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苏科版（2024）九年级上册2.1 圆当堂达标检测题
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这是一份苏科版（2024）九年级上册2.1 圆当堂达标检测题，共61页。试卷主要包含了5 直线与圆的位置关系，5°C．20°D．25°，5D．2，5π，5．等内容，欢迎下载使用。
三角形的内切圆 & 切线长定理
知识点一
三角形的内切圆
圆的轴对称性
◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.
【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.
◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形.
◆4、三角形外心、内心的区别：
知识点二
切线长及切线长定理
◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
【注意】
①切线是直线，不能度量．
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
◆2、切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，
∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB.
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
题型一 切线长定理的应用
【例题1】（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【变式1-1】（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-2】如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9B．7C．11D．8
【变式1-3】（2022秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【变式1-4】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°
①求△PEF的周长；
②求∠EOF的度数．
【变式1-5】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；
②连AE，BE，求∠AEB．
题型二 三角形内切圆中求角度
【例题2】（2022秋•东城区期中）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（ ）
A．99°B．102°C．104°D．152°
【变式2-1】（2022•莱州市一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（ ）
A．50°B．52°C．54°D．56°
【变式2-2】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【变式2-3】如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，F，P是DF上一点，则∠EPF的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【变式2-4】（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．25°
【变式2-5】（2023•陇县一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．80°
题型三 三角形内切圆中求线段长
【例题3】（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 ．
【变式3-1】（2022秋•同心县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝4，AC＝10，BC＝14，则BD长为 ．
【变式3-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【变式3-3】如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．
【变式3-4】（2022秋•津南区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；
（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．
题型四 三角形内切圆中求半径
【例题4】（2023•天心区校级三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．2C．1.5D．2
【变式4-1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（ ）
A．3B．5C．32D．52
【变式4-2】（2023•邵阳县一模）如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．32B．1C．233D．2
【变式4-3】（2022秋•齐河县期末）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，△ADB的内切圆半径是（ ）
A．12B．5（2−1） C．5（2+1） D．522
题型五 三角形内切圆中求面积
【例题5】（2023春•江岸区校级月考）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知
AB＝13，AC＝5，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，则花圃的面积为 ．
【变式5-1】（2022秋•河西区校级期末）如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
若AF＝10，BE＝3，则△ABC的面积为 ．
【变式5-2】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（ ）
A．4πB．43πC．23πD．163π
【变式5-3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积 （结果保留π）．
【变式5-4】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．0.5π
题型六 直角三角形周长、面积与内切圆的关系
【例题6】（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（ ）
A．2B．3C．4D．无法判断
【变式6-1】（2023•沭阳县一模）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ．
【变式6-2】（2022秋•防城港期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径
为 步．
【变式6-3】（2022秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC=52，CA＝2，则⊙O的半径是 ．
【变式6-4】（2022秋•天河区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
题型七 三角形内切圆中求最值
【例题7】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．
【变式7-1】（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 ．
【变式7-2】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．
（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．
题型八 三角形内切圆的综合应用问题
【例题8】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝ ；∠AEB＝ ．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是⊙O的切线．
【变式8-1】（2022•平原县模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径．
【变式8-2】（2023•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．
（1）求证：l是⊙O的切线；
（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．
【变式8-3】（2022秋•江夏区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．
（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；
（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=3AD．
【变式8-4】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝ ；∠AEB＝ ．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是⊙O的切线．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.5 直线与圆的位置关系（2）
三角形的内切圆 & 切线长定理
知识点一
三角形的内切圆
圆的轴对称性
◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.
【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.
◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形.
◆4、三角形外心、内心的区别：
知识点二
切线长及切线长定理
◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
【注意】
①切线是直线，不能度量．
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
◆2、切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，
∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB.
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
题型一 切线长定理的应用
【例题1】（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
【变式1-1】（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
【变式1-2】如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9B．7C．11D．8
【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．
【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得
CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．
则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．
故选：C．
【点评】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
【变式1-3】（2022秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故选：C．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
【变式1-4】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°
①求△PEF的周长；
②求∠EOF的度数．
【分析】①根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，由PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF即可求出答案．
②连接OE，OF，求出∠OEF+∠OFE的度数，即可得出∠EOF的度数．
【解答】解：①∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
又∵直线EF是⊙O的切线，
∴EB＝EQ，FQ＝FA，
∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+FA＝PA+PB＝2PA＝24cm；
②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，
则∠OEF+∠OFE=12（∠P+∠PFE）+12∠（P+∠PEF）=12（180°+40°）＝110°，
∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．
【点评】本题考查了切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
【变式1-5】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；
②连AE，BE，求∠AEB．
【分析】（1）根据切线长定理和三角形的周长可解答；
（2）①先根据三角形内角和定理可得∠PCD+∠PDC＝140°，由平角的定义得∠ACD+∠BDE＝220°，由切线长定理：圆外一点与圆心的连线平分切线所成的夹角可得∠ACO＝∠DCO=12∠ACD，∠BDO＝∠EDO=12∠BDE，从而可以解答；
②根据平角的定义和三角形的内角和定理可解答．
【解答】解：（1）∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点，
∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD，
∵△PCD的周长为10，
∴PC+CD+PD＝10，
∴PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝2PA＝10，
∴PA＝5；
（2）①∵∠P＝40°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠ACD+∠BDE＝360°﹣140°＝220°，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点，
∴∠ACO＝∠DCO=12∠ACD，∠BDO＝∠EDO=12∠BDE，
∴∠OCD+∠ODC=12×220°＝110°，
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°；
②∠AEB＝180°﹣∠AEC﹣∠BED
＝180°−180°−∠ACD2−180°−∠BDE2
＝180°﹣90°+12∠ACD﹣90°+12∠BDE
=12×220°
＝110°．
【点评】本题考查的是切线长定理，三角形内角和定理，掌握切线长定理是解题的关键．
题型二 三角形内切圆中求角度
【例题2】（2022秋•东城区期中）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（ ）
A．99°B．102°C．104°D．152°
【分析】先利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝152°，再利用点I是△ABC的内心可得BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，从而可求出∠IBC+∠ICB，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠A＝28°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°，
∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=12∠ABC+12∠ACB
=12（∠ABC+∠ACB）
＝76°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣76°
＝104°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键．
【变式2-1】（2022•莱州市一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（ ）
A．50°B．52°C．54°D．56°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠IBC+∠ICB＝64°，根据内心的概念得到∠ABC+∠ACB＝128°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠I＝116°，
∴∠IBC+∠ICB＝64°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
【变式2-2】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【分析】先利用切线的性质得∠IDA＝∠IFA＝90°，则根据四边形的内角和得到∠A+∠DIF＝180°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵圆I是△ABC的内切圆，
∴ID⊥AB，IF⊥AC，
∴∠IDA＝∠IFA＝90°，
∴∠A+∠DIF＝180°，
∵∠DIF＝140°，
∴∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握内心定义．
【变式2-3】如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，F，P是DF上一点，则∠EPF的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠EPF=12∠EOF＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2-4】（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．25°
【分析】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC=∠OCB=12×(180°−∠BOC)=12×(180°−140°)=20°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式2-5】（2023•陇县一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．80°
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC∠+∠CBA＝180°﹣∠C＝100°，由M为△ABC内心，得AM、BM为∠CAB、∠ABC的平分线，则有∠BAM+∠ABM=12（∠ABC+∠BAC）=12（180°﹣∠C）＝50°，根据三角形外角的性质得∠AMN＝∠BAM+∠ABM，再根据三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝80°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∴∠ANB＝80°，
∵M为△ABC的内心，
∴AM、BM为∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠BAM=12∠BAC，∠ABM=12∠ABC，
∴∠BAM+∠ABM=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）＝50°，
∴∠AMN＝50°，
在△AMN中，∠MAN＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣50°﹣80°＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，三角形内角和定理，外角的性质，三角形内心的性质是解题的关键．
题型三 三角形内切圆中求线段长
【例题3】（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 ．
【分析】由切线长定理得AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，根据已知条件，先求出BD，即BF的长，再求出CE＝4，即CF的长，求和即可．
【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，
∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．
【点评】本题考查的是切线长定理，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
【变式3-1】（2022秋•同心县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝4，AC＝10，BC＝14，则BD长为 ．
【分析】根据切线长定理可得AF＝AD，CF＝CE，BD＝BE，然后求解即可．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，
∴AF＝AD＝4，CF＝CE，BD＝BE，
∵AC＝10，
∴CF＝AC﹣AF＝10﹣4＝6，
∵BC＝14，
∴BE＝BC﹣CE＝14﹣6＝8，
∴BD＝BE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，主要利用了切线长定理，熟记定理是解题的关键．
【变式3-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【分析】根据勾股定理可得AB的长，然后根据三角形面积可以求出⊙O的半径，再根据切线的性质可得AD的长．
【解答】解：如图，连接OD、OE、OF，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB=AC2+BC2=122+52=13，
设OE＝OF＝OD＝r，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴13r+12r+5r＝12×5，
解得r＝2，
∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝13﹣3＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
【变式3-3】如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．
【分析】由切线长定理，可知：AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，用未知数设AD的长，然后表示出BD、CF的长，即可表示出BE、CE的长，根据BE+CE＝7，可求出AD的长进而求出BE、CF的长．
【解答】解：假设AD＝x，
∵⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F；
∴根据切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，
∴AF＝x，
∵AB＝5，AC＝6，BC＝7，
∴BE＝BD＝AB﹣AD＝5﹣x，FC＝EC＝AC﹣AF＝6﹣x，
∴BC＝BE+EC＝5﹣x+6﹣x＝7，
解得：x＝2，
∴AD＝2，BE＝BD＝5﹣2＝3，CF＝AC﹣AF＝6﹣2＝4．
【点评】此题主要考查了切线长定理以及三角形内切圆的性质，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程求解是解题关键．
【变式3-4】（2022秋•津南区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；
（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．
【分析】（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，可得结论；
（2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：（1）∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠DBO=12∠ABC，∠DCO=12∠ACB，
∴∠DBO+∠DCO=12∠ABC+12∠ACB==12（∠ABC+∠ACB）＝62.5°
∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠DBO+∠DCO）＝180°﹣62.5°＝117.5°；
（2）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE，
设AE＝x，BD＝y，CD＝z，
又∵AB＝13，BC＝11，AC＝10，
∴x+y=13x+z=10y+z=11，
解得x=6y=7z=4，
∴AF＝6；
【点评】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型四 三角形内切圆中求半径
【例题4】（2023•天心区校级三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．2C．1.5D．2
【分析】作辅助线如解析图，根据S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC，代入数据求解即可．
【解答】解：如图，设⊙O与△ABC的各边分别相切于点E、F、G，连接OE，OF，OG，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，OE＝OF＝OG＝r，
∵S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC，
=12AB•r+12AC•r+12BC•r，
=12（AB+AC+BC）•r，
又△ABC的周长为18，面积为9，
∴9=12×18•r，
∴r＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键．
【变式4-1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（ ）
A．3B．5C．32D．52
【分析】根据等腰三角形的性质可得BD＝CD＝3，根据切线长定理和勾股定理可得CE＝3，进而可求内切圆的半径．
【解答】解：如图，
根据题意，得
AB＝AC＝5，BC＝6，
设圆O是等腰三角形ABC的内切圆，BC切圆于点D，AC切圆于点E，
连接AD，OE，
∴AD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD＝CD=12BC＝3，
∴AD=AC2−CD2=4，
根据切线长定理可知：
CE＝CD＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝2，
设OD＝OE＝x，则AO＝4﹣x，
在Rt△AOE中，根据勾股定理，得
（4﹣x）2＝x2+22，
解得x=32．
∴内切圆O的半径为32．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
【变式4-2】（2023•邵阳县一模）如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．32B．1C．233D．2
【分析】由切线的性质得到OM⊥BC，ON⊥AB，又OM＝ON，推出OB平分∠ABC，同理：OC平分∠ACB，由等边三角形的性质推出△OBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质求出BM的长，由锐角的正切即可求出OM的长．
【解答】解：如图，⊙O分别与AB、BC相切于N、M，
连接OB，OC，OM，ON，
∴OM⊥BC，ON⊥AB，
∵OM＝ON，
∴OB平分∠ABC，
同理：OC平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝4，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴OB＝OC，
∵OM⊥BC，
∴BM=12BC＝2，
∵tan∠OBM=OMBM=33，
∴OM=233，
∴⊙O的半径是233．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，角平分线的判定，解直角三角形，关键是由切线的性质，角平分线性质定理的逆定理推出OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，得到△OBC是等腰三角形．
【变式4-3】（2022秋•齐河县期末）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，△ADB的内切圆半径是（ ）
A．12B．5（2−1） C．5（2+1） D．522
【分析】首先根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∠ACD＝∠BCD再利用勾股定理计算出BC，AD的长，可得△ABD等腰直角三角形，设△ABD内切圆的半径为rcm，根据切线长定理列出52−r+52−r＝10，进而可以解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC=AB2−AC2=8（cm），
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AD2，
∴AD2+AD2＝102，
∴AD＝52cm，
∴AD＝BD＝52cm；
∴△ABD等腰直角三角形，
设△ABD内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为rcm，
得正方形DGIE，
∴AE＝AF＝BG＝BF＝AD﹣DE＝（52−r）cm，
∴52−r+52−r＝10，
解得r＝5（2−1）cm，
∴△ADB的内切圆半径是5（2−1）cm．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，三角形内切圆与内心，勾股定理的应用，关键是掌握圆周角定理．
题型五 三角形内切圆中求面积
【例题5】（2023春•江岸区校级月考）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知
AB＝13，AC＝5，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，则花圃的面积为 ．
【分析】根据AB＝13，AC＝5，BC＝12，得出AB2＝BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径，问题随之得解．
【解答】解：∵AB＝13，AC＝5，BC＝12，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径为：12+5−132=2，
则花圃的面积为：22×π＝4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查了直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．解题的关键是根据勾股定理的逆定理作答．
【变式5-1】（2022秋•河西区校级期末）如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
若AF＝10，BE＝3，则△ABC的面积为 ．
【分析】根据切线长定理，得出BD＝BE，AF＝AD，设CE＝x，根据勾股定理得出x，再求得△ABC的面积即可．
【解答】解：∵⊙I是直角△ABC的内切圆，
∴BD＝BE，AF＝AD，
∵AF＝10，BE＝3，
∴BD＝3，AD＝10，
设CE＝x，则CF＝x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x+10）2+（x+3）2＝132，
解得x1＝﹣15，x2＝2，
∴CE＝2，
∴BC＝5，AC＝12，
∴S△ABC=12AC•BC=12×5×12＝30，
故答案为30．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，以及切线长定理，勾股定理，熟记切线长定理的内容是解题的关键．
【变式5-2】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（ ）
A．4πB．43πC．23πD．163π
【分析】根据题意画出等边三角形ABC与内切圆O．首先根据三角形面积计算公式求出S△ABC，再观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算半径，根据面积公式计算即可．
【解答】解：设⊙O与△ABC相切于D，E，F，连接CD，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴CD过点O，CD⊥AB，
∴CD=32AB＝23，
∴S△ABC=12AB•CD＝43，
设内切圆半径为r，
∴S△ABC=12（AB+BC+AC）r＝43，
∴r=233，
∴内切圆面积＝π×（233）2=43π．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键．
【变式5-3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积 （结果保留π）．
【分析】根据AB＝CB，AD＝CD，得出BD为AC的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得∠ABC＝60°，进而得出△ABC为等边三角形；利用∠ACD＝30°，得出△BCD为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形ABC的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
【解答】解：如图，设AC与BD交于点F，△ABC的内心为O，连接OA．
∵AB＝CB，AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线．
∴AC⊥BD，AF＝FC．
∵AB＝BC，BF⊥AC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°．
∴∠ABC＝60°．
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
∵∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+60°＝90°．
∵CD＝AD＝1，
∴BC=3．
∴AB＝BC＝AC=3．
∵AB＝BC，BF⊥AC，
∴AF=12AC=32．
∵O为，△ABC的内心，
∴∠OAF=12∠BAC＝30°．
∴OF＝12．
∴△ABC的内切圆面积为π•(12)2=14π．
故答案为14π．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆及内心的性质，利用内心为三个内角平分线的交点得出角平分线是解题的关键．
【变式5-4】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．0.5π
【分析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM＝NF，得到OE＝2，于是得到结论．
【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，
∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
题型六 直角三角形周长、面积与内切圆的关系
【例题6】（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（ ）
A．2B．3C．4D．无法判断
【分析】⊙O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，根据切线的性质得到OE⊥AC，OF⊥BC，则四边形CEOF为正方形，得到CE＝CF＝r，根据切线长定理得AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，利用6﹣r+8﹣r＝10可求出r．
【解答】解：如图，⊙O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形CEOF为正方形，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝r，
∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，
∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10，
∴r＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．
【变式6-1】（2023•沭阳县一模）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ．
【分析】连接OD、OE、OF、OA、OC、OB，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式得出关于R的方程，求出即可．
【解答】
解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=32+42=5，
连接OD、OE、OF、OA、OC、OB，
设⊙O的半径是R，则OE＝OD＝OF＝R，OD⊥BC，OF⊥AB，OE⊥AC，
由三角形面积公式得：12×3×4=12×5×R+12×3×R+12×4×R，
R＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形面积公式，三角形的内切圆，勾股定理的应用，关键是能得出关于R的方程．
【变式6-2】（2022秋•防城港期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径
为 步．
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【解答】解：根据勾股定理得：斜边AB=82+152=17，
∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），
故答案为：6．
【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=a+b−c2是解题的关键．
【变式6-3】（2022秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC=52，CA＝2，则⊙O的半径是 ．
【分析】设OD＝OF＝AF＝AD＝x，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC=52，CA＝2，
∴AB=BC2−AC2=32，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，
如图，连接OD，OF，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，
∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°，
∴四边形ADOF是正方形，
设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则CE＝CF＝2﹣x，BD＝BE=32−x，
∵BE+CE=52，
∴2﹣x+32−x=52，
∴x=12，
则圆O的半径为12．
故答案为：12．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式6-4】（2022秋•天河区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC=AB2−BC2=132−122=5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CF＝CE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．
【点评】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型七 三角形内切圆中求最值
【例题7】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．
【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：12r（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为12•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面积，可得r，求得圆的面积．
【解答】解：如图1所示，
S△ABC=12•r•（AB+BC+AC）=12r×42＝21r，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，
设CD＝x，
由勾股定理得：在Rt△ABD中，
AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2，
∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2，
解得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC=12BC×AD=12×7×12＝42，
∴21r＝42，
∴r＝2，
该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2），
故答案为：4πcm2．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆的相关知识及勾股定理的运用，运用三角形内切圆的半径表示三角形的面积是解答此题的关键．
【变式7-1】（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 ．
【分析】圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，先根据圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，求出正方形CEOF的边长为x，根据勾股定理可得OC＝22，连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P，当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，
∵圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴CE＝CF，BE＝BG，AF＝AG，AB=BC2+AC2=10，
∴四边形CEOF是正方形，
设正方形CEOF的边长为x，
则BE＝BG＝6﹣x，AF＝AG＝8﹣x，
根据题意，得
6﹣x+8﹣x＝10，
解得x＝2，
∴OC=2x＝22，
∵CD⊥l，
∴∠CDO＝90°，
∴点D在以OC为直径的圆Q上，如图，
连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P，
当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，
∴CP＝QP＝1，
∴AP＝AC﹣CP＝8﹣1＝7，圆Q的半径QD=2，
∴QA=QP2+AP2=12+72=52，
∴AD的最小值为AQ﹣QD＝52−2=42．
故答案为：42．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心．
【变式7-2】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．
（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．
【分析】（1）最大圆的半径是三角形内切圆的半径，用等面积法求解即可；
（2）圆的最小半径是三角形的外接圆的半径，可以借助等腰三角形的性质和外心的定义，用勾股定理即可求解；
（3）等腰三角形的内心与外心的距离可以结合（1）（2）的结论解答即可．
【解答】解：如图，△ABC中，AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，
由题意可知：
△ABC是锐角三角形，
则外心在三角形的内部．
作AD⊥BC于点D，
∴BD＝DC=12BC＝30cm，
∴AD=502−302=40（cm）．
设△ABC的内心为I，半径为r，
外心为O，半径为R，
则点I、O都在AD上，
作IE⊥AB于点E，
则IE＝ID＝r，
连接IB、OB，
则OB＝OA＝R．
（1）∵S△ABD＝S△ABI+S△BDI
∴12BD•AD=12AB•IE+12BD•ID
即12×30×40=12×50×r+12×30×r
解得r＝15cm．
答：能从这块钢板上截得的最大圆的半径为15cm；
（2）在Rt△OBD中，OB＝R，BD＝30
OD＝AD﹣AO＝40﹣R，
根据勾股定理，得
R2＝（40﹣R）2+302
解得R=1254（cm）．
答：用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是1254cm；
（3）∵ID＝r＝15cm，
OD＝40﹣R＝40−1254=354（cm），
∴IO＝ID﹣OD=254（cm）．
答：这个等腰三角形的内心与外心的距离为254cm．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是区分内心和外心．
题型八 三角形内切圆的综合应用问题
【例题8】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝ ；∠AEB＝ ．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是⊙O的切线．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB＝130°；
（2）由三角形的内心的性质可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE，可证DE＝CD；
（3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，可得结论．
【解答】（1）解：如图，连接OD，
∵AB=AB，
∴∠ACB＝∠ADB＝80°，
∴∠ABC+∠BAC＝100°，
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE＝50°，
∴∠AEB＝130°，
故答案为：80°，130°；
（2）证明：∵∠BAE＝∠CAE，
∴BD=CD，∴BD＝CD，
∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∴DE＝CD；
（3）证明：∵BD=CD，
∴OD⊥BC，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
又∵OD是半径，
∴DG是⊙O的切线．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式8-1】（2022•平原县模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径．
【分析】（1）根据内心的性质得到∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，根据圆周角定理解答即可；
（2）连接OD，结合（1）根据垂径定理可得OD垂直平分BC，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）证明：连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC，
∵∠DEB＝∠ABE+∠BAD，
∴BD＝BE；
（2）解：连接OD，
由（1）可知，∠BAD＝∠DAC，
∴BD=CD，
∴OD垂直平分BC，
∴BG=12BC=12×10＝5，
设OD＝OB＝x，
则OG＝x﹣DG＝x﹣2，
在Rt△OBG中，由勾股定理可得：
OG2+BG2＝OB2，
∴（x﹣2）2+52＝x2，
解得x=294．
∴圆的半径为294．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心的概念和性质，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键．
【变式8-2】（2023•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．
（1）求证：l是⊙O的切线；
（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．
【分析】（1）连接OE，利用角平分线的性质和等腰三角形可得AB∥OE，再利用平行线的性质说明OE⊥l，即可证明结论；
（2）利用垂径定理和勾股定理可得CG=12AC＝2，OG=12AB=32，在Rt△CEG中，利用勾股定理可得CE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵点D是Rt△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵OB＝OE，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴∠ABE＝∠OEB，
∴AB∥OE，
∴∠BAC＝∠OGC＝90°，
∵l∥AC，
∴OE⊥l，
∴OE为半径，
∴l是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC=32+42=5，
∴OC=52，
∵OG⊥AC，
∴CG=12AC＝2，OG=12AB=32，
∴EG=52−32=1，
在Rt△CEG中，由勾股定理得，
CE=EG2+CG2=12+22=5．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，圆的切线的证明等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
【变式8-3】（2022秋•江夏区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．
（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；
（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=3AD．
【分析】（1）连接BE，由三角形的内心得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB＝∠DBE，即可得出结论；
（2）延长AC至F，使CF＝AB，连接DF，证明△ABD≌△FCD（SAS），由全等三角形的性质得出∠F＝∠BAD＝30°，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∵∠5＝∠1+∠3，
∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，
∴∠5＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）证明：延长AC至F，使CF＝AB，连接DF，
∵E为△ABC的内心，∠BAC＝60°，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠DAC＝30°，DB＝DC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCF＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF，
在△ABD和△FCD中，
DB=DC∠ABD=∠FCDAB=FC，
∴△ABD≌△FCD（SAS），
∴∠F＝∠BAD＝30°，
在△ADF中，∠F＝∠DAF＝30°，
过点D作DG⊥AF于G，则GF=3DG，AD＝2GD，
∴AF=3AD，
∵AF＝AC+CF＝AC+AB，
∴AB+AC=3AD．
【点评】本题考查了三角形的外心与内心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定等知识；根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键．
【变式8-4】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝ ；∠AEB＝ ．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是⊙O的切线．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB＝125°；
（2）由三角形的内心的性质可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE，可证DE＝CD；
（3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，可得结论．
【解答】（1）解：如图，连接BD，OD，
∵AB=AB，
∴∠ACB＝∠ADB＝70°，
∴∠ABC+∠BAC＝110°，
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE＝55°，
∴∠AEB＝125°，
故答案为：70°，125°；
（2）证明：∵∠BAE＝∠CAE，
∴BD=CD，
∴BD＝CD，
∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∴DE＝CD；
（3）证明：∵BD=CD，
∴OD⊥BC，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
又∵OD是半径，
∴DG是⊙O的切线．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1、外心到三顶点的距离相等；
2、外心不一定在三角形的内部．
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条角平分线的交点
1、内心到三边的距离相等；
2、内心在三角形内部．
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1、外心到三顶点的距离相等；
2、外心不一定在三角形的内部．
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条角平分线的交点
1、内心到三边的距离相等；
2、内心在三角形内部．
三角形的内切圆 & 切线长定理
知识点一
三角形的内切圆
圆的轴对称性
◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.
【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.
◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形.
◆4、三角形外心、内心的区别：
知识点二
切线长及切线长定理
◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
【注意】
①切线是直线，不能度量．
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
◆2、切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，
∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB.
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
题型一 切线长定理的应用
【例题1】（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【变式1-1】（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-2】如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9B．7C．11D．8
【变式1-3】（2022秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【变式1-4】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°
①求△PEF的周长；
②求∠EOF的度数．
【变式1-5】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；
②连AE，BE，求∠AEB．
题型二 三角形内切圆中求角度
【例题2】（2022秋•东城区期中）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（ ）
A．99°B．102°C．104°D．152°
【变式2-1】（2022•莱州市一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（ ）
A．50°B．52°C．54°D．56°
【变式2-2】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【变式2-3】如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，F，P是DF上一点，则∠EPF的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【变式2-4】（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．25°
【变式2-5】（2023•陇县一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．80°
题型三 三角形内切圆中求线段长
【例题3】（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 ．
【变式3-1】（2022秋•同心县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝4，AC＝10，BC＝14，则BD长为 ．
【变式3-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【变式3-3】如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．
【变式3-4】（2022秋•津南区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；
（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．
题型四 三角形内切圆中求半径
【例题4】（2023•天心区校级三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．2C．1.5D．2
【变式4-1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（ ）
A．3B．5C．32D．52
【变式4-2】（2023•邵阳县一模）如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．32B．1C．233D．2
【变式4-3】（2022秋•齐河县期末）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，△ADB的内切圆半径是（ ）
A．12B．5（2−1） C．5（2+1） D．522
题型五 三角形内切圆中求面积
【例题5】（2023春•江岸区校级月考）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知
AB＝13，AC＝5，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，则花圃的面积为 ．
【变式5-1】（2022秋•河西区校级期末）如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
若AF＝10，BE＝3，则△ABC的面积为 ．
【变式5-2】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（ ）
A．4πB．43πC．23πD．163π
【变式5-3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积 （结果保留π）．
【变式5-4】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．0.5π
题型六 直角三角形周长、面积与内切圆的关系
【例题6】（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（ ）
A．2B．3C．4D．无法判断
【变式6-1】（2023•沭阳县一模）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ．
【变式6-2】（2022秋•防城港期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径
为 步．
【变式6-3】（2022秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC=52，CA＝2，则⊙O的半径是 ．
【变式6-4】（2022秋•天河区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
题型七 三角形内切圆中求最值
【例题7】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．
【变式7-1】（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 ．
【变式7-2】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．
（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．
题型八 三角形内切圆的综合应用问题
【例题8】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝ ；∠AEB＝ ．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是⊙O的切线．
【变式8-1】（2022•平原县模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径．
【变式8-2】（2023•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．
（1）求证：l是⊙O的切线；
（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．
【变式8-3】（2022秋•江夏区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．
（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；
（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=3AD．
【变式8-4】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝ ；∠AEB＝ ．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是⊙O的切线．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.5 直线与圆的位置关系（2）
三角形的内切圆 & 切线长定理
知识点一
三角形的内切圆
圆的轴对称性
◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.
【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.
◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形.
◆4、三角形外心、内心的区别：
知识点二
切线长及切线长定理
◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
【注意】
①切线是直线，不能度量．
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
◆2、切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，
∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB.
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
题型一 切线长定理的应用
【例题1】（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
【变式1-1】（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
【变式1-2】如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9B．7C．11D．8
【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．
【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得
CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．
则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．
故选：C．
【点评】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
【变式1-3】（2022秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故选：C．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
【变式1-4】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°
①求△PEF的周长；
②求∠EOF的度数．
【分析】①根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，由PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF即可求出答案．
②连接OE，OF，求出∠OEF+∠OFE的度数，即可得出∠EOF的度数．
【解答】解：①∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
又∵直线EF是⊙O的切线，
∴EB＝EQ，FQ＝FA，
∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+FA＝PA+PB＝2PA＝24cm；
②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，
则∠OEF+∠OFE=12（∠P+∠PFE）+12∠（P+∠PEF）=12（180°+40°）＝110°，
∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．
【点评】本题考查了切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
【变式1-5】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；
②连AE，BE，求∠AEB．
【分析】（1）根据切线长定理和三角形的周长可解答；
（2）①先根据三角形内角和定理可得∠PCD+∠PDC＝140°，由平角的定义得∠ACD+∠BDE＝220°，由切线长定理：圆外一点与圆心的连线平分切线所成的夹角可得∠ACO＝∠DCO=12∠ACD，∠BDO＝∠EDO=12∠BDE，从而可以解答；
②根据平角的定义和三角形的内角和定理可解答．
【解答】解：（1）∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点，
∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD，
∵△PCD的周长为10，
∴PC+CD+PD＝10，
∴PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝2PA＝10，
∴PA＝5；
（2）①∵∠P＝40°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠ACD+∠BDE＝360°﹣140°＝220°，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点，
∴∠ACO＝∠DCO=12∠ACD，∠BDO＝∠EDO=12∠BDE，
∴∠OCD+∠ODC=12×220°＝110°，
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°；
②∠AEB＝180°﹣∠AEC﹣∠BED
＝180°−180°−∠ACD2−180°−∠BDE2
＝180°﹣90°+12∠ACD﹣90°+12∠BDE
=12×220°
＝110°．
【点评】本题考查的是切线长定理，三角形内角和定理，掌握切线长定理是解题的关键．
题型二 三角形内切圆中求角度
【例题2】（2022秋•东城区期中）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（ ）
A．99°B．102°C．104°D．152°
【分析】先利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝152°，再利用点I是△ABC的内心可得BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，从而可求出∠IBC+∠ICB，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠A＝28°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°，
∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=12∠ABC+12∠ACB
=12（∠ABC+∠ACB）
＝76°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣76°
＝104°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键．
【变式2-1】（2022•莱州市一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（ ）
A．50°B．52°C．54°D．56°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠IBC+∠ICB＝64°，根据内心的概念得到∠ABC+∠ACB＝128°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠I＝116°，
∴∠IBC+∠ICB＝64°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
【变式2-2】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【分析】先利用切线的性质得∠IDA＝∠IFA＝90°，则根据四边形的内角和得到∠A+∠DIF＝180°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵圆I是△ABC的内切圆，
∴ID⊥AB，IF⊥AC，
∴∠IDA＝∠IFA＝90°，
∴∠A+∠DIF＝180°，
∵∠DIF＝140°，
∴∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握内心定义．
【变式2-3】如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，F，P是DF上一点，则∠EPF的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠EPF=12∠EOF＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2-4】（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．25°
【分析】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC=∠OCB=12×(180°−∠BOC)=12×(180°−140°)=20°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式2-5】（2023•陇县一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．80°
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC∠+∠CBA＝180°﹣∠C＝100°，由M为△ABC内心，得AM、BM为∠CAB、∠ABC的平分线，则有∠BAM+∠ABM=12（∠ABC+∠BAC）=12（180°﹣∠C）＝50°，根据三角形外角的性质得∠AMN＝∠BAM+∠ABM，再根据三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝80°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∴∠ANB＝80°，
∵M为△ABC的内心，
∴AM、BM为∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠BAM=12∠BAC，∠ABM=12∠ABC，
∴∠BAM+∠ABM=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）＝50°，
∴∠AMN＝50°，
在△AMN中，∠MAN＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣50°﹣80°＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，三角形内角和定理，外角的性质，三角形内心的性质是解题的关键．
题型三 三角形内切圆中求线段长
【例题3】（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 ．
【分析】由切线长定理得AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，根据已知条件，先求出BD，即BF的长，再求出CE＝4，即CF的长，求和即可．
【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，
∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．
【点评】本题考查的是切线长定理，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
【变式3-1】（2022秋•同心县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝4，AC＝10，BC＝14，则BD长为 ．
【分析】根据切线长定理可得AF＝AD，CF＝CE，BD＝BE，然后求解即可．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，
∴AF＝AD＝4，CF＝CE，BD＝BE，
∵AC＝10，
∴CF＝AC﹣AF＝10﹣4＝6，
∵BC＝14，
∴BE＝BC﹣CE＝14﹣6＝8，
∴BD＝BE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，主要利用了切线长定理，熟记定理是解题的关键．
【变式3-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【分析】根据勾股定理可得AB的长，然后根据三角形面积可以求出⊙O的半径，再根据切线的性质可得AD的长．
【解答】解：如图，连接OD、OE、OF，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB=AC2+BC2=122+52=13，
设OE＝OF＝OD＝r，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴13r+12r+5r＝12×5，
解得r＝2，
∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝13﹣3＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
【变式3-3】如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．
【分析】由切线长定理，可知：AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，用未知数设AD的长，然后表示出BD、CF的长，即可表示出BE、CE的长，根据BE+CE＝7，可求出AD的长进而求出BE、CF的长．
【解答】解：假设AD＝x，
∵⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F；
∴根据切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，
∴AF＝x，
∵AB＝5，AC＝6，BC＝7，
∴BE＝BD＝AB﹣AD＝5﹣x，FC＝EC＝AC﹣AF＝6﹣x，
∴BC＝BE+EC＝5﹣x+6﹣x＝7，
解得：x＝2，
∴AD＝2，BE＝BD＝5﹣2＝3，CF＝AC﹣AF＝6﹣2＝4．
【点评】此题主要考查了切线长定理以及三角形内切圆的性质，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程求解是解题关键．
【变式3-4】（2022秋•津南区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；
（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．
【分析】（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，可得结论；
（2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：（1）∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠DBO=12∠ABC，∠DCO=12∠ACB，
∴∠DBO+∠DCO=12∠ABC+12∠ACB==12（∠ABC+∠ACB）＝62.5°
∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠DBO+∠DCO）＝180°﹣62.5°＝117.5°；
（2）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE，
设AE＝x，BD＝y，CD＝z，
又∵AB＝13，BC＝11，AC＝10，
∴x+y=13x+z=10y+z=11，
解得x=6y=7z=4，
∴AF＝6；
【点评】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型四 三角形内切圆中求半径
【例题4】（2023•天心区校级三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．2C．1.5D．2
【分析】作辅助线如解析图，根据S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC，代入数据求解即可．
【解答】解：如图，设⊙O与△ABC的各边分别相切于点E、F、G，连接OE，OF，OG，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，OE＝OF＝OG＝r，
∵S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC，
=12AB•r+12AC•r+12BC•r，
=12（AB+AC+BC）•r，
又△ABC的周长为18，面积为9，
∴9=12×18•r，
∴r＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键．
【变式4-1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（ ）
A．3B．5C．32D．52
【分析】根据等腰三角形的性质可得BD＝CD＝3，根据切线长定理和勾股定理可得CE＝3，进而可求内切圆的半径．
【解答】解：如图，
根据题意，得
AB＝AC＝5，BC＝6，
设圆O是等腰三角形ABC的内切圆，BC切圆于点D，AC切圆于点E，
连接AD，OE，
∴AD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD＝CD=12BC＝3，
∴AD=AC2−CD2=4，
根据切线长定理可知：
CE＝CD＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝2，
设OD＝OE＝x，则AO＝4﹣x，
在Rt△AOE中，根据勾股定理，得
（4﹣x）2＝x2+22，
解得x=32．
∴内切圆O的半径为32．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
【变式4-2】（2023•邵阳县一模）如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．32B．1C．233D．2
【分析】由切线的性质得到OM⊥BC，ON⊥AB，又OM＝ON，推出OB平分∠ABC，同理：OC平分∠ACB，由等边三角形的性质推出△OBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质求出BM的长，由锐角的正切即可求出OM的长．
【解答】解：如图，⊙O分别与AB、BC相切于N、M，
连接OB，OC，OM，ON，
∴OM⊥BC，ON⊥AB，
∵OM＝ON，
∴OB平分∠ABC，
同理：OC平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝4，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴OB＝OC，
∵OM⊥BC，
∴BM=12BC＝2，
∵tan∠OBM=OMBM=33，
∴OM=233，
∴⊙O的半径是233．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，角平分线的判定，解直角三角形，关键是由切线的性质，角平分线性质定理的逆定理推出OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，得到△OBC是等腰三角形．
【变式4-3】（2022秋•齐河县期末）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，△ADB的内切圆半径是（ ）
A．12B．5（2−1） C．5（2+1） D．522
【分析】首先根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∠ACD＝∠BCD再利用勾股定理计算出BC，AD的长，可得△ABD等腰直角三角形，设△ABD内切圆的半径为rcm，根据切线长定理列出52−r+52−r＝10，进而可以解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC=AB2−AC2=8（cm），
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AD2，
∴AD2+AD2＝102，
∴AD＝52cm，
∴AD＝BD＝52cm；
∴△ABD等腰直角三角形，
设△ABD内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为rcm，
得正方形DGIE，
∴AE＝AF＝BG＝BF＝AD﹣DE＝（52−r）cm，
∴52−r+52−r＝10，
解得r＝5（2−1）cm，
∴△ADB的内切圆半径是5（2−1）cm．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，三角形内切圆与内心，勾股定理的应用，关键是掌握圆周角定理．
题型五 三角形内切圆中求面积
【例题5】（2023春•江岸区校级月考）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知
AB＝13，AC＝5，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，则花圃的面积为 ．
【分析】根据AB＝13，AC＝5，BC＝12，得出AB2＝BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径，问题随之得解．
【解答】解：∵AB＝13，AC＝5，BC＝12，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径为：12+5−132=2，
则花圃的面积为：22×π＝4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查了直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．解题的关键是根据勾股定理的逆定理作答．
【变式5-1】（2022秋•河西区校级期末）如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
若AF＝10，BE＝3，则△ABC的面积为 ．
【分析】根据切线长定理，得出BD＝BE，AF＝AD，设CE＝x，根据勾股定理得出x，再求得△ABC的面积即可．
【解答】解：∵⊙I是直角△ABC的内切圆，
∴BD＝BE，AF＝AD，
∵AF＝10，BE＝3，
∴BD＝3，AD＝10，
设CE＝x，则CF＝x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x+10）2+（x+3）2＝132，
解得x1＝﹣15，x2＝2，
∴CE＝2，
∴BC＝5，AC＝12，
∴S△ABC=12AC•BC=12×5×12＝30，
故答案为30．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，以及切线长定理，勾股定理，熟记切线长定理的内容是解题的关键．
【变式5-2】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（ ）
A．4πB．43πC．23πD．163π
【分析】根据题意画出等边三角形ABC与内切圆O．首先根据三角形面积计算公式求出S△ABC，再观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算半径，根据面积公式计算即可．
【解答】解：设⊙O与△ABC相切于D，E，F，连接CD，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴CD过点O，CD⊥AB，
∴CD=32AB＝23，
∴S△ABC=12AB•CD＝43，
设内切圆半径为r，
∴S△ABC=12（AB+BC+AC）r＝43，
∴r=233，
∴内切圆面积＝π×（233）2=43π．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键．
【变式5-3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积 （结果保留π）．
【分析】根据AB＝CB，AD＝CD，得出BD为AC的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得∠ABC＝60°，进而得出△ABC为等边三角形；利用∠ACD＝30°，得出△BCD为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形ABC的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
【解答】解：如图，设AC与BD交于点F，△ABC的内心为O，连接OA．
∵AB＝CB，AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线．
∴AC⊥BD，AF＝FC．
∵AB＝BC，BF⊥AC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°．
∴∠ABC＝60°．
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
∵∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+60°＝90°．
∵CD＝AD＝1，
∴BC=3．
∴AB＝BC＝AC=3．
∵AB＝BC，BF⊥AC，
∴AF=12AC=32．
∵O为，△ABC的内心，
∴∠OAF=12∠BAC＝30°．
∴OF＝12．
∴△ABC的内切圆面积为π•(12)2=14π．
故答案为14π．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆及内心的性质，利用内心为三个内角平分线的交点得出角平分线是解题的关键．
【变式5-4】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．0.5π
【分析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM＝NF，得到OE＝2，于是得到结论．
【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，
∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
题型六 直角三角形周长、面积与内切圆的关系
【例题6】（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（ ）
A．2B．3C．4D．无法判断
【分析】⊙O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，根据切线的性质得到OE⊥AC，OF⊥BC，则四边形CEOF为正方形，得到CE＝CF＝r，根据切线长定理得AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，利用6﹣r+8﹣r＝10可求出r．
【解答】解：如图，⊙O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形CEOF为正方形，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝r，
∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，
∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10，
∴r＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．
【变式6-1】（2023•沭阳县一模）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ．
【分析】连接OD、OE、OF、OA、OC、OB，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式得出关于R的方程，求出即可．
【解答】
解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=32+42=5，
连接OD、OE、OF、OA、OC、OB，
设⊙O的半径是R，则OE＝OD＝OF＝R，OD⊥BC，OF⊥AB，OE⊥AC，
由三角形面积公式得：12×3×4=12×5×R+12×3×R+12×4×R，
R＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形面积公式，三角形的内切圆，勾股定理的应用，关键是能得出关于R的方程．
【变式6-2】（2022秋•防城港期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径
为 步．
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【解答】解：根据勾股定理得：斜边AB=82+152=17，
∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），
故答案为：6．
【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=a+b−c2是解题的关键．
【变式6-3】（2022秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC=52，CA＝2，则⊙O的半径是 ．
【分析】设OD＝OF＝AF＝AD＝x，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC=52，CA＝2，
∴AB=BC2−AC2=32，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，
如图，连接OD，OF，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，
∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°，
∴四边形ADOF是正方形，
设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则CE＝CF＝2﹣x，BD＝BE=32−x，
∵BE+CE=52，
∴2﹣x+32−x=52，
∴x=12，
则圆O的半径为12．
故答案为：12．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式6-4】（2022秋•天河区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC=AB2−BC2=132−122=5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CF＝CE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．
【点评】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型七 三角形内切圆中求最值
【例题7】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．
【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：12r（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为12•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面积，可得r，求得圆的面积．
【解答】解：如图1所示，
S△ABC=12•r•（AB+BC+AC）=12r×42＝21r，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，
设CD＝x，
由勾股定理得：在Rt△ABD中，
AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2，
∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2，
解得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC=12BC×AD=12×7×12＝42，
∴21r＝42，
∴r＝2，
该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2），
故答案为：4πcm2．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆的相关知识及勾股定理的运用，运用三角形内切圆的半径表示三角形的面积是解答此题的关键．
【变式7-1】（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 ．
【分析】圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，先根据圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，求出正方形CEOF的边长为x，根据勾股定理可得OC＝22，连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P，当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，
∵圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴CE＝CF，BE＝BG，AF＝AG，AB=BC2+AC2=10，
∴四边形CEOF是正方形，
设正方形CEOF的边长为x，
则BE＝BG＝6﹣x，AF＝AG＝8﹣x，
根据题意，得
6﹣x+8﹣x＝10，
解得x＝2，
∴OC=2x＝22，
∵CD⊥l，
∴∠CDO＝90°，
∴点D在以OC为直径的圆Q上，如图，
连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P，
当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，
∴CP＝QP＝1，
∴AP＝AC﹣CP＝8﹣1＝7，圆Q的半径QD=2，
∴QA=QP2+AP2=12+72=52，
∴AD的最小值为AQ﹣QD＝52−2=42．
故答案为：42．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心．
【变式7-2】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．
（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．
【分析】（1）最大圆的半径是三角形内切圆的半径，用等面积法求解即可；
（2）圆的最小半径是三角形的外接圆的半径，可以借助等腰三角形的性质和外心的定义，用勾股定理即可求解；
（3）等腰三角形的内心与外心的距离可以结合（1）（2）的结论解答即可．
【解答】解：如图，△ABC中，AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，
由题意可知：
△ABC是锐角三角形，
则外心在三角形的内部．
作AD⊥BC于点D，
∴BD＝DC=12BC＝30cm，
∴AD=502−302=40（cm）．
设△ABC的内心为I，半径为r，
外心为O，半径为R，
则点I、O都在AD上，
作IE⊥AB于点E，
则IE＝ID＝r，
连接IB、OB，
则OB＝OA＝R．
（1）∵S△ABD＝S△ABI+S△BDI
∴12BD•AD=12AB•IE+12BD•ID
即12×30×40=12×50×r+12×30×r
解得r＝15cm．
答：能从这块钢板上截得的最大圆的半径为15cm；
（2）在Rt△OBD中，OB＝R，BD＝30
OD＝AD﹣AO＝40﹣R，
根据勾股定理，得
R2＝（40﹣R）2+302
解得R=1254（cm）．
答：用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是1254cm；
（3）∵ID＝r＝15cm，
OD＝40﹣R＝40−1254=354（cm），
∴IO＝ID﹣OD=254（cm）．
答：这个等腰三角形的内心与外心的距离为254cm．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是区分内心和外心．
题型八 三角形内切圆的综合应用问题
【例题8】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝ ；∠AEB＝ ．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是⊙O的切线．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB＝130°；
（2）由三角形的内心的性质可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE，可证DE＝CD；
（3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，可得结论．
【解答】（1）解：如图，连接OD，
∵AB=AB，
∴∠ACB＝∠ADB＝80°，
∴∠ABC+∠BAC＝100°，
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE＝50°，
∴∠AEB＝130°，
故答案为：80°，130°；
（2）证明：∵∠BAE＝∠CAE，
∴BD=CD，∴BD＝CD，
∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∴DE＝CD；
（3）证明：∵BD=CD，
∴OD⊥BC，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
又∵OD是半径，
∴DG是⊙O的切线．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式8-1】（2022•平原县模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径．
【分析】（1）根据内心的性质得到∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，根据圆周角定理解答即可；
（2）连接OD，结合（1）根据垂径定理可得OD垂直平分BC，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）证明：连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC，
∵∠DEB＝∠ABE+∠BAD，
∴BD＝BE；
（2）解：连接OD，
由（1）可知，∠BAD＝∠DAC，
∴BD=CD，
∴OD垂直平分BC，
∴BG=12BC=12×10＝5，
设OD＝OB＝x，
则OG＝x﹣DG＝x﹣2，
在Rt△OBG中，由勾股定理可得：
OG2+BG2＝OB2，
∴（x﹣2）2+52＝x2，
解得x=294．
∴圆的半径为294．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心的概念和性质，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键．
【变式8-2】（2023•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．
（1）求证：l是⊙O的切线；
（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．
【分析】（1）连接OE，利用角平分线的性质和等腰三角形可得AB∥OE，再利用平行线的性质说明OE⊥l，即可证明结论；
（2）利用垂径定理和勾股定理可得CG=12AC＝2，OG=12AB=32，在Rt△CEG中，利用勾股定理可得CE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵点D是Rt△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵OB＝OE，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴∠ABE＝∠OEB，
∴AB∥OE，
∴∠BAC＝∠OGC＝90°，
∵l∥AC，
∴OE⊥l，
∴OE为半径，
∴l是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC=32+42=5，
∴OC=52，
∵OG⊥AC，
∴CG=12AC＝2，OG=12AB=32，
∴EG=52−32=1，
在Rt△CEG中，由勾股定理得，
CE=EG2+CG2=12+22=5．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，圆的切线的证明等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
【变式8-3】（2022秋•江夏区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．
（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；
（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=3AD．
【分析】（1）连接BE，由三角形的内心得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB＝∠DBE，即可得出结论；
（2）延长AC至F，使CF＝AB，连接DF，证明△ABD≌△FCD（SAS），由全等三角形的性质得出∠F＝∠BAD＝30°，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∵∠5＝∠1+∠3，
∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，
∴∠5＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）证明：延长AC至F，使CF＝AB，连接DF，
∵E为△ABC的内心，∠BAC＝60°，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠DAC＝30°，DB＝DC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCF＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF，
在△ABD和△FCD中，
DB=DC∠ABD=∠FCDAB=FC，
∴△ABD≌△FCD（SAS），
∴∠F＝∠BAD＝30°，
在△ADF中，∠F＝∠DAF＝30°，
过点D作DG⊥AF于G，则GF=3DG，AD＝2GD，
∴AF=3AD，
∵AF＝AC+CF＝AC+AB，
∴AB+AC=3AD．
【点评】本题考查了三角形的外心与内心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定等知识；根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键．
【变式8-4】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝ ；∠AEB＝ ．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是⊙O的切线．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB＝125°；
（2）由三角形的内心的性质可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE，可证DE＝CD；
（3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，可得结论．
【解答】（1）解：如图，连接BD，OD，
∵AB=AB，
∴∠ACB＝∠ADB＝70°，
∴∠ABC+∠BAC＝110°，
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE＝55°，
∴∠AEB＝125°，
故答案为：70°，125°；
（2）证明：∵∠BAE＝∠CAE，
∴BD=CD，
∴BD＝CD，
∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∴DE＝CD；
（3）证明：∵BD=CD，
∴OD⊥BC，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
又∵OD是半径，
∴DG是⊙O的切线．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1、外心到三顶点的距离相等；
2、外心不一定在三角形的内部．
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条角平分线的交点
1、内心到三边的距离相等；
2、内心在三角形内部．
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1、外心到三顶点的距离相等；
2、外心不一定在三角形的内部．
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条角平分线的交点
1、内心到三边的距离相等；
2、内心在三角形内部．
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