PF1F2面积的最大值为

D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切

答案　AD

解析　对于A选项，由椭圆的定义可知＋＝2a＝2，所以A选项正确．

对于B选项，依题意a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B选项不正确．

对于C选项，＝2c＝2，当P为椭圆短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值为·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误．

对于D选项，线段F1F2为直径的圆的圆心为，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D选项正确．

综上所述，正确的为AD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．

答案　＋＝1

解析　双曲线的焦点为(±4,0)，顶点为(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点为(±4,0)，

所以椭圆方程为＋＝1.

14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________，渐近线方程为__________．(本题第一空3分，第二空2分)

答案　5x2－y2＝1　y＝±2x

解析　抛物线x＝y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)，则得a2＋b2＝1，又e＝＝，易求得a2＝，b2＝，所以该双曲线的方程为5x2－y2＝1，渐近线方程为y＝±2x.

15．过点E的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|＝3，则p＝________.

答案　4

解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，|AF|＝x1＋，又|AF|＝3，所以x1＝3－，由中点坐标公式，得所以x2＝6－，y2＝2y1，所以y＝4y，2p＝4y＝4×2px1＝4×2p，结合p>0可得p＝4.

16．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．

答案　8

解析　由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，

∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，

|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，

∴y0＝4，即A(2,4)，∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分) 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，求椭圆C的方程．

解　设椭圆的半焦距为c，依题意，

得a＝且e＝＝，

所以a＝，c＝，

从而b2＝a2－c2＝1，

因此所求椭圆的方程为＋y2＝1.

18．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点A(2,1)，离心率为，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆的方程；

(2)若|MN|＝，求直线MN的方程．

解　(1)由题意有＋＝1，e＝＝，a2－b2＝c2，

解得a＝，b＝，c＝，所以椭圆方程为＋＝1.

(2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y＝k(x－3)，

代入椭圆方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2>0，得k2<1.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

|MN|＝

＝

＝＝，

解得k＝±，满足k2<1，

所求直线方程为y＝±(x－3)．

19．(12分)已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m.

(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．

解　(1)由

消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①

Δ＝36m2－36(2m2－18)

＝－36(m2－18)．

因为直线l与椭圆有公共点，

所以Δ≥0，解得－3≤m≤3.

故所求实数m的取值范围为[－3，3]．

(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得x1＋x2＝－，x1x2＝，

故|AB|＝·

＝·

＝·，

当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.

20．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．

(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)求证：A为线段BM的中点．

(1)解　由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.

所以抛物线C的方程为y2＝x.

抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.

(2)证明　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，

l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.

则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为点P的坐标为(1,1)，

所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．

直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.

因为y1＋－2x1

＝

＝

＝

＝＝0，

所以y1＋＝2x1，

即y1－x1＝x1－，即|AM|＝|BA|，

故A为线段BM的中点．

21．(12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．

(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；

(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．

解　 (1)|PF1|·|PF2|≤2＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，

∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.

(2)＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，

∴|PF1|·|PF2|＝.①

由题意知

∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②

由①②得c＝6，

∴b＝8.

22．(12分) 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.

(1)当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；

(2)若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.

(1)证明　由题意l：x＝5，代入y2＝4x中，

解得y＝±2，

不妨取M(5,2)，N(5，－2)，

则＝(4,2－2)，＝(4，－2－2)，

所以·＝(4,2－2)·(4，－2－2)＝16－(20－4)＝0，

所以AM⊥AN，即△AMN为直角三角形得证．

(2)解　由题意可得四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，

设直线l：y＝2(x－m)，M，N，联立

得y2－2y－4m＝0，

由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，

因为AM⊥AN则·＝0，

又＝，＝，

即＋(y1－2)(y2－2)＝0，

化简，得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，

即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，代入解得m＝6.

故m＝6时，有AM⊥AN.