专题08 简单事件的概率重难点题型专训（八大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 事件的可能性
题型二 根据概率公式计算概率
题型三 已知概率求数量
题型四 列表法求概率
题型五 列树状图法求概率
题型六 用频率估计概率
题型七 用频率估计概率的综合应用
题型八 概率的简单应用
【知识梳理】
1.确定事件与随机事件：
（1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2.可能性的大小：
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
3.概率的意义：
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
4.利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
【经典例题一 事件的可能性】
【例1】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）以下说法：
①掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上是不确定事件；
②将油滴入水中，油会浮在水面上是确定事件；
③一个袋子中装有红球8个，白球2个，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的可能性大；
④一粒种子埋在土里，给它阳光和水分，它会长出小苗是必然事件．
正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据可能性的大小以及事件的分类，对每一项进行分析, 即可得出答案．
【详解】解：①掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上是不确定事件，故该选项正确；
②将油滴入水中，油会浮在水面上是确定事件，∵油的密度小于水的密度，故该选项正确；
③一个袋子中装有红球8个，白球2个，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的可能性大，∵红球的个数更多，故该选项正确；
④一粒种子埋在土里，给它阳光和水分，它会长出小苗是不确定事件，故本选项不符合题意．
正确的说法有①②③，共3个；
故选：C．
【点睛】本题考查了可能性的大小以及事件的分类，熟练掌握可能性的大小以及随机事件的定义是解题的关键，可能性等于所求情况数与总情况数之比．
【变式训练】
1．（2023春·贵州·七年级统考期末）下列说法中正确的有（ ）
①打开电视，播放频道正好是贵州卫视是必然事件；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③互为邻补角的两个角一定互补；
④三个角分别相等的两个三角形全等；
⑤等腰三角形的高也是它顶角的中线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据事件分类，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，垂线的画法，互补的意义判断即可．
【详解】打开电视，播放频道正好是贵州卫视是随机事件，
故①错误；
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故②正确；
互为邻补角的两个角一定互补，
故③正确；
三个角分别相等的两个三角形不一定全等。
故④错误；
等腰三角形的底边上的高也是它顶角的角平分线，
故⑤错误．
故选B．
【点睛】本题考查了事件分类，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，垂线的画法，互补的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）用一副扑克牌中的张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件；
（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；
（2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；
（3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小；
解：我设计的方案如下：
“红桃” 张，“黑桃” 张，“方块” 张，“梅花” 张
【答案】
【分析】根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数为张，每一种都是整数，进而得出答案．
【详解】解：一共有张扑克牌，
满足（1），说明“黑桃”和“梅花”的张数相同，
满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的少，
满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要少，
因此黑色的牌要少于张，黑色的两种牌张数相同，
于是：①黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张．
∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张，
②黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张．
∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张，
③黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张．
∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张，
因此可能为：，，，或，，，或8，，，（不唯一），
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是正确解答的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件．
从口袋中任意取出一个球，是一个白球；
从口袋中一次任取个球，全是蓝球；
从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．
【答案】不确定事件；不可能事件；必然事件
【分析】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、篮球或白球，即可判断；
（2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，即可判断；
（3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，即可做出判断．
【详解】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、蓝球或白球，所以这个事件是不确定事件；
（2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，所以这个事件是不可能事件；
（3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，因此这个事件是必然事件．
【点睛】本题考查了不确定事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各种事件的概念是判断此类问题的依据．
【经典例题二 根据概率公式计算概率】
【例2】（2023春·全国·七年级期末）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：反应的化学方程式为，
与的原子个数比为，与的原子个数比为，
反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O，
画出树状图如下：

共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2，
∴反应生成的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
【变式训练】
1．（2023·山东济南·统考二模）将一个棱长为4的正方体的表面涂成灰色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据题意得出恰有三个面涂有灰色的有8个，再利用概率公式求出答案．
【详解】解：由题意可得：小立方体一共有64个，恰有三个面涂有灰色的有8个，
故取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面涂有灰色小立方体的个数是解题关键．
2．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球，它们除颜色外其它都相同，那么
（1）从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的概率是 ．
（2）从布袋中一次摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 ．
【答案】 / /
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有可能出现的结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的结果有3种，
恰好是红球的概率为：，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表知，共有20种可能出现的结果，其中另个颜色相同的结果有8种，
所以这两个球颜色相同的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式和利用列表法和画树状图法求概率，注意列表法和画树状图法不要遗漏和重复出现的结果是解题的关键．
3．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是2，2，3，5，这些小球除标有的数字外都相同．
(1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是2的概率为________；
(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用概念的公式直接计算即可；
（2）先画树状图，找出所有的等可能结果和符合条件的等可能结果，再计算即可；
【详解】（1）解：从袋中随机摸出一个小球，一共有4种等可能的结果，摸出的这个小球上标有的数字是2的结果有2种，
因此，摸出的这个小球上标有的数字是2的概率，
故答案为：
（2）解：画树状图如下：

从树状图可以看出：一共有16种等可能的结果，摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的结果有4种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率为：，
答：摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率．
【点睛】本题考查了公式法求概率，画树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
【经典例题三 已知概率求数量】
【例3】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球是白球的概率是，则口袋中白球的数量是（ ）
A．20B．24C．30D．36
【答案】A
【分析】设白球的个数是，根据概率公式列出方程，求得答案即可．
【详解】解：设白球的个数是，
根据题意得：，
解得：，经检验是原方程的解，
即：口袋中的白球有20个，
故选：A．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·九年级专题练习）一个不透明的口袋中，装有5个黄球、4个蓝球和若干个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球是黄球的概率是，则从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先设口袋中红球的个数为x个，根据题意求得红球个数即可求出摸到红球的概率．
【详解】解∶设布袋中红球的个数为x个，
∵任意摸出一个球是黄球的概率是，
∴，
解得∶x=1，
∴P（摸到红球）=．
故选A．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，记住概率公式是解题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有 个．
【答案】15
【分析】设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋子中黄球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中黄球约有15个，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．
3．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）
(1)甲顾客购物元，他获得奖券的概率是___________；
(2)乙顾客购物元，并参与该活动，他获得元和元奖券的概率分别是多少？
(3)为加大活动力度，现商场想调整获得元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）用消费的钱数和元比较即可确定能否参与抽奖，不能参加抽奖则获得奖金的概率为；
（2）用概率公式求解即可；
（3）设需要将个黄色区域改为红色，根据元奖券的概率为列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴小明购物元，不能获得转动转盘的机会，
∴小明获得奖金的概率为；
故答案为：．
（2）解：乙顾客购物600元，能获得一次转动转盘的机会，
由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种，
所以指针指向红色的概率为，
指针指向黑色的概率为，
所以他获得元和元奖券的概率分别为，．
（3）解：设需要将个黄色区域改为红色，
则由题意得，，
解得：，
所以需要将个黄色区域改为红色．
【点睛】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【经典例题四 列表法求概率】
【例4】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，落在直角坐标系y轴正半轴上的情况有2种，
所以点落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）一项“过关游戏”规定：抛掷一枚质地均匀的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6的正方体骰子，在第n关要抛掷骰子n次.如果第n次抛掷所得的点数之和大于n2就算过关，那么某人连过前两关的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据概率公式求出第一关通过的概率，再用列表法列表得出所有等可能结果，从中找到出现的点数之和大于4的结果数，再根据概率公式求出第二关通过的概率，两者相乘即可得出结论．
【详解】解：第一关通过时，掷出的点数必大于1，
而1，2，3，4，5，6这六个数中大于1的有5个，
所以第一关通过的概率为：；
再计算通过第二关的概率：列表如下：
共有36种等可能的结果数，其中出现的点数之和大于4的结果数为30，
∴某人连过前两关的概率是，
所以，两关全通过的概率为：．
故选：A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 ．
【答案】
【分析】表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列出表格如下：
由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果，
某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
3．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）一个游戏转盘如图，游戏规则是：自由转动转盘，若指针落在灰色扇形内则获奖，落在白色扇形内不获奖．已知灰色扇形的圆心角为120°．

(1)若苗苗和窦窦准备各玩一次转盘游戏，请用树状图或列表法求出两人都获奖的概率．
(2)圣诞节一天，参加该游戏的共有723人，估计当天获奖的人数．
【答案】(1)
(2)241人．
【分析】（1）列表法求概率即可；
（2）利用概率公式进行求解即可．
【详解】（1）解：用表示灰色扇形，用表示白色扇形，列表如下：
共有4种等可能的结果，其中苗苗和窦窦都中奖的结果只有1种，
∴；
（2）由题意，玩一次转盘游戏中奖的概率为：，
∴估计当天获奖的人数为人．
【点睛】本题考查概率的应用．解题的关键是掌握概率的计算公式以及列表法求概率．
【经典例题五 列树状图法求概率】
【例5】（2023春·安徽·九年级专题练习）班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在C座位，三位同学随机坐在三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种，即，
∴甲、乙两位同学座位相邻的概率为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式训练】
1．（2023·河南濮阳·统考一模）某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容．一班推荐李明与张颖参加手抄报评比，他们两人选取同一个主题的概率是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中李明与张颖他们两人选取同一个主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中李明与张颖两人选取同一个主题的结果有4种，
∴李明与张颖两人选取同一个主题的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
2．（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有到的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 ．
【答案】
【分析】由题意画树状图，可得共有36种等可能的结果，然后求出在直线上的点的坐标，最后计算求解即可．
【详解】解：由题意画树状图如下：

共有36种等可能的结果，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
∴在直线上的点的坐标为，，共个，
∴点、落在直线上的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，一次函数．解题的关键在于列举所有可能存在的情况．
3．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫家，D．洗衣服．要求每个学生必须且只能选择一项参加，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：

(1)本次接受抽样调查的总人数是 人；
(2)请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
(3)该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有 人；
(4)小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《熊出没之伴我熊芯》（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率．
【答案】(1)120
(2)见解析
(3)390
(4)
【分析】（1）用B组或D组的人数除以它们所占的百分比即可；
（2）先求出C组人数和A组所占百分比，再补全统计图即可；
（3）将A组所占百分比乘以参加活动的学生总数即可；
（4）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】（1）∵B组45人，占百分比为37.5%，
∴接受抽样调查的总人数是：（人），
故答案为：120；
（2）C组人数为：（人），
A组人数所占百分比为：，
补全统计图如下：

（3）∵（人），
∴估计该校参加A项目的学生有390人，
故答案为：390；
（4）画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的有2种可能的结果，
∴P（两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”）．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计图的意义和列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
【经典例题六 用频率估计概率】
【例6】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），开元同学想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为
由已知得：长方形面积为 ，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，
综上有：，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率；本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．
【变式训练】
1．（2023春·九年级单元测试）甲，乙两位同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示．则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任取一个球，取到红球的概率
B．在内任意写出一个整数，能被2整除的概率
C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
【答案】A
【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
【详解】解：A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是： ，故该选项符合题意；
B、任在内任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故该选项不符合题意；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故该选项不符合题意；
D、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正确计算出各自的概率是解题的关键．
2．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）一名球员在罚球线上投篮的结果记录如下表：
先将表中数据补全（精确到）；根据以上数据可以估计，这名球员投篮一次．投中的概率约是 （精确到）．
【答案】
【分析】用投中的次数除以投篮的次数即可补全表中数据；根据表中数据可得，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0．50附近，
【详解】解：，
由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
3．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
(1)上表中的_________，_________；
(2)“摸到白球”的概率的估计值是_______(精确到)；
(3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
【答案】(1)0.58，118
(2)0.6
(3)10个
【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
【详解】（1），，
故答案为：0.58，118；
（2）由表格的数据可得，
“摸到白球的”的概率的估计值是0.6．
故答案为：0.6；
（3）(个)，
答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【经典例题七 用频率估计概率的综合应用】
【例7】（2023春·全国·七年级期末）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（ ）
A．80个B．75个C．70个D．60个
【答案】C
【分析】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可．
【详解】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子，
∴摸到黑色棋子的概率约为，
∴摸到白色棋子的概率约为，
∵共有10可黑色棋子，
∴设有个白色棋子，则，
解得：，经检验是分式方程的解，
故选：C．
【点睛】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）
A．当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的概率是
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率一定是
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是
D．当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率一定是．
【答案】C
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的频率是，概率不一定是，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率不一定是，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率不一定是，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
2．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：
可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到0.001），由此估计的近似值为 （精确到0.001）．
【答案】
【分析】根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可．
【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近与0.318，
∴相交的概率为0.318；
∵，
∴，
∴，
解得：
故答案为：①；②
【点睛】题目主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键．
3．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）一个口袋中装有个白球、个红球，这些球除颜色外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀，求：
(1)随机摸出一球，发现是白球．
如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ；
如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ；
(2)如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的红球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，请你估计加入______ 个白球．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①摸出一个白球放回对第二次摸到白球没有影响，直接利用概率公式求解即可；
②确定摸出一个白球不放回的白球和红球的个数，直接利用概率公式求解即可；
（2）估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：（1）①如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是；
②如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是；
故答案为：①；②
（2）解：设加入个白球，
根据题意得：，
解得，
经检验是方程的解，
估计加入个白球．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的公式和利用频率估计概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
【经典例题八 概率的简单应用】
【例8】（2023秋·九年级单元测试）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜
C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得6分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
【答案】A
【分析】利用列表法分别求出各选项中各自情况情况数即可得出答案．
【详解】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意；
取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意；
取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意；
取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·九年级单元测试）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（ ）
A．①②④③B．③②④①C．③④②①D．④③②①
【答案】A
【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③，
故选A．
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌市一中校联考期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论．
【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键．
3．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？
_________填，或
材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是_________．
材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是_________．

【答案】材料一：；材料二：；材料三：
【分析】材料一：在，，，，，，，中，的倍数有个，的倍数有个，分别求得摸到的倍数与摸到的倍数的概率；即可得答案；
材料二：根据转盘被等分成份，转盘停止后，指针对准每分的可能性相同，可得顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是，
材料三：用扇形区域的圆心角除以即可得到答案．
【详解】解：材料一：在，，，，，，，中，的倍数有个，的倍数有个，
摸出每张纸牌的可能性相同，
摸到的倍数，摸到的倍数；
出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，
，
故答案为：；
材料二：转盘被等分成份，
转盘停止后，指针对准每分的可能性相同，
转盘停止后，指针对准绿色区域，顾客就可以获得元的购物券，
顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是；
故答案为：．
材料三：由图形可知，扇形区域的圆心角为，
转盘停止后指针落在区域的概率是
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的应用，解题的关键是掌握概率公式求概率．
【重难点训练】
1．（2023春·山东济南·七年级校联考期中）“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角”这一事件是（ ）
A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．以上都不是
【答案】B
【分析】根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角，以及必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．
【详解】解：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角是必然事件，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，口袋外有两个小球，分别写有数字3，6，现随机从口袋里取出一个小球，以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】由题意可知共有4种等可能的结果，再由三角形的三边关系和等腰三角形的判定得出能构成等腰三角形的有1种情况，然后由概率公式求解即可．
【详解】解：∵一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6,
∴共有4种等可能的结果，
∴这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的有：3，6，6，
共1种情况，
∴能构成等腰三角形的概率是，
故选：A．
【点睛】此题考查了概率公式、等腰三角形的判定以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
3．（2023春·山东威海·七年级统考期末）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：整个图形面积，
阴影部分面积，
∴小球停在阴影区域的概率，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
4．（2023秋·黑龙江大庆·八年级校联考开学考试）一天晩上，小伟帮助妈妈清洗四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟随机将其中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起．则这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯分别记作；；；，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯分别记作；；；，
列表如下：
共有16种等可能出现的结果，其中这个茶杯颜色搭配恰好正确的有4种结果，
这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
5．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积．
【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率．
设不规则图案的面积为xcm2，则有
解得：x=14
即不规则图案的面积为14cm2．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．
6．（2023春·吉林松原·八年级校考阶段练习）一个口袋中有15个黑球和若干个白球，从口袋中一次摸出10个球，求出黑球数与10的比值，不断重复上述过程，总共摸了10次，黑球数与10的比值的平均数为，因此可估计口袋中大约有 个白球.
【答案】60
【分析】把作为黑球与总数的比，用15除以求出总数，减去黑球数即为所求．
【详解】解：由题意知，黑球数与10的比值的平均数为，则说明黑球占总球数的，
所以总球数为个，则白球数为个．
故答案为：
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系求得球的总个数．
7．（2023·辽宁辽阳·校联考三模）如图，三角形纸板，点M，N分别是中点，点D，E在上，连接、，，小明随机向纸板内投掷飞镖一次，飞镖落在阴影部分的概率是 ．

【答案】
【分析】求出飞镖落在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与三角形的面积之比即可．
【详解】解：连接，设与交于点O．

设，中边上的高为h，则，
∵点M、N分别是，中点，
∴，中边上的高为，梯形的高为,
∴．
在与中，
，
∴，
∴，中边上的高为，中边上的高为，
∵，
∴
，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．也考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积．
8．（2023春·江苏南京·八年级校联考期中）八年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）．
【答案】③
【分析】分别求出三个事件的概率，再比较大小即可得到答案．
【详解】解：①抽到的学号是奇数的可能性为；
②抽到的学号是个位数的可能性为；
③抽到的学号不小于35的可能性为，
，
发生可能性最小的事件为为③，
故答案为：③．
【点睛】本题主要考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
9．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是 ．

【答案】
【分析】设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：设大正方形的边长为，
，
大正方形的面积，
小球停留在阴影部分的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
10．（2023春·贵州·七年级统考期末）数学小组用某种油菜籽在相同条件下进行了10次独立的发芽试验，结果如表：
则估计该种油菜籽发芽的概率约为 ．（精确到）
【答案】
【分析】求各频率的平均数，后精确到即可．
【详解】根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了了用频率估计概率，熟练掌握频率的平均数估计概率是解题的关键．
11．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）一个不透明的口袋中有4个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．
(1)求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是______；
(2)请利用画树状图或列表法的方法，求两次摸出球上的数字的和为奇数的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列出表格，共有16种等可能的结果，其中两次摸出球上的数字的和为奇数的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）∵4个球上的数有1个偶数，
∴第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出球上的数字的和为奇数的结果有6种，
∴两次摸出球上的数字的和为奇数的概率．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）某校九年级名学生参加“信息素养提升”培训，在培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并将成绩记为“分”、“分”、“分”、“分”、“分”五种等级为了解培训效果，随机抽取了名学生的两次测试成绩，并制成如下统计表格：
若被抽取的学生培训前测试成绩的中位数是，培训后测试成绩的中位数是，则
(1) ______ ；填“”、“”或“”
(2)这名学生在培训后仍有四名学生的测试成绩为“分”，其中两人是小林和小王，现要从这四名学生的试卷里任选两份出来点评，求恰好同时选到小林和小王的概率是多少？
(3)请你估计九年级名学生经过培训后，测试成绩为“分”的学生能增加多少人？
【答案】(1)
(2)
(3)测试成绩为“分”的学生增加了人
【分析】（1）根据中位数的定义即可得到结论；
（2）画树状图，共有种等可能的结果，其中同时选到小林和小王的概率的结果有种，再由概率公式求解即可．
（3）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：培训前测试成绩的中位数，培训后测试成绩的中位数，
；
故答案为：；
（2）解：设小林和小王分别为，，其他两同学为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好同时选到小林和小王的结果有种，
恰好同时选到小林和小王的概率为．
（3）解：培训前：，培训后：，
，
答：测试成绩为“分”的学生增加了人．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，中位数，求概率，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
13．（2023·四川眉山·校考三模）为落实国家“双减政策”，真正做到减时增效，学校九年级举行了半期质量监测．为了解本次质量监测中数学学科的情况，数学李老师随机抽查了部分同学的数学成绩（折合成百分制）进行整理、描述和分析（单位：分）：
首先，李老师将成绩分为四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

说明：A（优秀），B（良好），C（合格），D（不合格），扇形C的圆心角为直角．
然后，李老师核查到D组四位同学的得分分别是68，54，65，59．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)李老师本次抽样调查的样本容量是 ，请帮李老师补全条形统计图；
(2)D组数据的平均数为 ，中位数为 ；
(3)已知D组中只有两名男生，李老师准备随机回访D组中的任意两名同学，帮助他（她）们查漏补缺，提高数学成绩，请你用画树状图或列表的方法求出李老师回访到的两名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)40，图见解析
(2)，62
(3)
【分析】（1）用C等级的人数除以C组所占的百分比，即可求出样本容量；用样本容量乘以B组所占百分比，即可求出B组人数，用样本容量减去B组、C组、D组的人数，即可得出A组的人数，根据所求补充条形统计图即可；
（2）将D组四位同学的得分相加的和除以4，即可求出平均数；将D组四位同学的得分按大小排序，求第二个和第三个同学的平均数，即可得出中位数；
（3）根据题意，画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵扇形C的圆心角为直角，
∴样本容量（人），
∴B等级的人数：（人），
A等级的人数：（人），
条形统计图补全为：

（2）解：D组数据平均数为：，
将D组数据按大小排序为：54，59，65， 68．
∴D组数据中位数为：．
故答案为：，62；
（3）解：画树状图：

共有12种情况，其中恰好为一男一女的有8种，
所以，两名同学恰好为一男一女的概率是
．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求平均数和中位数，根据树状图求概率，解题的关键是正确理解题意，从统计图中获取正确数据，掌握平均数和中位数的定义，以及用树状图求概率的方法和步骤．
14．（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）为响应国家“双减”政策，增强学生体质，某校对学生设置了体操、球类、跑步、游泳等课外体育活动，为了了解学生对这些项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计并绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）．

(1)在这次问要调查中，一共抽查了______名学生；
(2)补全频数分布直方图．
(3)估计该校1200名学生中有多少名喜爱跑步项目；
(4)球类教练在制定训练计划前，将从最喜欢球类项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或两树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
(4)，树状图见详解
【分析】（1）根据其他的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数；
（2）根据（1）中的结果可以求得喜爱游泳人数，从而可以条形统计图补充完整，并求得扇形统计图中“体操”所对应的圆心角度数；
（3）根据统计图中的数据可以求得该校名学生中有多少人喜爱跑步项目；
（4）画树状图展示所有种等可能的结果，再出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1），即在这次问卷调查中，一共抽查了80名学生，
故答案为：80；
（2）喜爱游泳的学生有：（人），
补全图形如图所示：

（3）（人），
答：该校1200名学生中有150人喜爱跑步项目．
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（2023春·江苏南京·九年级校考阶段练习）某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
(1)表中________ ________；
(2)请在图中补全频数分布直方图：
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，则恰好是一名男生和一名女生的概率为________．
【答案】(1)．
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数，变形计算，求出m、n的值．
（2）根据(1)中的数据补全图形．
（3）根据中位数的概念即一组有序数据的中间一个数据或中间两个数据的平均数求解可得．
（4）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．
【详解】（1）根据题意，得，
故答案为：．
（2）根据，补全图形如下：
．
（3）由于共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，
而第20、21个数据都落在内，
∴推测他的成绩落在分数段内，
故答案为：．
（4）画树状图：

共有12种结果，其中一男一女的结果有8种，
∴恰好是一名男生和一名女生的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、频数分布表以及中位数的定义．熟练掌握中位数，直方图，画树状图计算概率是解题的关键．
红
红
红
黄
黄
红
（红，红）
（红，红）
（黄，红）
（黄，红）
红
（红，红）
（红，红）
（黄，红）
（黄，红）
红
（红，红）
（红，红）
（黄，红）
（黄，红）
黄
（红，黄）
（红，黄）
（红，黄）
（黄，黄）
黄
（红，黄）
（红，黄）
（红，黄）
（黄，黄）
颜色
红
蓝
黑
奖券金额（元）
20
50
80
2
0
3
（2，3）
（0，3）
（，3）
2
（2，2）
（0，2）
（，2）
（2，）
（0，）
（，）
（2，）
（0，）
（，）
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
思想政治
地理
化学
生物
思想政治
思想政治，地理
思想政治，化学
思想政治，生物
地理
地理，思想政治
地理，化学
地理，生物
化学
化学，思想政治
化学，地理
化学，生物
生物
生物，思想政治
生物，地理
生物，化学
A
B
A
A，A
A，B
B
B，A
B，B
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.59
0.59
0.60
0.601
试验次数
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
相交频数
495
623
799
954
1123
1269
1434
1590
相交频率
0.3300
0.3115
0.3196
0.3180
0.3209
0.3173
0.3187
0.3180
每次粒数n
2
5
10
70
130
310
700
1500
2000
3000
发芽的粒数m
2
4
9
60
116
282
639
1339
1806
2715
发芽的频率
1
1
2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
5
5
3
4
5
6
6
3
4
5
6
6
训前
成绩分





划记
正正
正
正
人数人





培训后
成绩分





划记
一
正
正正正
人数人





分数段
频数
频率
2
m
12
14
n
4