2.2 基本不等式（ 七种常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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知识点1 两个不等式
叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有
知识点2 基本不等式与最值
已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值
注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等”
题型一直接法求最值
1．已知a、，且，则ab的最大值是____________.
【答案】/0.25
【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值.
【详解】因为实数满足，
所以由基本不等式可得：
所以，当且仅当，即或时等号成立，
即的最大值为.
故答案为：.
2．已知a，b为两个正实数，且，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】对平方后，由基本不等式求解.
【详解】因为a，b为两个正实数，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为.
故答案为：
3．已知，，且，则的最大值是_____.
【答案】4
【分析】根据均值不等式，即可求得答案.
【详解】因为，，所以由基本不等式得,
所以，得，所以，
当且仅当即，时取等号,所以的最大值是4,
故答案为：4
4．（第五节基本不等式【讲】（1））已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为_______.
【答案】/0.0625
【分析】由已知条件利用基本不等式求解即可．
【详解】因为a＞0，b＞0，4a＋b＝1，
所以1＝4a＋b≥＝，
所以≤，≤，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立，
则ab的最大值为．
故答案为：．
5．已知，，若，则的最小值为______.
【答案】3
【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案
【详解】因为，，，
所以，即；
因为，当且仅当时取到等号，
所以，
解得或（舍）
所以当时，有最小值3.
故答案为：3
6．的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D
7．试题）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据基本不等式可得≥，即可求解.
【详解】由（当且仅当时等号成立），得，
即，即，，
当且仅当a=b=时等号成立.
所以的最小值为.
故选：B.
8．已知，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】将视为一个整体，利用基本不等式构造关于的一个二次不等式，解出的范围.
【详解】，
化简得：，解得，当且仅当，即
时取等号，故的最大值为.
故选：A.
题型二配凑法求最值
9．的最小值为______．
【答案】
【分析】整理式子利用基本不等式求解即可.
【详解】因，
，
当且仅当a＝1时，等号成立．
故答案为：
10．已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，结合等号成立的条件，即可求解.
【详解】由，可得，
则，当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最大值.
故选：B.
11．的最小值等于（ ）
A．3B．C．2D．无最小值
【答案】A
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，则，所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值等于.
故选：A
12．当时， 的最小值为10，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】A
【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.
【详解】当时
,
即，故.
故选:A.
13．已知，则的最小值为______.
【答案】5
【分析】求两个正数和的最小值，凑它们的积为定值即可用基本不等式求解.
【详解】因为，
则，
当且仅当即时取等号，
故答案为：5
14．已知，那么的最小值为__________．
【答案】
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：
15．已知，则的最大值为________.
【答案】
【分析】变形，利用基本不等式求解.
【详解】，，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
题型三“1”的代换求最值
16．正实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．3B．7C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由得，所以，
由于，
由于 为正数，所以，当且仅当 时等号成立，
故选：C
17．已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为x，，x＋2y＝1，
则
，
当且仅当，即时取等.
故选：B.
18．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由题可得，，则，
所以
，
当且仅当，即时，取得等号，
故选:C.
19．设为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为为正实数，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立.
所以的最小值为.
故选：C.
20．已知，，，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据题意，由，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由已知，，，则，当且仅当，时等号成立.
故答案为：.
21．（多选）已知且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为2
C．的最小值为6D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；
对于B，因为，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，由得，所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.
故选：BC.
22．若正实数， 满足．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由基本不等式推论可得答案；（2）注意到，后由基本不等式可得答案.
【详解】（1）因，，则，当且仅当时取等号，则的最大值为；
（2），
当且仅当，即，时取等号，则的最小值为.
23．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】由，再由基本不等式求解即可.
【详解】因为
.
当且仅当，即时取等，
故的最小值为.
故答案为：
24．已知函数（），则它的最小值为______.
【答案】
【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值．
【详解】由，可得，，
则
，
当且仅当，即时取得等号，
则的最小值为.
故答案为：.
题型四商式求最值
25．函数的值域是__________.
【答案】
【解析】将化简可得，然后讨论和时，利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】，
当时，
当时，
所以，
所以函数的值域是，
故答案为：
【点睛】方法点睛：形如二次比一次的形式的函数，先对其化简整理，使之具备使用基本不等式的条件，再利用基本不等式求最值，可得值域.
26．若函数在处取最小值，则（ ）
A．B．2C．4D．6
【答案】C
【分析】由，而，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出的值.
【详解】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
27．函数的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．-1
【答案】D
【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；
【详解】
，
当且仅当,即等号成立.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.
28．求的最小值______.
【答案】9
【解析】将分子配方凑出含有的项，再将其分离，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
，，
，
当且仅当即时，等号成立.
故答案为：9.
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
29．当时，函数的最小值为_________.
【答案】
【解析】根据题中条件，将函数化为，再由基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
30．的最大值为______.
【答案】
【分析】令，，则可将原式化为，再利用基本不等式即可求出其最大值.
【详解】令，则，，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式.
31．（1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时.
【解析】（1）整理，利用基本不等式求解即可；（2）令，将代入整理得，利用基本不等式求解即可；
【详解】（1）∵，
∴，
当且仅当即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时；
（2）令，
将代入得：
，
∵，
∴，
当且仅当，
即，
即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.
32．函数的最小值为_______________
【答案】8
【解析】由条件可得，根据基本不等式可求得最小值.
【详解】函数，
因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.
故答案为：8.
【点睛】本题考查基本不等式的应用之求最值，属于中档题.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
题型五利用基本不等式证明不等式
33．已知，，，且．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明．
【详解】因为a，b，c都为正实数，且，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以．
34．已知是正实数.
(1)若，证明：；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先将变形成，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
（2）由都是正实数，三次利用基本不等式，再相加整理即得.
【详解】（1）因为，，，
所以，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以.
（2）因为，，，
所以，当且仅当时取等号；
，当且仅当时取等号；
，当且仅当时取等号；
上述三式相加可得，即，
当且仅当时，等号成立.
所以.
35．若正数a，b，c满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；
（2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件.
【详解】（1）由，
所以，即，仅当时等号成立，
综上，的最大值为.
（2）由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
综上，，仅当时等号成立.
36．设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证；
（2）根据，，，即可得证.
【详解】（1）由，得，
又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，，
当且仅当时，上述不等式等号均成立，
所以，
即，
所以，当且仅当时等号成立；
（2）因为，，均为正数，
则，，，当且仅当时，不等式等号均成立，
则，
即，当且仅当时等号成立.
所以.
37．已知，，且，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】利用把化为，展开利用基本不等式求最值即可证明.
【详解】因为，，，
所以
，当且仅当，即时等号成立.
故原题得证.
38．已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值．
（2）化简已知得，即，利用基本不等式即可得证.
【详解】（1）（2）因为，所以，所以．
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
则，即的最小值是2．
（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以．当且仅当时，等号成立
则，即，当且仅当时，等号成立．
【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将的证明转化为的证明，其中是解题关键，本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于较难题.
题型六利用基本不等式求解实际问题
39．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买m台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备（ ）
A．100台B．200台C．300台D．400台
【答案】B
【分析】由题意求出平均成本的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】由题意，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以应购买台，使得每台设备的平均成本最低.
故选：B
40．已知某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），那么f（Q）的最小值是___________．
【答案】1600
【分析】由题意得到年产量为Q时的平均成本为，再利用基本不等式求解.
【详解】解：因为某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．
所以年产量为Q时的平均成本为，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为1600，
故答案为：1600
41．常州在中国工业大奖和工业强基工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资(单位：万元)，经计算与市场评估得，调查发现，零件装备售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中).
(1)预测出2023年的利润(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)；
(2)当2023年装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)当2023年生产100件时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元
【分析】（1）利用题中给定分段函数即可求解；
（2）利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）根据题意，当时，
；
当时，
；
故；
（2）根据题意，当时，
，
当时，；
当时，
，
当且仅当时等号成立，则有；
由，故；
故当时，即当2023年生产100件时，
该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元.
42．某中学计划在劳动实习基地的空地上用篱笆围出一个面积为的矩形菜地，则需要的篱笆长度至少是___________m.
【答案】
【分析】设矩形的长为，宽为，则，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】设矩形的长为，宽为，则，
因为，当且仅当时，取等号，
所以需要的篱笆长度至少是.
故答案为：.
43．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.
(1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
(2)设备占地面积为多少时，的值最小？
【答案】(1)
(2)设备占地面积为时，的值最小.
【分析】（1）由题意解不等式，即可求得；
（2）利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得.
要满足题意,则，
即，解得：.
即设备占地面积的取值范围为.
（2），
当且仅当时等号成立.
所以设备占地面积为时，的值最小.
44．某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（ ）．
A．36平方米B．48平方米
C．64平方米D．72平方米
【答案】C
【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为，由题有，利用基本不等式可得答案.
【详解】设不靠墙的两个侧面的长度分别为，由题有
.
令，则
，即，当且仅当时取等号.
故选：C
45．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
【答案】(1)
(2)6万元
【分析】（1）依题意求解即可；
（2）由结合基本不等式求解即可.
【详解】（1） ．
因为，所以
（2）因为 ．
又因为，所以，
所以（当且仅当时取“”）
所以
即当万元时，取最大值30万元．
题型七基本不等式的恒成立问题
46．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】转化为不等式恒成立，结合基本不等式求得，即可求解.
【详解】因为对任意，不等式，
即不等式恒成立，
因为，可得，当且仅当时，即等号成立，
所以，所以.
故选：D.
47．若对，，有恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先由基本不等式求出的最小值，由恒成立即可求出的范围．
【详解】因为，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
故选：D．
48．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故答案为：．
49．当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.
【详解】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
所以，即．
故选：A.
50．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
【答案】/
【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解.
【详解】当时，不成立，所以.
由得.
因为，，所以，解得，即.
所以，
令，则，于是.
令，，则.
由对勾函数的图象知，在上单调递减，故.
所以，即的最大值为.
故答案为：.
51．若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【分析】将不等式对任意正数恒成立，化为恒成立，利用基本不等式求得的最小值，即可求得答案.
【详解】由题意不等式对任意正数恒成立，
即恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
则，
当且仅当时，等号成立，
故，即实数x的最大值为，
故选：C
52．（多选）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）
A．10B．9C．8D．7.5
【答案】BC
【分析】根据基本不等式求出的最小值，得的取值范围，根据范围可得答案.
【详解】由，且，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为不等式恒成立，所以，又，结合选项，可得BC符合题意.
故选：.
53．对任意，为正实数，都有，则实数a的最大值为___.
【答案】
【分析】根据题意将不等式转化为，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为对任意，为正实数，都有，
所以恒成立，也即，
因为（当且仅当时，也即时等号成立）
所以，则实数a的最大值为，
故答案为：.不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
当且仅当“”时取“”
基本不等式
当且仅当“”时取“”