人教A版（2019）高中数学必修二讲义08空间中的角与距离

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空间中的角与距离一、 课堂目标1．掌握利用等体积法求点面距离．2．掌握利用定义法和点面距法求线面角的大小．3．掌握利用定义法求二面角的大小．4．会求异面直线的夹角与距离．二、 知识讲解1. 等体积法求点面距离知识精讲（1）点面距离的概念垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如图， ， 为垂足，则 的长度为点 到平面 的距离．（2）等体积法求点面距离如果点到平面的垂线段容易作出，我们可以直接求出点面距离．当垂线段不易作出，我们可以通过等体积法来求出点面距离．例如，求下图中点 到面 的距离 ：先分别求出 的面积、面 上的高 的长度及 的面积；然后利用等体积法 ，得 ，求得 ．经典例题1. 若三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且满足 ，则点 到平面 的距离是（ ）．A. B.C. D.巩固练习2. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 、 分别是棱 、 的中点，则点 到平面 的距离等于（ ）．A. B.C. D.经典例题3. 如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，点 ， 分别为 ， 的中点．（ 1 ）证明：平面．（ 2 ）求点 到平面 的距离．巩固练习4. 如图，四棱锥 的底面是边长为 的正方形，侧面 底面 ，且， 是棱 的中点．（ 1 ）求证： 平面 ．（ 2 ）求点 到平面 的距离．2. 求线面角的大小知识精讲平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角（或直线和平面的夹角）．如图， 即为直线 和平面 所成的角．（1）定义法求线面角根据线面角定义，求斜线和平面所成的角，一般步骤是：①在斜线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足得到直线在平面上的射影，则直线和射影的夹角（取锐角）就是所求角.②由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形中求解.（2）点面距法求线面角当线面角不方便作出时，我们可以先求出直线上一点到平面的距离 ，再求出此点与斜足间的距离 ，设直线和平面所成角的大小为 ，则我们把这种求线面角的方法叫“点面距法”．经典例题5. 如图，在四棱锥 中， ， ， ，， ， 为 的中点．（ 1 ）求证：（ 2 ）求证：（ 3 ）求直线．平面与平面．所成的角．巩固练习6. 如图所示，在直角梯形 中， ， ， ， ， 为线段 的中点，将（ 1 ）求证：沿 折起，得到几何体．．（ 2 ）已知 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．3. 求二面角的大小知识精讲在二面角 的棱 上任取一点 ，以点 为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱 的射线 和，则射线 和 构成的 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角．用定义法求二面角定义法求二面角大小的一般步骤是：①找出或作出平面角；②证明它符合二面角的平面角的定义；③通过解三角形(斜三角形或直角三角形)计算求解．经典例题7. 在四棱锥 中，侧面 底面 ， ， ，， 平面（ 1 ）求证：平面，平面．．（ 2 ）求二面角 的余弦值．巩固练习8. 如图，在四棱锥 中，底面 是 且边长为 的菱形，侧面 是等边三角形，且平面 垂直于底面（ 1 ）若 为 的中点，求证：（ 2 ）求证： ．．平面．（ 3 ）求二面角 的大小．4. 求异面直线的夹角知识精讲平移法求异面直线所成角：恰当选点，作两条异面直线的平行线，构成平面角 ．则 （或其补角）就是异面直线所成角．然后利用锐角三角函数或解三角形中的余弦定理，求出所构造角 的度数．异面直线所成角的范围 ．特别地，若能判断这两条异面直线互相垂直，则无需平移即可知道它们所成角为 ．经典例题9. 如图，在正方体 中，点 ， 分别是 ， 的中点，直线 与 夹角的余弦值为 ．巩固练习10. 如图，在四面体 中， ， 分别是棱 ， 的中点， ， ， ，则异面直线 ， 所成角的余弦值为（ ）．A. B. C. D.经典例题11. 如图所示，空间四边形中，，， ， 分别为 ， 的中点．（ 1 ）求证：直线 与直线 是异面直线．（ 2 ）求 和 所成的角．巩固练习12. 如图，在三棱柱 中， 平面 ，四边形 为正方形，， ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ．5. 求异面直线的距离知识精讲和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，在公垂线上两垂足之间的线段叫做这两条异面直线的共垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．如图， ， 为异面直线， 且 和 相交于点 ； 且 和 相交于 ，则 的长度为异面直线 ， 间的距离．（1）公垂线的性质①任意两条异面直线有且只有一条公垂线；②两条异面直线的共垂线段长（异面直线的距离）是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条．（2）异面直线距离的求法①直接找公垂线段如果方便找出（作出）公垂线，则直接计算公垂线段的长度即可．②转化为线线距离若两条异面直线在某一平面上的射影互相平行（或为一点和一直线），则可以求平行线的距离（或点到直线的距离），该距离就是异面直线的距离．如图，异面直线 ， 在正方体右侧面上的射影 ， 平行，于是 ， 的距离即为 ， 的距离．③转化为线面距离过其中一条直线 上的任一点作另一条直线 的平行线 ， 和 所决定的平面 与 之间的距离就是异面直线 ， 间的距离．④转化为面面距离过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离．如图，正方体的面 和面 间的距离即为异面直线 ， 间的距离．经典例题13. 如图，在正三棱锥中，侧棱长为 ，底面边长为 ， 为 的中点，于 ．（ 1 ）求证： 为异面直线 与 的公垂线．（ 2 ）求异面直线 与 的距离．（ 3 ）求点 到面 的距离．巩固练习14. 正方体的棱长为 ，求异面直线与的距离．三、 思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、 出门测15. 如图所示，四棱锥 的底面 是边长为 的菱形， ， 是 的中点，底面（ 1 ）求证：（ 2 ）求二面角，平面．．的大小．16. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ，， 是 的中点．（ 1 ）求异面直线 与（ 2 ）求点 到平面所成角余弦值．的距离．10