高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试导学案，共7页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 D
解析 依题意，2c＝2b，
所以b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2c2，
所以e2＝eq \f(1,2)，又0＜e＜1，
所以e＝eq \f(\r(2),2).
2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为( )
A.eq \r(3) B．3 C．2eq \r(3) D．6
答案 D
解析 由题意，双曲线的一条渐近线为y＝－eq \f(b,a)x，即bx＋ay＝0，
设双曲线的右焦点为F(c,0)，c>0，
则c2＝a2＋b2，
所以焦点到渐近线的距离d＝eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,c)＝b＝3，
又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，
所以a＝3，所以双曲线C的实轴长为2a＝6.
3．若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，0))分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(4\r(17),17) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 D
解析 依题意得eq \f(c＋\f(b,2),c－\f(b,2))＝eq \f(5,3)，
所以c＝2b，
所以a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(5)b，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2b,\r(5)b)＝eq \f(2\r(5),5).
4．已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝eq \f(8,15)|F1F2|，则△PF1F2的面积为( )
A.eq \f(80,3) B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 A
解析 ∵在双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1中，a＝3，b＝4，c＝5，
∴F1(－5,0)，F2(5,0)，|F1F2|＝10.
∵|PF2|＝eq \f(8,15)|F1F2|＝eq \f(16,3)，
∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋eq \f(16,3)＝eq \f(34,3).
∴在△PF1F2中，cs∠PF1F2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(34,3)))2＋102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)))2,2×\f(34,3)×10)＝eq \f(15,17)，
∴sin∠PF1F2＝eq \f(8,17)，
∴△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×eq \f(34,3)×10×eq \f(8,17)＝eq \f(80,3).
5．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )
答案 C
解析 原方程分别可化为y＝ax＋b和eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1.
从B，D中的两椭圆看，a>0，b>0，但由B中的直线可得a<0，b<0，矛盾，应排除；
由D中的直线可得a<0，b>0，矛盾，应排除；
由A中的双曲线可得a<0，b>0，但由直线可得a>0，b>0，矛盾，应排除．
由C中的双曲线可得a>0，b<0，由直线可得a>0，b<0.
6．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝6相交于A，B两点，且|AB|＝4，则此双曲线的离心率为( )
A．2 B.eq \f(5\r(3),3) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \r(2)
答案 D
解析 设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx－ay＝0，
∵|AB|＝4，r＝eq \r(6)，
∴圆心(2,0)到渐近线的距离为eq \r(2)，
即eq \f(2b,\r(b2＋a2))＝eq \r(2)，
解得b＝a，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(2)a，
∴此双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).
二、多项选择题
7．已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq \r(－\f(m,n))x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
答案 ACD
解析 对于A，当m>n>0时，有eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0，方程化为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．
对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝eq \f(1,n)，表示半径为eq \r(\f(1,n))的圆，故B错误．
对于C，当m>0，n<0时，方程化为eq \f(x2,\f(1,m))－eq \f(y2,－\f(1,n))＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝eq \r(\f(1,m))，b＝eq \r(－\f(1,n))，渐近线方程为y＝±eq \r(－\f(m,n))x；当m<0，n>0时，方程化为eq \f(y2,\f(1,n))－eq \f(x2,－\f(1,m))＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝eq \r(\f(1,n))，b＝eq \r(－\f(1,m))，渐近线方程为y＝±eq \r(－\f(m,n))x，故C正确．
对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±eq \r(\f(1,n))，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
8．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是( )
A．a＝eq \r(2)b，满足∠F1PF2＝90°的点P有两个
B．aC．△PF1F2的面积的最大值为eq \f(a2,2)
D．△PF1F2的周长小于4a
答案 ACD
解析 记椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2＝∠F1B2F2.选项A中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2＝90°，正确；选项B中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2<90°，不存在90°的∠F1PF2，错误；选项C中，面积≤eq \f(1,2)·2c·b＝bc≤eq \f(b2＋c2,2)＝eq \f(a2,2)，正确；选项D中，周长＝2c＋2a<4a，正确．
三、填空题
9．若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,4)，则双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \f(\r(15),4)x
解析 因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,4)，
不妨设a＝4，c＝1，则b＝eq \r(15)，
所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(15),4)x.
10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为eq \f(4\r(10),5)，则椭圆C的方程为________．
答案 eq \f(x2,4)＋y2＝1
解析 由题意知eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(3),2)，
可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可化简为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±eq \f(\r(5)a,5)，
因此eq \r(2)×eq \f(2\r(5)a,5)＝eq \f(4\r(10),5)，可得a＝2.
因此b＝1.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
11．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．
答案 ±1
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,x2－\f(y2,2)＝1，))
消去y得x2－2mx－m2－2＝0.
Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
所以线段AB的中点坐标为(m,2m)，
又因为点(m,2m)在圆x2＋y2＝5上，
所以5m2＝5，所以m＝±1.
12．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________．
答案 16
解析 在双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1中，2a＝8，
由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝8，|QF2|－|QF1|＝8，
所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝(|PF2|－|PF1|)＋(|QF2|－|QF1|)＝16.
四、解答题
13．已知定点A(a,0)，其中0解 设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，
则|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋eq \f(1,9)(36－4x2)
＝eq \f(5,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,5)a))2＋4－eq \f(4,5)a2，
当0所以当x＝eq \f(9,5)a时，(|PA|2)min＝4－eq \f(4,5)a2＝1，
解得a＝eq \f(\r(15),2)>eq \f(5,3)(舍)；
当eq \f(5,3)当且仅当x＝3时，(|PA|2)min＝a2－6a＋9＝1，
解得a＝2或a＝4(舍)，综上可得a＝2.
14．已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,8)＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6eq \r(6))．当△APF的周长最小时，求该三角形的面积．
解 设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－eq \f(y2,8)＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|－|PF1|＝2，∴|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
∵|AF|＝eq \r(3－02＋0－6\r(6)2)＝15为定值，
∴当|AP|＋|PF1|最小时，△APF的周长最小．
由图象可知，当|AP|＋|PF1|最小时，点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2eq \r(6)x＋6eq \r(6)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2\r(6)x＋6\r(6)，,x2－\f(y2,8)＝1，))得y2＋6eq \r(6)y－96＝0，
解得y＝2eq \r(6)或y＝－8eq \r(6)(舍去)，
∴S△APF＝＝eq \f(1,2)×6×6eq \r(6)－eq \f(1,2)×6×2eq \r(6)＝12eq \r(6).
15．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的顶点到直线l1：y＝x的距离分别为eq \r(2)和eq \f(\r(2),2).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，求直线l的方程．
解 (1)由直线l1：y＝x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为eq \f(\r(2),2)a，短轴端点到直线l1的距离为eq \f(\r(2),2)b，所以eq \f(\r(2),2)a＝eq \r(2)，eq \f(\r(2),2)b＝eq \f(\r(2),2)，
解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)设直线l：y＝x＋t(t≠0)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋t，,\f(x2,4)＋y2＝1，))整理得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，
则Δ＝64t2－16×5(t2－1)>0，
解得－eq \r(5)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(8t,5)，x1x2＝eq \f(4t2－4,5)，
故y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝(x1＋x2)t＋x1x2＋t2＝eq \f(t2－4,5)，因为|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，所以OA⊥OB，
即eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(4t2－4,5)＋eq \f(t2－4,5)＝0，
解得t＝±eq \f(2\r(10),5)，满足－eq \r(5)所以直线l的方程为y＝x＋eq \f(2\r(10),5)或y＝x－eq \f(2\r(10),5).