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第13讲 椭圆-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）
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这是一份第13讲 椭圆-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019），文件包含第13讲椭圆解析版docx、第13讲椭圆原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共134页， 欢迎下载使用。
第13讲 椭圆
【知识点梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
知识点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
知识点诠释：
3．这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
4．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
5．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
6． 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
知识点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
知识点四：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【题型归纳目录】
题型一：椭圆的定义
题型二：求椭圆的标准方程
题型三：椭圆的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：椭圆的简单几何性质
题型六：求椭圆的离心率
题型七：求椭圆离心率的取值范围
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
题型九：椭圆中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【典型题】
题型一：椭圆的定义
例1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
例2．（2022·甘肃武威·高二期末（理））动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
例3．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
例4．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的焦点为，点满足，则（ ）
A．点在椭圆外
B．点在椭圆内
C．点在椭圆上
D．点与椭圆的位置关系不能确定
例5．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例6．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
例7．（2022·重庆·高二期末）是椭圆的焦点，点在椭圆上，点到的距离为1，则到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例8．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（理））已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例9．（2022·广东·执信中学高二期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C． D．12
例10．（2022·全国·高二）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
例11．（2022·贵州毕节·高二期末（理））设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：求椭圆的标准方程
例12．（2022·浙江金华·高二期末）已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
例13．（2022·山东烟台·高二期末）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例14．（2022·江西鹰潭·高二期末（理））方程化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022·河北省博野中学高二期末）已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是:（ ）
A． B．
C． D．
例16．（2022·全国·高二课时练习）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______．
例17．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）方程化简的结果是___________．
例18．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
例19．（2022·全国·高二课时练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则______（用含y的式子表示），它的标准方程是______．
例20．（2022·全国·高二课时练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知的三边满足，且，求点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
例22．（2022·江苏·高二课时练习）在△ABC中，B(－4，0)，C(4，0)，且周长为18.
(1)求证：点A在一个椭圆上运动；
(2)写出这个椭圆的标准方程．
例23．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；
(2)一个焦点坐标为，且椭圆经过点．
例24．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为和，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为？
题型三：椭圆的综合问题
例25．（2022·江苏·高二）已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
例26．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（文））已知△的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△的周长是（ ）
A． B． C．8 D．16
例28．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
例29．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
例30．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支
例31．（2022·湖南省岳阳县第一中学高二阶段练习）设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
例32．（2022·北京·101中学高二期末）已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
例33．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
例34．（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
例36．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
例37．（2022·北京顺义·高二期末）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
①曲线关于坐标原点对称；
②曲线是一个椭圆；
③曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.
A．① B．①② C．③ D．①③
例38．（多选题）（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是
C．的面积一定是 D．的周长一定是
题型四：轨迹方程
例39．（2022·广东广州·高二期末）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例40．（2022·广东揭阳·高二期末）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C． D．
例41．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
例42．（2022·全国·高二）已知在中，点，点，若，则点C的轨迹方程为（ ）
A． B．（）
C． D．（）
例43．（2022·河南·高二阶段练习（理））圆的半径为4，圆心为是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例44．（2022·江苏镇江·高二期末）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆
例45．（2022·全国·高二课时练习）若△ABC的三边长a､b､c满足，､，则顶点B的轨迹方程是___________.
例46．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
例47．（2022·全国·高二课时练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．
例48．（2022·全国·高二单元测试）设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.
例49．（2022·江苏·高二）已知定点、和动点．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2)，求：动点M的轨迹及其方程．
例50．（2022·江苏·高二）已知点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，并说明轨迹是什么图形．
例51．（2022·全国·高二课时练习）已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．
题型五：椭圆的简单几何性质
例52．（2022·江苏镇江·高二阶段练习）与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
例53．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例54．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
例55．（2022·江苏·高二）已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A． B． C． D．
例56．（2022·全国·高二课时练习）连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为（ ）
A．2 B． C． D．4
例57．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）在曲线中，（ ）
A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线对称
D．当时，则曲线C的焦距为
例58．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标是______．
例59．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与椭圆有两个不同的交点，则a的取值范围是___________.
例60．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______．
例61．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知椭圆，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，直线与相交于点，则________．
例62．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）对称中心为原点、对称轴为坐标轴，椭圆上的点到左焦点的最大值为8，且离心率为，则此椭圆的标准方程为______．
例63．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））在直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交于两点，且的周长为，那么的方程为________.
例64．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的方程为.
(1)求它的长轴长､短轴长､顶点坐标､焦点坐标；
(2)与该椭圆有相同焦点的椭圆有多少个？试写出其中的两个椭圆方程.
例65．（2022·全国·高二课时练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围.
例66．（2022·全国·高二课时练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)；
(2)．
题型六：求椭圆的离心率
例67．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
例68．（2022·江苏·高二）椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点使为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
例69．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为54，且椭圆的短轴长为18，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例70．（2022·江苏·高二）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例71．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例72．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例73．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））已知椭圆，圆，若的重心在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例74．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例75．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例76．（2022·四川·射洪中学高二期中）椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例77．（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例78．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
例79．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆一个基本性质：过椭圆上任意一点（不同于，）作长轴的垂线，垂足为，则为常数，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例80．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）已知，是椭圆C:的左，右焦点，P是椭圆C上一点，若|依次成等差数列，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．不能确定
题型七：求椭圆离心率的取值范围
例81．（2022·福建泉州·高二期中）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例82．（2022·江西赣州·高二期中（文））已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例83．（2022·浙江浙江·高二期中）设椭圆的两焦点为，．若椭圆C上有一点P满足，则椭圆C的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例84．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
又|FA|= ，
，
，又，
∴.
故选：D.
例85．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知 ，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例86．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例87．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)
例88．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知椭圆的右焦点为，若存在过原点的直线与的交点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例89．（2022·黑龙江·大庆中学高二阶段练习）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例90．（2022·全国·高二）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例91．（2022·江苏徐州·高二期末）已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例92．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知点F是椭圆的右焦点，过点且垂直于y轴的直线与椭圆交于B，C两点.当为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为___________.
例93．（2022·江苏·高二课时练习）设椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为P．
(1)若为直角，求椭圆的离心率；
(2)若为钝角，求椭圆离心率的取值范围．
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
例94．（2022·甘肃白银·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
例95．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））已知椭圆的右焦点为，满足：，若点为椭圆上一点，记的最大值为，记最小值为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例96．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（理））已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（ ）
A． B．
C． D．
例97．（2022·河南南阳·高二阶段练习（文））画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例98．（多选题）（2022·湖南·高二期中）已知椭圆的离心率，则k的值可能是（ ）
A．－7 B．7 C．— D．
例99．（2022·安徽滁州·高二期中）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．
例100．（2022·河北邢台·高二阶段练习）最能引起美感的比被称为黄金分割．现定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则__________．
例101．（2022·浙江·镇海中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率，则的值为________.
例102．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）设是椭圆的离心率，若，则的取值范围是_________.
例103．（2022·北京·北科大附中高二期末）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点；
②；
③；
④.
则所有结论正确的序号是_____.
例104．（2022·河北·顺平县中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为________．
例105．（2022·四川省资阳中学高二期中（理））已知椭圆离心率，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点（A在第一象限），过A作x轴垂线交椭圆于点C，过A作直线AP垂直AB交椭圆于点P，连接BP交AC于点Q，则____
题型九：椭圆中的范围与最值问题
例106．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例107．（2022·全国·高二课时练习）设为椭圆上的动点，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积（ ）
A．是定值 B．非定值，但存在最大值
C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值
例108．（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例109．（2022·安徽·高二期中）椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例110．（2022·辽宁·高二期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．12
例111．（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例112．（2022·安徽·芜湖一中高二阶段练习）直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
例113．（2022·全国·高二专题练习）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
例114．（2022·江西·景德镇一中高二期中（理））已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例115．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例116．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例117．（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（ ）
A．[8，12] B． C． D．
例118．（2022·江苏南通·高二期中）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－3，1） B．（－3，5）
C．（4，5） D．
例119．（多选题）（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则（ ）
A．椭圆的短轴长为1 B．椭圆的离心率为
C．圆在椭圆的内部 D．的最小值为
例120．（2022·全国·高二专题练习）已知为椭圆的左焦点，是其内一点，为椭圆上的动点，则的最大值为__，最小值为__.
例121．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离分别为5，3，过且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，椭圆的标准方程为： ______，若，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值是______.
例122．（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
例123．（2022·江苏省丹阳高级中学高二阶段练习）已知椭圆：的离心率为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆形成的弦长为，且椭圆上存在4个点M，N，P，Q构成矩形，则矩形MNPQ面积的最大值为_________.
例124．（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．
例125．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高二期中）设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为____.
例126．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
题型十：焦点三角形
例127．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是
例128．（2022·河南平顶山·高二期末（理））设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为钝角三角形
C．为直角三角形 D．，，三点构不成三角形
例129．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值 D．的范围为
例130．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
例131．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例132．（多选题）（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．面积的最大值为
C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个
例133．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长为
B．面积最大值为
C．存在点P满足：
D．若面积为，则点P横坐标为
例134．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（ ）
A．
B．的周长的取值范围是（6，12）
C．当时，的面积为
D．当时，为直角三角形．
例135．（2022·全国·高二期中）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．
例136．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的焦点为，，若椭圆C上存在一点P，使得，且△的面积等于4.则实数b的值为___________.
例137．（2022·全国·高二单元测试）若中，，（，且m､n为定值），则面积的最大值为___________.
例138．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________
例139．（2022·全国·高二课时练习）已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______．
例140．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的两个焦点为､，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.
例141．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为和，点P在椭圆上．如果线段的中点在y轴上，那么是的______倍．
例142．（2022·广东茂名·高二期末）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
例143．（2022·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆上任一点，、为两焦点，，求△的面积．
第13讲 椭圆
【知识点梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
知识点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
知识点诠释：
3．这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
4．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
5．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
6． 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
知识点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
知识点四：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【题型归纳目录】
题型一：椭圆的定义
题型二：求椭圆的标准方程
题型三：椭圆的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：椭圆的简单几何性质
题型六：求椭圆的离心率
题型七：求椭圆离心率的取值范围
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
题型九：椭圆中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【典型题】
题型一：椭圆的定义
例1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
例2．（2022·甘肃武威·高二期末（理））动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
例3．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
例4．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的焦点为，点满足，则（ ）
A．点在椭圆外
B．点在椭圆内
C．点在椭圆上
D．点与椭圆的位置关系不能确定
例5．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例6．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
例7．（2022·重庆·高二期末）是椭圆的焦点，点在椭圆上，点到的距离为1，则到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例8．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（理））已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例9．（2022·广东·执信中学高二期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C． D．12
例10．（2022·全国·高二）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
例11．（2022·贵州毕节·高二期末（理））设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：求椭圆的标准方程
例12．（2022·浙江金华·高二期末）已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
例13．（2022·山东烟台·高二期末）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例14．（2022·江西鹰潭·高二期末（理））方程化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022·河北省博野中学高二期末）已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是:（ ）
A． B．
C． D．
例16．（2022·全国·高二课时练习）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______．
例17．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）方程化简的结果是___________．
例18．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
例19．（2022·全国·高二课时练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则______（用含y的式子表示），它的标准方程是______．
例20．（2022·全国·高二课时练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知的三边满足，且，求点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
例22．（2022·江苏·高二课时练习）在△ABC中，B(－4，0)，C(4，0)，且周长为18.
(1)求证：点A在一个椭圆上运动；
(2)写出这个椭圆的标准方程．
例23．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；
(2)一个焦点坐标为，且椭圆经过点．
例24．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为和，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为？
题型三：椭圆的综合问题
例25．（2022·江苏·高二）已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
例26．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（文））已知△的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△的周长是（ ）
A． B． C．8 D．16
例28．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
例29．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
例30．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支
例31．（2022·湖南省岳阳县第一中学高二阶段练习）设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
例32．（2022·北京·101中学高二期末）已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
例33．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
例34．（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
例36．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
例37．（2022·北京顺义·高二期末）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
①曲线关于坐标原点对称；
②曲线是一个椭圆；
③曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.
A．① B．①② C．③ D．①③
例38．（多选题）（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是
C．的面积一定是 D．的周长一定是
题型四：轨迹方程
例39．（2022·广东广州·高二期末）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例40．（2022·广东揭阳·高二期末）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C． D．
例41．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
例42．（2022·全国·高二）已知在中，点，点，若，则点C的轨迹方程为（ ）
A． B．（）
C． D．（）
例43．（2022·河南·高二阶段练习（理））圆的半径为4，圆心为是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例44．（2022·江苏镇江·高二期末）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆
例45．（2022·全国·高二课时练习）若△ABC的三边长a､b､c满足，､，则顶点B的轨迹方程是___________.
例46．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
例47．（2022·全国·高二课时练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．
例48．（2022·全国·高二单元测试）设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.
例49．（2022·江苏·高二）已知定点、和动点．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2)，求：动点M的轨迹及其方程．
例50．（2022·江苏·高二）已知点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，并说明轨迹是什么图形．
例51．（2022·全国·高二课时练习）已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．
题型五：椭圆的简单几何性质
例52．（2022·江苏镇江·高二阶段练习）与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
例53．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例54．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
例55．（2022·江苏·高二）已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A． B． C． D．
例56．（2022·全国·高二课时练习）连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为（ ）
A．2 B． C． D．4
例57．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）在曲线中，（ ）
A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线对称
D．当时，则曲线C的焦距为
例58．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标是______．
例59．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与椭圆有两个不同的交点，则a的取值范围是___________.
例60．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______．
例61．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知椭圆，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，直线与相交于点，则________．
例62．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）对称中心为原点、对称轴为坐标轴，椭圆上的点到左焦点的最大值为8，且离心率为，则此椭圆的标准方程为______．
例63．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））在直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交于两点，且的周长为，那么的方程为________.
例64．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的方程为.
(1)求它的长轴长､短轴长､顶点坐标､焦点坐标；
(2)与该椭圆有相同焦点的椭圆有多少个？试写出其中的两个椭圆方程.
例65．（2022·全国·高二课时练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围.
例66．（2022·全国·高二课时练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)；
(2)．
题型六：求椭圆的离心率
例67．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
例68．（2022·江苏·高二）椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点使为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
例69．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为54，且椭圆的短轴长为18，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例70．（2022·江苏·高二）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例71．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例72．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例73．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））已知椭圆，圆，若的重心在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例74．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例75．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例76．（2022·四川·射洪中学高二期中）椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例77．（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例78．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
例79．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆一个基本性质：过椭圆上任意一点（不同于，）作长轴的垂线，垂足为，则为常数，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例80．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）已知，是椭圆C:的左，右焦点，P是椭圆C上一点，若|依次成等差数列，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．不能确定
题型七：求椭圆离心率的取值范围
例81．（2022·福建泉州·高二期中）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例82．（2022·江西赣州·高二期中（文））已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例83．（2022·浙江浙江·高二期中）设椭圆的两焦点为，．若椭圆C上有一点P满足，则椭圆C的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例84．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
又|FA|= ，
，
，又，
∴.
故选：D.
例85．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知 ，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例86．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例87．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)
例88．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知椭圆的右焦点为，若存在过原点的直线与的交点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例89．（2022·黑龙江·大庆中学高二阶段练习）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例90．（2022·全国·高二）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例91．（2022·江苏徐州·高二期末）已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例92．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知点F是椭圆的右焦点，过点且垂直于y轴的直线与椭圆交于B，C两点.当为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为___________.
例93．（2022·江苏·高二课时练习）设椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为P．
(1)若为直角，求椭圆的离心率；
(2)若为钝角，求椭圆离心率的取值范围．
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
例94．（2022·甘肃白银·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
例95．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））已知椭圆的右焦点为，满足：，若点为椭圆上一点，记的最大值为，记最小值为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例96．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（理））已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（ ）
A． B．
C． D．
例97．（2022·河南南阳·高二阶段练习（文））画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例98．（多选题）（2022·湖南·高二期中）已知椭圆的离心率，则k的值可能是（ ）
A．－7 B．7 C．— D．
例99．（2022·安徽滁州·高二期中）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．
例100．（2022·河北邢台·高二阶段练习）最能引起美感的比被称为黄金分割．现定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则__________．
例101．（2022·浙江·镇海中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率，则的值为________.
例102．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）设是椭圆的离心率，若，则的取值范围是_________.
例103．（2022·北京·北科大附中高二期末）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点；
②；
③；
④.
则所有结论正确的序号是_____.
例104．（2022·河北·顺平县中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为________．
例105．（2022·四川省资阳中学高二期中（理））已知椭圆离心率，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点（A在第一象限），过A作x轴垂线交椭圆于点C，过A作直线AP垂直AB交椭圆于点P，连接BP交AC于点Q，则____
题型九：椭圆中的范围与最值问题
例106．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例107．（2022·全国·高二课时练习）设为椭圆上的动点，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积（ ）
A．是定值 B．非定值，但存在最大值
C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值
例108．（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例109．（2022·安徽·高二期中）椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例110．（2022·辽宁·高二期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．12
例111．（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例112．（2022·安徽·芜湖一中高二阶段练习）直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
例113．（2022·全国·高二专题练习）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
例114．（2022·江西·景德镇一中高二期中（理））已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例115．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例116．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例117．（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（ ）
A．[8，12] B． C． D．
例118．（2022·江苏南通·高二期中）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－3，1） B．（－3，5）
C．（4，5） D．
例119．（多选题）（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则（ ）
A．椭圆的短轴长为1 B．椭圆的离心率为
C．圆在椭圆的内部 D．的最小值为
例120．（2022·全国·高二专题练习）已知为椭圆的左焦点，是其内一点，为椭圆上的动点，则的最大值为__，最小值为__.
例121．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离分别为5，3，过且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，椭圆的标准方程为： ______，若，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值是______.
例122．（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
例123．（2022·江苏省丹阳高级中学高二阶段练习）已知椭圆：的离心率为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆形成的弦长为，且椭圆上存在4个点M，N，P，Q构成矩形，则矩形MNPQ面积的最大值为_________.
例124．（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．
例125．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高二期中）设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为____.
例126．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
题型十：焦点三角形
例127．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是
例128．（2022·河南平顶山·高二期末（理））设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为钝角三角形
C．为直角三角形 D．，，三点构不成三角形
例129．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值 D．的范围为
例130．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
例131．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例132．（多选题）（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．面积的最大值为
C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个
例133．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长为
B．面积最大值为
C．存在点P满足：
D．若面积为，则点P横坐标为
例134．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（ ）
A．
B．的周长的取值范围是（6，12）
C．当时，的面积为
D．当时，为直角三角形．
例135．（2022·全国·高二期中）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．
例136．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的焦点为，，若椭圆C上存在一点P，使得，且△的面积等于4.则实数b的值为___________.
例137．（2022·全国·高二单元测试）若中，，（，且m､n为定值），则面积的最大值为___________.
例138．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________
例139．（2022·全国·高二课时练习）已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______．
例140．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的两个焦点为､，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.
例141．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为和，点P在椭圆上．如果线段的中点在y轴上，那么是的______倍．
例142．（2022·广东茂名·高二期末）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
例143．（2022·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆上任一点，、为两焦点，，求△的面积．
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