初高衔接（ 六种题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

这是一份初高衔接（ 六种题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019），文件包含初高衔接六种题型原卷版docx、初高衔接六种题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。


题型一因式分解
1．下列分解因式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据提公因式法，公式法分解因式的方法即可求解．
【详解】解：选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项正确，符合题意；
选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项错误，不符合题意；
故选：．
2．在实数范围内分解因式：_________________．
【答案】
【分析】用提公因式法即可求解．
【详解】解：原式．
故答案为：．
3．因式分解：___________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
4．因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解；
（2）根据整体思想，利用平方差公式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）
5．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．
【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，属于因式分解，故符合题意；
D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选C．
6．已知，则的值为_______．
【答案】
【分析】把所求式子分解因式得到，再把已知条件式整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
7．已知：，，求：的值．
【答案】496
【分析】利用分母有理化化简a、b，把原式因式分解，再根据完全平方公式变形，代入计算即可．
【详解】解：，
，
则，，
∴
．
题型二一元二次方程根的判别式
8．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知即可解答．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴,，，
∴，
∴，
故选．
9．已知、、为常数，点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【答案】B
【分析】根据点在第四象限，得出，进而根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：点在第四象限，
，
，
方程的判别式，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
10．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
11．若关于的一元二次方程有实数根，则可取的最大整数值为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程具有实数根，得到，求出k的取值范围，再结合二次项系数不等于0，即可求出k的最大整数值．
【详解】解：根据题意得：，且，
解得：，
则k可取的最大整数值为，
故选：C．
12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
13．实数k使关于x的方程有两个实数根,．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值；
【答案】(1)k的取值范围为
(2)k的值为1或
【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得，，再把变形为，则，接着解关于k的方程，然后利用k的取值范围确定k的值即可．
【详解】（1）解：方程化为一般式为，
根据题意得，解得，
即k的取值范围为；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
∵，
∴，
∴，
∴，整理得，
解得，，
∵，
∴k的值为0或．
14．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式，解无理方程和分式方程，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，，方程没有实数根，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴方程没有实数根，不符合题意；
C、∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴方程有实数根，符合题意；
D、，解得：，
当时，，
∴原方程没有实数根，不符合题意；
故选C．
题型三根与系数的关系
15．已知是一元二次方程的两根，则代数式的值是__________．
【答案】
【分析】由是一元二次方程的两根，可得，，把原式化为，再代入求值即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有
①若，则；
②若方程两根为和，则；
③若方程有一个根是，则．
A．①②③B．①②C．②③D．①③
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程根的概念判断即可．
【详解】解：①当时，，
则，故①是假命题；
②程两根为和，
，
，故②是真命题；
③方程有一个根是，
，
，
，
，故③是真命题；
故选：C．
17．若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的对角线长度为______．
【答案】5
【分析】设矩形的长和宽分别为、，根据根与系数的关系得到，，利用勾股定理得到矩形的对角线长，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长为5．
【详解】解：设矩形的长和宽分别为、，
则，，
所以矩形的对角线长，
故答案为：5．
也考查了矩形的性质．
18．若、是一元二次方程的两根，则______．
【答案】4
【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和，即可求解．
【详解】解：，
、是一元二次方程的两根，
，，
，
故答案为：4．
19．关于的方程的一个根为，则_______，方程的另一个根为________．
【答案】
【分析】设一元二次方程另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．
【详解】解：设一元二次方程另一个根为，
∵关于的方程的一个根为，
∴，
解得： ，
故答案为：、；
20．一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
．
故选C．
21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．
【答案】3
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
题型四解简单的二次方程组
22．解方程组：
【答案】或或或
【分析】将方程左边因式分解可得或，再分别代入方程求解即可．
【详解】解：，由得：或，
∴或，
当时，代入中，
得，
解得：或；
此时对应x值为或；
当时，代入中，
得，
解得：或；
此时对应x值为或；
∴方程组的解为：或或或．
所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
23．写出一个二元二次方程组，使它的的解是和__________．
【答案】（荅案不唯一）
【分析】根据方程组的解可得，，则可写出满足条件的一个方程组为（答案不唯一）．
【详解】解：方程组的解为和，
，，
方程组可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
24．解方程组：．
【答案】，
【分析】利用加减消元法，得到，解之求出y值，再代入求出x值即可．
【详解】解：，
得：，
解得：或，
当时，代入中，
解得：；
当时，代入中，
解得：，
∴方程组的解为，．
25．方程组有实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】①②得出，求出，根据方程组有实数解得出，再求出k的取值范围即可．
【详解】解：，
①②，得，即，
∵方程组有实数解，
∴一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
故选：D．
26．关于x、y的方程组有两个不相同的实数解，则k_______．
【答案】且
【分析】利用代入消元法可得出，再根据题意可知该方程有两个不相同的实数解，结合一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义即得出，且，解出k的解集即可．
【详解】解：，
由②得：，
将③代入①得：，
整理，得：
∵关于x、y的方程组有两个不相同的实数解，
∴有两个不相同的实数解，
∴，且，
∴且．
故答案为：且．
掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
27．直角三角形的两条直角边的差为，面积是，则两条直角边的长为________________．
【答案】5和8
【分析】设直角三角形长直角边为a，短直角边为b，然后根据两条直角边的差为，面积是列出方程组求解即可．
【详解】解：设直角三角形长直角边为a，短直角边为b，
由题意得：，
解得或（舍去），
∴两条直角边的长为5和8，
故答案为：5和8．
28．解方程组：
【答案】，，，
【分析】首先把①、②分别进行因式分解，可分别得到两个二元一次方程，即可得到四个二元一次方程组，解方程组，即可分别求解．
【详解】解：方程①可变形为．
得或．
方程②可变形为．
得或．
因此，原方程组可组成以下四个二元一次方程组：
，，，．
分别解这四个方程组，得原方程组的解是
，，，．
题型五二次函数的图象与性质
29．对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为B．对称轴为直线
C．当时，有最大值D．当时，随增大而减小
【答案】B
【分析】对于，其顶点坐标为，对称轴为，当时，随的增大而增大，根据性质逐一分析即可．
【详解】解：抛物线，
所以抛物线的顶点坐标为：，对称轴为：，
，图象开口向上，当时，有最小值为，
当时，随的增大而增大，
故A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选：B．
30．在函数，y随x增大而减小，则x的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的开口方向和顶点式判断即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴函数图像开口向上，
当时，随的增大而减小．
故选：D．
31．已知，点都在函数的图象上，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】二次函数抛物线向上，且对称轴为y轴，根据在对称轴的左侧，y随x的增大而减小即可判断纵坐标的大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴三点都在抛物线对称轴的左侧，
∵在轴左侧随的增大而减小，
∴．
故选：C．
32．说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)；
(2)．
【答案】(1)向左平移两个单位；开口向下，对称轴为直线，顶点坐标
(2)向右平移四个单位；开口向下，对称轴为直线，顶点坐标
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，二次函数图象的性质解答即可．
【详解】（1）解：向左平移两个单位得到；
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标．
（2）解：向右平移四个单位得到，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标．
平移口诀，“左加右减，上加下减”；抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．
33．关于抛物线下列说法中错误的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线C．顶点坐标D．与y轴交点坐标
【答案】D
【分析】根据的图象与性质解答．
【详解】中，
抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
所以选项A、B、C均正确．
令，得
抛物线与y轴的交点坐标为．
因此选项D错误，
故选：D．
34．抛物线的顶点坐标是________．
【答案】
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可．
【详解】解：的对称轴为直线，
当时，
∴顶点坐标是．
故答案为：．
35．用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】对称轴：直线；顶点坐标．
【分析】将抛物线配方可得即可解答．
【详解】解：∵抛物线的解析式为： ，
∴对称轴：直线；顶点坐标.
题型六二次函数的最值
36．二次函数的最小值是___．
【答案】
【分析】化为顶点式，即可求出最小值．
【详解】解：，
∴二次函数的最小值是,
故答案为：．
37．已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】D
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，
故选：D
38．已知二次函数（其中是常数，），当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．B．或3C．或3D．3或
【答案】A
【分析】首先求出二次函数的对称轴为，然后分两种情况和，分别根据题意列方程求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
∴当时，
∴当时，的最小值为，
∴，解得；
当时，抛物线开口向下，
∴当时，
∵，
∴当时，的最小值为，
∴，解得，
综上所述，的值为．
故选：A．
39．如图，二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，给出下列结论：①；②图象与x轴的另一个交点为；③当时，y随x的增大而增大，④．

正确结论的序号是______．
【答案】②③④
【分析】根据二次函数的图象与性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的正半轴相交，
∴，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，则，
∴，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴与轴的一个交点坐标为，故②正确；
由图象可知，当时，随的增大而增大，故③正确，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下，
∴当时，，故④正确，
综上，正确结论的序号是②③④，
故答案为：②③④．
40．已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值是9．B．当时，函数的最大值是9．
C．当时，函数的最小值是．D．当时，函数的最小值是．
【答案】C
【分析】根据二次方程的两根为和5，求出，的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【详解】解：二次方程的两根为和5，
，
解得，
二次函数，
，
当时，有最小值，最小值为，
故选：C．
41．对于二次函数，已知，当时，有下列说法：
①若y的最大值为，则；
②若y的最小值为，则；
③若，则y的最大值为．
则上达说法（ ）
A．只有①正确B．只有②正确C．只有③正确D．均不正确
【答案】C
【分析】根据二次函数可得称轴为直线，由，可得抛物线开口向下，再由，所以当时，抛物线单调递增，从而可得时，y有最大值，时，y有最小值，把、和、分别代入解析式求得m的值，再根据m的取值范围进行判断①②即可；把、，代入解析式求得y的最大值即可判断③．
【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，
因为，所以当时，函数单调递增，
若y的最大值为，则，解得或（舍去），故①错误；
若y的最小值为，则，解得或，此时不存在m，故②错误；
若，则，所以y的最大值为，故③正确，
故选C．
42．如图，矩形花圃，它的一边利用已有的围墙，可利用的围墙长度不超过，另外三边所围的栅栏的总长度是，设长为x米．

(1)若矩形的面积为，求的长度．
(2)若矩形的面积是S，求当x为何值时，S有最大值？
【答案】(1)20米
(2)
【分析】（1）设长为米，则长为米，根据矩形的面积公式列出方程，解之取合适的值即可；
（2）列出关于的函数关系式，再根据二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：设长为米，则长为米，
依题意，得，
解得：，，
当时，，超过了围墙的长度，
∴不合题意，舍去，
∴，即的长为20米；
（2）设矩形的面积是S，
则，
∵，
∴开口向下，
∴当时，S有最大值．