专题09 集合的概念-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：集合的概念
(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
【知识点拨】集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
知识点2：元素与集合的关系
【知识点拨】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
知识点3：集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
【题型归纳目录】
题型1：集合与元素的含义
题型2：元素与集合的关系
题型3：集合中元素特性的简单应用
题型4：列举法表示集合
题型5：描述法表示集合
题型6：集合表示的综合问题
【典例例题】
题型1：集合与元素的含义
例1．(2023·高一课时练习)下列语句中，正确的个数是( )
(1)；(2)；(3)由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；(4)数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；(5)方程的解能构成集合.
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】是自然数，故，(1)正确；
是无理数，故，(2)错误；
由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故(3)错误；
数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，(4)错误；
方程的解为，可以构成集合，(5)正确；
故选：A
例2．(2023·高一课时练习)下列各组对象的全体能构成集合的有( )
(1)正方形的全体；(2)高一数学书中所有的难题；(3)平方后等于负数的数；(4)某校高一年级学生身高在1.7米的学生；(5)平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】(1)(3)(4)(5)中的对象是确定的，可以组成集合，(2)中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
例3．(2023·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中)下列四组对象中能构成集合的是( )
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【答案】D
【解析】A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；
B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；
C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；
D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
变式1．(2023·高一课时练习)下列各组对象不能构成集合的是( )
A．上课迟到的学生B．年高考数学难题
C．所有有理数D．小于的正整数
【答案】B
【解析】根据集合中元素的三要素判断．上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于的正整数分别为，所以能够组成集合.
故选：
题型2：元素与集合的关系
例4．(2023·全国·高一专题练习)给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；
，为自然数及有理数，③④正确.
故选：C.
例5．(2023·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试)已知集合,那么( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知集合，
故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，
故选：A
例6．(2023·全国·高三专题练习)已知，若，则实数构成的集合的元素个数是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】让集合中每个元素等于1，求得，检验符号集合中元素的互异性，得的值，从而可得结论．①，∴，，则，不可以，
②，∴，，则，可以，
或，∴，，则，不可以，
③，，，则，不可以，
或，∴，，则，不可以，
∴，
故选：B．
变式2．(2023·高一课时练习)设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】D
【解析】表示实数集 ，则①正确
表示有理数集 ，则②正确
表示自然数集 ，则③正确
是集合的一个元素 ，则④正确
本题正确选项：
变式3．(2023·河北·高三学业考试)若不等式3-2x0,所以0不属于M,即0∉M;当x=2时,3-2x=-1