3.1.1 函数的概念（七种常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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知识点1 函数的概念
1．函数的定义
设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作.
2．函数的定义域与值域
函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集．
3．对应关系
除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系．
注意：（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数．
（2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性．
（3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样．
知识点2 同一个函数
1．函数三要素
由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．
2．相同函数
值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数．
知识点3 区间
1．区间的概念(为实数,且)
2．其他区间的表示
知识点4 常见函数的定义域和值域
题型一函数关系的判断
1．下列变量间的关系是函数关系的是（ ）
A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．正方形的面积S与其边长a之间的关系
D．光照时间和苹果的亩产量
【答案】C
【分析】通过分析各选项是什么关系，即可得出变量间的关系是函数关系的选项.
【详解】由题意，
A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系，
故选：C.
2．下列关系不是函数关系的是________（填序号）．
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
【答案】②③
【分析】利用函数的定义即可判断.
【详解】对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；
而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．
故答案为：②③
3．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量，有唯一的值相对应，
选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，
其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.
故选：ACD
4．下列说法不正确的是（ ）
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意凸四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
【答案】D
【分析】根据函数关系的定义逐一判断各个选项即可.
【详解】对A，根据圆周长公式，其中为圆周长，为圆直径，故，为常量，故A正确；
对B，根据任意凸四边形内角和为，故B正确；
对C，受重力因素影响可知发射升空后火箭的高度与发射的时间之间是函数关系，故C正确；
对D，某商品的广告费用与销售量之间的关系不确定，不是函数关系，故D错误.
故选：D.
5．（多选）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】通过分析不同函数中对应的集合中元素的值，即可得出结论.
【详解】由题意，
，
A项，在中，当时，对应函数值为，与集合不对应，A错误；
B项，在中，当时，对应的函数值分别为，B正确；
C项，在中，当时，定义域不合要求，C错误；
D项，在中，当时，对应的函数值分别为， D正确；
故选：BD.
6．（多选）下列对应关系是实数集上的函数的是（ ）
A．：把对应到B．：把对应到
C．：把对应到D．：把对应到
【答案】AB
【分析】根据函数的定义，可得答案.
【详解】选项A，是实数集上的一个函数．它的对应关系是把乘再加，对于任一，都有唯一确定的值与之对应，如，则与之对应；
选项B，同理B也是实数集上的一个函数；
选项C，不是实数集上的函数．因为当时，的值不存在；
选项D，不是实数集上的函数．因为当时，的值不存在．
故选：AB.
7．集合用区间表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】按照区间的定义写出区间即可.
【详解】解：集合或用区间表示为：.
故选：B.
8．集合下列表示从到的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合选项和函数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】由集合，
对于A中，若，则集合中任意元素，在集合中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合到的函数，符合题意；
对于B中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意；
对于C中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意；
对于D中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意；
故选：A.
题型二求函数的定义域
9．函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．且
【答案】A
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，，解得且，
所以函数的定义域为且.
故选：A
10．求下列函数的定义域：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）一次函数的，即可求出定义域；
（2）二次函数的，即可求出定义域；
（3）根据二次根号下非负，分母不等于0，列不等式求解即可；
（4）根据二次根号下非负，列不等式求解即可.
【详解】（1）
所以，故定义域为
（2）
所以，故定义域为
（3）
所以，，
故定义域为：
（4）
所以，，
故定义域为：
11．函数的定义域为______．
【答案】
【分析】根据二次根式与分式的意义求定义域即可.
【详解】由，得，
故函数的定义域为：．
故答案为：
12．求函数的定义域.
【答案】
【分析】根据题意列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由题意得，
解得，
所述
13．求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）利用给定的函数有意义，列出不等式组求解作答.
【详解】（1）函数中，，解得且，
所以原函数的定义域为.
（2）函数中，，解得：，
解，即，，整理得，解得，
所以原函数的定义域为.
14．求函数的定义域为________．
【答案】
【分析】根据所给解析式列出不等式组，要求分母不为0，被开方数大于等于0.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
即且，
函数的定义域为.
故答案为：.
15．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分母不为零且偶次方根的被开方数大于等于零得到不等式组，解得即可.
【详解】因为，所以，解得且，
故函数的定义域为.
故选：C
题型三同一函数的判断
16．判断下列各组函数是否为相等函数：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)不是
(2)不是
(3)是
【分析】运用函数的定义域和对应关系完全相同，才是相等函数，对（1）（2）（3）一一判断，即可得到结论．
【详解】（1）的定义域为，的定义域为，所以不是；
（2）的定义域为，的定义域为，所以不是；
（3）与的定义域、对应关系均相同，所以是相等函数．
17．下列函数与是同一函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定的定义域为，根据定义域排除BD，根据解析式排除C，得到答案.
【详解】的定义域为，
对选项A：，定义域为，且解析式相同，正确；
对选项B：的定义域为，错误；
对选项C：，解析式不同，错误；
对选项D：的定义域为，错误.
故选：A
18．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】分别判断选项中函数的定义域和对应关系，即可得到答案.
【详解】对选项A，因为定义域为R，定义域为R，定义域相同，
但，所以，不是同一函数，故A错误；
对选项B，因为定义域为R，定义域为，
定义域不同，所以，不是同一函数，故B错误；
对选项C，因为定义域为，定义域为，
定义域不同，所以，不是同一函数，故C错误；
对选项D，因为定义域为R，定义域为R，
又，所以，是同一函数，故D正确.
故选：D
19．下列每组中的函数是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；
对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，
所以这两个函数不是同一个函数.
故选：B.
20．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据同一函数的概念，结合定义域和对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B，由函数和函数的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数与的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数和的定义域与对应法则都相同，所以是同一函数.
故选：D.
21．下列函数表示同一个函数的是（ ）.
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】根据相同函数的概念判定即可.
【详解】对于A项，，显然与对应关系不同，但定义域相同均为，故A错误；
对于B项，由题意得，即的定义域为，，即的定义域为和，两函数定义域不同，故B错误；
对于C项，，即两函数对应关系不同，故C错误；
对于D项，，两函数定义域与对应关系均相同，故D正确.
故选：D
22．下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.
【详解】对于A，因为定义域为，而的定义域为R，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于B，因为定义域为R，而的定义域为，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数；
对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且，
所以是同一函数.
故选：D
题型四求值域
23．函数，的值域为________，函数，的值域为________．
【答案】
【分析】根据函数的解析式及定义域直接求解.
【详解】∵，，，∴函数的值域为．
∵，∴，∴函数的值域为.
故答案为：，.
24．下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．，
C．，D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．
【详解】对选项A：，即函数的值域为，错误；
对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误；
对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误；
对选项D：，函数的值域为.
故选：D
25．函数的值域为_________
【答案】
【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可.
【详解】由已知得函数的定义域为，
，
，
又
，
，又，
故答案为：.
26．函数的值域为____________
【答案】
【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数,由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.
【详解】设,则,
所以原函数可化为:,
由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值.
所以值域为:.
故答案为:.
27．求下列函数的值域.
(1);
(2);
(3),.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用换元法,设,将求解函数的值域问题转化为当时函数的值域问题,根据二次函数的图像和性质求解即可;
(2)利用分离常数法求解即可;
(3)先找到函数的对称轴,再根据二次函数的图像和性质求解即可.
【详解】（1）设,则,
所以,
根据二次函数的图像和性质,函数的值域为.
（2）函数的定义域为,
,
所以函数的值域为.
（3）因为函数的对称轴为,
所以函数在单调递减,单调递增,
所以函数的值域为.
28．试求下列函数的定义域与值域．
(1)，；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)定义域为，值域为
(2)定义域为，值域为
(3)定义域是，值域为
(4)定义域是，值域是.
【分析】（1）定义域已知，代入计算得到值域；
（2）变换，得到答案；
（3）确定定义域，变换，得到值域；
（4）设，，计算得到定义域和值域.
【详解】（1）因为的定义域为，则，
同理可得，，，，所以函数的值域为.
（2）函数的定义域为R，因为，所以函数的值域为.
（3）函数的定义域为，因为，
所以函数的值域为.
（4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是.
设，则，于是，
又，所以，所以函数的值域为.
29．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（ ）
A．2，3B．3，4C．3，5D．2，5
【答案】D
【分析】由函数的定义域求出值域，然后由集合中元素的互异性与集合相等分类讨论求解即可.
【详解】函数的定义域为A，值域为B，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，又，
所以若，解得或，因为，所以.
此时，所以，则；
若，又，所以不成立.
综上，.
故选：D.
题型五已知函数值求自变量
30．已知函数f(x)=的图象经过点（3，1），则m=_______
【答案】
【分析】由建立关于的方程，解之即可.
【详解】解：∵函数的图象经过点，
∴，即
解得.
故答案为：.
31．已知，且，则（ ）
A．B．10C．9D．11
【答案】A
【分析】先由求出，从而可得函数解析式，进而可求出
【详解】因为，且，
所以，得，
所以，
所以，
故选：A
32．（多选）已知：是集合到集合的函数，如果集合，那么集合可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由题意可得，解出的值，即得答案.
【详解】解：因为：是集合到集合的函数，集合，
令，
解得或,
所以A可以为.
故选：BCD.
33．已知函数的表达式，若，则实数______．
【答案】
【分析】解方程即可得答案.
【详解】解：由题知，即，解得.
故答案为：
34．（多选）已知函数，分别由下表给出：则方程的解可以表示为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BD
【分析】根据表格中的对应关系，由外及内即可.
【详解】∵，∴，
∴或4.
故选：BD
35．已知，且，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】令，解得，再根据求解.
【详解】解：因为，且，
令，解得，
所以，
解得，
故选：A
题型六求抽象函数的定义域
36．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数的定义域可得的定义域为，进而可求解.
【详解】的定义域为，所以，
因此的定义域为，所以的定义域满足 ，即
故选：B
37．设函数的定义域是，则的定义域是 _____．
【答案】
【分析】由抽象函数定义域的求解方法进行求解即可.
【详解】∵函数的定义域是，
∴令，当时，，，即，
即的定义域是，
∴的定义域是，
∴令，得，即，
，解得或，
即的定义域是.
故答案为：.
38．已知的定义域为，求函数定义域.
【答案】.
【分析】根据复合函数定义域的意义，列出不等式求解即可.
【详解】因为的定义域为，则由得：，
所以函数定义域是.
39．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【分析】由，可知，再解关于的不等式即可.
【详解】因为，即，所以，所以，所以.
故答案为：.
40．若函数的定义域为[－2,1]，则的定义域为________，的定义域为________．
【答案】
【分析】①根据抽象函数的定义域的求解方法，列出函数所满足的不等式组，即可求解；②令，求解的定义域.
【详解】满足，解得，即，
即函数的定义域为.
由，得，即函数的定义域为.
故答案为：；.
41．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【分析】结合抽象函数与具体函数定义域的求法，解不等式组即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，
要使有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
42．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域的求法，内层函数必须包含于外层函数的定义域之中.
【详解】（1）令，则，
因为函数的定义域为，所以，
所以函数的定义域为．
（2）令，，则，．
因为函数的定义域为，所以，
所以函数的定义域为，
所以，所以，
所以函数的定义域为．
故答案为：；
题型七根据函数的值域求定义域
43．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断.
【详解】解：画出的图象如图所示：
由图可知：，
，
根据选项可知：当的定义域为，值域为时，
的可能值为，，.
故选：ABC.
44．已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（ ）
A．（-2，4）B．（-2，1）C．（1，4）D．（-1，1）
【答案】D
【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断.
【详解】画出的图象如图所示：
由图可知：，，
根据选项可知：当的定义域为，值域为时，
的可能值为，，，所以D错误.
故选：D.
45．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个.
【答案】9
【分析】根据解析式、值域判断定义域的可能种数，由不同定义域与值域的映射关系确定函数的个数.
【详解】由函数的解析式为y＝x2，值域为{1,4}，
∴函数的定义域可以为{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9种可能，
∴这样的函数共9个.
故答案为：9.
46．（多选）若函数在定义域上的值域为 ，则区间可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据二次函数单调性，以及值域，结合其函数特点，即可容易求得结果.
【详解】∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，
故，又，
故要定义域上的值域为，满足题意的选项是：BC.
故选：BC.
47．若函数的值域是，则此函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分类讨论解不等式即可.
【详解】由函数的值域是，
所以当时，，
当时，
即，解得，
所以函数的定义域为：，
故选：D
48．（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】分别令，，解方程解得，设定义域为，根据图象得到或，然后判断即可.
【详解】令，解得，令，解得或-2，
可作出函数图象如图：
设定义域为，所以或，故AD正确，BC错.
故选：AD.
49．我们规定：与函数的解析式相同，值域相同但定义域不同的函数叫的“孪生函数”，那么解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据题意，结合一元二次方程直接求解定义域，即可得到正确选项.
【详解】根据题意，令，解得，令，解得，
故解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”定义域为或，因此只有2个.
故选：B.
50．（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解.
【详解】，
当时，若，即，解得或；
当时，若，即，解得或，此时.
所以，，作出函数的图象如下图所示：
因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值；
当时，区间的长度取最大值.
所以，区间的长度的取值范围是.
故选：BC.
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
半闭半开区间
半开半闭区间
定义
符号
函数
函数关系式
定义域
值域
正比例函数
反比例函数
一次函数
二次函数
1
2
3
4
3
4
1
2
4
3
2
3