初中数学苏科版九年级上册2.1 圆课时练习

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考察题型一 圆的定义
1．在平面内与点的距离为的点的个数为
A．无数个B．3个C．2个D．1个
【详解】解：在平面内与点的距离为的点的个数为：所有到定点的距离等于的点的集合．
故本题选：．
2．早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读，一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是 ，定长是 ．
【详解】解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径，
故本题答案为：圆心，半径．
3．由所有到已知点的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为
A．B．C．D．
【详解】解：由所有到已知点的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，即．
故本题选：．
考察题型二 与圆有关的概念
1．已知的半径是，则中最长的弦长是
A．B．C．D．
【详解】解：圆的直径为圆中最长的弦，
中最长的弦长为．
故本题选：．
2．过圆上一点可以作出圆的最长的弦有 条．
A．1B．2C．3D．无数条
【详解】解：过圆上一点的最长弦为过这点的直径，有无数条．
故本题选：．
3．小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是

A．4B．5C．10D．11
【详解】解：半径为5的圆，直径为10，
在半径为5的圆中测量弦的长度，的取值范围是：，
弦的长度可以是4，5，10，不可能为11．
故本题选：．
4．有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有
A．1种B．2种C．3种D．4种
【详解】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确；
综上，错误的说法有①③两个．
故本题选：．
5．下列说法错误的是
A．直径是圆中最长的弦B．半径相等的两个半圆是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆D．半圆是圆中最长的弧
【详解】解：、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意；
、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意；
、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意；
、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意．
故本题选：．
6．下列说法中，正确的是
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．直径未必是弦
【详解】解：、在同圆或等圆中，两个半圆是等弧，故原命题错误，不符合题意；
、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确，符合题意；
、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
、直径一定是弦，故原命题错误，不符合题意．
故本题选：．
7．下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径．
故本题答案为：（1）（3）（4）．
考察题型三 与圆的半径有关的简单计算
1．如图，的半径为，，则弦的长为 ．
【详解】解：，，
为等边三角形，
．
故本题答案为4．
2．如图，是的半径，为上一点（且不与点、重合），过点作的垂线交于点．以、为边作矩形，连接．若，，则的长为
A．8B．6C．4D．2
【详解】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，
，
．
故本题选：．
3．如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于
A．B．C．D．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
，
，
，
而，
，
，
，
．
故本题选：．
4．如图，是的弦，，垂足为，，，则的度数为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
5．如图，是的直径，点在的延长线上，，交于点，且．
（1）求的度数．
（2）求的度数．
【详解】解：（1）如图，连接，
，，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
考察题型四 以圆为背景的最值问题
1．如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为 ．
【详解】解：如图，作的中点，连接，，，
在直角中，，
是直角斜边上的中点，
，
是的中点，是的中点，
．
，即，
最小值为5．
故本题答案为：5．
2．如图，等边中，，点是以为圆心，半径为1的圆上一动点，连接，取的中点，连接，则线段的最大值与最小值之和为 ．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，，．
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
线段的最大值与最小值之和为．
故本题答案为：．
考察题型五 点与圆的位置关系的判断
1．已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点
A．在内B．在上C．在外D．无法确定
【详解】解：点到圆心的距离为，而的半径为，
点到圆心的距离小于圆的半径，
点在圆内．
故本题选：．
2．以直角坐标系的原点为圆心，为半径作，则点与的位置关系是
A．在内B．在上C．在外D．不能确定
【详解】解：点，
，
点在上，
故本题选：．
3．已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系为
A．点在内B．点在上C．点在外D．不能确定
【详解】解：的根为，（舍去），
于是点到圆心的距离，而半径，
，
所以点在的外部，
故本题选：．
考察题型六 利用点与圆的位置关系求值、求参
1．已知的半径为，点在上，则的长为
A．B．C．D．
【详解】解：点在上，
．
故本题选：．
2．已知的半径为3，点在外，则的长可以是
A．1B．2C．3D．4
【详解】解：的半径为3，点在外，
的长大于3．
故本题选：．
3．已知，以为圆心，为半径作．若使点在内，则的值可以是
A．2B．3C．4D．5
【详解】解：已知，以为圆心，为半径作．若使点在内，
点到圆心的距离应该小于圆的半径，
圆的半径应该大于4．
故本题选：．
4．在数轴上，点所表示的实数为4，点所表示的实数为，的半径为2，要使点在内时，实数的取值范围是
A．B．C．或D．
【详解】解：的半径为2，若点在内，
，
点所表示的实数为4，
．
故本题选：．
5．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是
A．3B．4C．5D．6
【详解】解：在中，由勾股定理得，
点在内且点在外，
．
故本题选：．
6．如图，在中，，，点是的中点，若以点为圆心，为半径作，使点在内，点在外，试求的取值范围．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，
显然，
，，
，
，
点是中点，即是中位线，
，，
，
，
又，
的取值范围是．
7．在矩形中，，．
（1）若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？
（2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ．
【详解】解：（1）如图，连接，
，，
，
的半径为长，
点在上，点在外，点在外；
（2）以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
的半径的取值范围是，
故本题答案为：．
8．如图，矩形中，，．作于点．
（1）求的长；
（2）若以点为圆心作圆，、、、四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求的半径的取值范围．
【详解】解：（1）矩形中，，，
，
，
；
（2），
若以点为圆心作圆，、、、四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点在圆内，点在圆外，
的半径的取值范围为．
考察题型七 与点与圆的位置关系有关的最值问题
1．平面上一点与上的点的最短距离为2，长距离为10，则的半径为 ．
【详解】解：当点在圆内时，的直径长为，半径为6；
当点在圆外时，的直径长为，半径为4；
综上，的半径长为 6或4．
故本题答案为：6或4．
2．已知点为平面内一点，若点到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为 ．
【详解】解：当点在圆内时，则直径，因而半径是3；
当点在圆外时，直径，因而半径是2；
综上，的半径为2或3．
故本题答案为：2或3．
3．已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是 ．
【详解】解：如图，当点在圆外时，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径，
半径．
故本题答案为：2.5．
4．已知点是半径为4的上一点，平面上一点到点的距离为2，则线段的长度的范围为 ．
【详解】解：如图，
当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，最大值为；
当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，最小值为；
线段的长度的范围为．
故本题答案为：．
5．如图，点，的坐标分别为、，点为坐标平面内的一点，且，点为线段的中点，连接，则的最大值为
A．B．C．D．2
【详解】解：如图，作点关于点的对称点，
则点是的中点，
又点是的中点，
是△的中位线，
，
当最大时，最大，
点为坐标平面内的一点，且，
点在以为圆心，2为半径的上运动，
当经过圆心时，最大，即点在图中位置．
．
的最大值．
故本题选：．
6．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ．
【详解】解：点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为，
如图，取，连接，
，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，
，，
，
，
坐标为，
，即的最大值为，坐标为．
故本题答案为：．
考察题型八 四点共圆问题
1．如图，在中，，，的中点为．求证：，，，四点在以为圆心的圆上．
【详解】证明：如图，连接，，
，的中点为，
，
，，，四点在以为圆心，长为半径的圆上．
2．已知：如图，、是的高，为的中点．试说明点、、、在以点为圆心的同一个圆上．
【详解】证明：如图，连接、，
、分别是的高，为的中点，
，
点、、、在以点为圆心的同一圆上．
3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，设运动时间为秒．
（1）当时，的面积为 ；
（2）运动过程中，当、、、四点恰好在同一个圆上时，求的值．
【详解】解：（1）四边形是矩形，
，，，
由题意得：，，
，，
当时，，，，，
的面积，
故本题答案为：28；
（2），
、、三点在以为直径的圆上，
若点也在圆上，则，
，，，，
，解得：，，
当或时、、、四点恰好在同一个圆上．
1．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ．
【详解】解：点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为，
如图，取，连接，
，，
是的中位线，
，
故最大，即最大，
而当，，三点共线时，且在的延长线上时，最大，
，，
，
，坐标为，
，即的最大值为，坐标为．
故本题答案为：．
2．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，为上任意一点，是的中点，则的最小值是 ．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，
，，
，
点的运动轨迹是以为圆心半径为1的圆，
，，
，
，
的最小值．
故本题答案为：1.5．
3．如图，已知，为平面直角坐标系内两点，以点圆心的经过原点，轴于点，点为上一动点，为的中点，则线段长度的最大值为 ．
【详解】解：如图，作点关于点的对称点，连接，，，
由题意可得：，，，
，
，，
，
，
，
的最大值为，
的最大值为．
故本题答案为：．