1.1 集合的概念（七种常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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知识点1 元素与集合的概念
1．元素与集合的概念
（1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示．
（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示．
（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”．
注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物．
知识点2 元素与集合的关系
（1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作．
（2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作．
温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果．
（2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的．
知识点3 常用的数集及其记法
知识点4 集合的表示方法
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开．
（2）集合中的元素必须是明确的．
（3）集合中的元素不能重复．
（4）集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
（1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等．
（2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．
（3）不能出现未被说明的字母．
题型一集合的概念
1．判断正误．
（1）接近于0的数可以组成集合．( )
（2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．( )
（3）一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
2．下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).
①不超过的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.
4．（多选）现有以下说法，其中正确的是（ ）
A．接近于0的数的全体构成一个集合
B．正方体的全体构成一个集合
C．未来世界的高科技产品构成一个集合
D．不大于3的所有自然数构成一个集合
5．以下对象：
①上海市现有各高中的校名；
②很接近的所有实数；
③方程在实数范围内的解；
④平面直角坐标系内的一些点；
⑤所有大于3或小于1的实数．
能够组成集合的序号是______．
题型二用列举法表示集合
6．设a，b是非零实数，那么可能取的所有值组成集合是______.
7．一元二次方程的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．用列举法写出集合＝__________.
9．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则 _____.
10．直线与y轴的交点所组成的集合为（ ）
A．B．
C．D．
题型三用描述法表示集合
11．直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________．
12．方程组的解集可表示为（ ）
A．B．
C．D．
13．集合用描述法可表示为（ ）
A．B．C．D．
14．用描述法表示不等式的解集为________．
15．集合表示的是__________.
题型四集合表示方法的应用
16．定义集合运算：若，则_________．
17．用另一种方法表示下列集合:
(1);
(2);
(3)已知，，写出集合P;
(4)集合，，写出集合B.
18．用适当的方法表示下列集合．
(1)方程组 的解集；
(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程的实数根组成的集合；
(4)二次函数的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
19．已知集合，则集合B中有________个元素．
20．对于、，规定，集合，则中元素的个数为（ ）
A．B．
C．D．
题型五元素与集合的关系
21．记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素．
22．（多选）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（ ）
A．
B．
C．
D．或或
23．已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________．
24．已知集合中的最大元素为，则实数________.
25．已知集合S满足:若，则.请解答下列问题:
(1)若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
(2)证明:若，则.
(3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.
26．集合，判断下列元素x是否属于集合A：
(1)；
(2)；
(3)．
27．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
28．已知集合中含有两个元素和．
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
题型六集合的元素特性
29．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．的近似值的全体构成一个集合B．自然数集中最小的元素是0
C．在整数集中，若，则D．一个集合中不可以有两个相同的元素
30．若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（ ）
A．菱形B．平行四边形C．梯形D．正方形
31．以方程和的解为元素的集合含有的元素个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
32．一个书架上有九个不同种类的书各5本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有_____个元素.
33．已知集合， ，若，则a等于（ ）
A．－1或3B．0或1
C．3D．－1
34．已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
35．由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．1C．D．2
36．已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
37．设集合，，已知且，则的取值集合为________.
题型七常用数集或数集关系应用
38．若集合，用列举法表示______．
39．下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
40．给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
41．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．N与N*是同一个集合
B．N中的元素都是Z中的元素
C．Q中的元素都是Z中的元素
D．Q中的元素都是R中的元素
42．集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______.
43．用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
44．已知，使代数式的值为有理数的的集合是（ ）
A．B．C．使的集合D．使的集合
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
或